Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

стоянной, а начнёт сначала быстро и затем всё медленней возрастать, пока не достигнет конечного значения e'N. Характер возрастания деформации со временем изображён на рис. 3, б. Процесс самопро­ извольного роста деформации с течением времени при постоянном напряжении называется последействием. Из формулы Максвелла, при

деформации е& на кривой растяжения, получаемой безостанозочным процессом деформирования. Эффект последействия, как и релакса­ ции, для сталей при нормальных температурах весьма мал.

Подобно тому как у свинца последействие и релаксация очень существенны при нормальных температурах, у стилей они приобре­ тают большое значение при высоких температурах порядка 500° С. Последействие, релаксация и всякие другие изменения механических свойств металлов при высоких температурах иногда объединяются термином ползучесть. Примерами формул, более правильно, чем формула Максвелла, описывающих процесс ползучести, могут быть либо логарифмический закон, по существу вытекающий из приве­ дённой выше формулы Прандтля:

а

de 1 do__ е °о

J t Е d t ~ e°

где е — деформация, отсчитываемая от точки О ', и а0, е0, Е — по­ стоянные, зависящие от температуры, либо закон гиперболического синуса Надаи 161:

явления, обнаруживаемые в материалах при простом растяжении образца, показывают, насколько сложен процесс пластической дефор­ мации. Мы оставили без рассмотрения такие проявления пластичности, как усталость, старение, восстановление и другие. Большинство из названных эффектов ещё недостаточно хорошо изучено, и потому

ческие формулы, которые применяются при расчёте простейших деталей машин 181.

Поскольку цель настоящей книги — дать теорию пластических деформаций металлов при нормальной или постоянной температуре, причём, за счёт сужения границ применимости теории, формулировать законы пластичности так, чтобы они были достаточно полно проверены и

Кчислу таких свойств относятся следующие.

1)Нелинейность зависимости напряжений от деформаций при

или, наконец, с помощью пластической деформации ер: о = Е(е — ер)у

При этом будем предполагать, что в процессе разгрузки никогда не возникает вторичная пластическая деформация, связанная с эффектом Баушингера, и потому в результате повторной нагрузки вновь всту­ пает в силу зависимость о = Ф (е), как только напряжение достигает исходного значения о*. Явлениями релаксации и последействия будем пренебрегать, как мало изменяющими указанные выше факты 1).

Переходим к исследованию сложного напряжённого и деформиро­ ванного состояния тела.

§ 3. Напряжённое состояние тела.

Пусть рассматриваемое нами тело некоторым образом ориентиро­ вано в прямоугольной системе координат х, у, г . Его напряжённое состояние становится известным, если напряжения определены в ка-

Рис. 4.

ждой его точке на произвольным образом ориентированной площадке. Проводя через произвольную точку тела (х, у , г) три плоскости, параллельные координатным, и пересекая их одной наклонной пло­ скостью, достаточно близкой к точке (х, у> г), мы получаем элемент тела в виде тетраэдра. Грани, соответствующие первым трём пло­ скостям, называем основными площадками, четвёртую грань — наклон­ ной или косой площадкой (рис. 4). Взаимодействие рассматриваемого

*) Более подробные сведения о проявлениях пластичности в простых опытах даны в специальной литературе Р1.

Вес и силы инерции тетраэдра не входят в эти формулы, потому что наклонная площадка предполагается проходящей бесконечно близко к точке (аг, у , г), и потому объёмные силы имеют более высокий порядок малости, чем силы поверхностные.

Проектируя напряжение Sv на нормаль v, мы получаем значение

нормального напряжения на косой площадке'.

Обозначим координатную ось в направлении нормали v через х ги выбе­ рем в плоскости наклонной площадки две другие ортогональные координатные оси у, z '. Тогда, следуя нашим обозначениям, ov будет

одно из основных напряжений, а именно Хх' в новой системе коор­

динат х '9у , повёрнутой произвольно относительно старой х, у , г: t

Проектируя напряжение 5, на оси у ', г', мы получим напряжения

будут аналогичны ( 1.2), но в них войдут также косинусы углов осей У , г' с осями х, у , г. Эти формулы называются формулами пре­ образования напряжений при повороте осей координат. Они приво­ дятся в большинстве курсов теории упругости. Напряжения на основ­

щейся общей для обеих систем, остаётся неизменным. Подобно тому, как скорость некоторой точки тела есть вектор, не зависящий от системы координат, в которой- QH определён, хотя проекции этого вектора и будут различны в разных координатных системах, так и напряжённое состояние есть некоторая величина, не зависящая от выбора координатных осей. Эта величина называется тензором напря­

Соотношения типа (1.2) называются формулами преобразования ком­ понент тензора напряжений при повороте координатных осей. Заме­ тим, что вообще всякая физическая величина, определяемая шестью компонентами, которые удовлетворяют формулам преобразования при повороте осей координат типа ( 1.2), называется симметричным тен­ зором второго ранга. Примерами таких величин являются деформация тела, инерция твёрдого тела с одной неподвижной точкой и другие *). Как числа и как векторы, тензоры можно складывать, вычитать, умно-1

1) Желающим ознакомиться со свойствами тензоров можно рекомен­ довать книгу Н. Е. Кочина 1Х°].

жать. Суммой двух тензоров называется новый тензор, компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых тен­ зоров. Умножить тензор на скаляр (число)—значит умножить на это число каждую его компоненту.

Мы будем пользоваться для краткости изложения словами «тензор напряжений», «тензор деформаций», «тензор скоростей деформаций», хотя можно было бы обойтись и без них, так как никакими спе­ циальными сведениями тензорного анализа мы пользоваться не будем. Впрочем, многие свойства тензоров второго ранга уясняются сами собой по мере изучения напряженного и деформированного состояний тела.

Итак, напряжённое состояние в некоторой точке тела определяется

шестью компонентами тензора напряжений в какой-нибудь системе координат, например а:, у , z> причём в любой другой системе компо­ ненты определяются формулами преобразования или формулами (1. 1).

Здесь по главной диагонали расположены нормальные напряжения

Замечательно, что в каждой точке тела при данном напряжённом состоянии существуют три взаимно перпендикулярные площадки,"на которых действуют только нормальные напряжения, касательные же равны нулю. Нормали к этим площадкам называются главными осями напряжений (или тензора напряжений), а сами напряжения — глав* ними напряжениями. Ясно, что как главные направления, так и величины главных напряжений определяются только напряжённым

Внося эти значения в формулы (1.1), получим уравнения, определяю* щие как неизвестное нам значение ov, так и направление главной площадки, т. е. /, /я, п:

они могут определять физические закономерности; компоненты же, связанные с осями координат, являются вспомогательными.

Наглядное представление о напряжённом состоянии тела в неко­

пряжений в какой-нибудь системе координат. Пусть, например, известны 3

Приравнивая некоторой постоянной величине произведение нормаль­ ного напряжения ov на квадрат радиуса вектора /?, мы получим уравнение центральной поверхности второго порядка

причем, как легко видеть,

С

°V— Тр»

то простым геометрическим по­ строением находится как вели­ чина вектора напряжения Sv, так и касательное [напряжение т„ (рис. 5):

0v== £ l ± f ! L + ^ L c o s 2а,

(1.9)

т, «= ai~ ~ a sin 2а.

Откладывая для разных углов а по оси абсцисс диаграммы нормаль­ ное напряжение ov и по оси ординат касательное т„ мы получаем круг

радиуса (ох — оа) с центром Охна оси абсцисс на расстоянии (о,—|- оа)

Аналогичное построение на той же диаграмме можно сделать для косых площадок, нормаль к которым лежит и плоскости (2.3) и затем (3.1). Диаграмма Мора,* следовательно, представляет собой совокупность трёх касающихся попарно между собой кругов. Ради­ усы этих кругов пред­ ставляют собой экст­ ремальные касатель­ ные напряжения. По­

этому величины

прямой является геометрическим образом вектора (например, вектора перемещения точки), поверхность напряжений Коши и диаграмма Мора суть геометрические образы тензора напряжений в некоторой точке тела.

§ 4. Девиатор напряжений и интенсивность напряжений.

Особую роль для построения теории пластичности (и вообще теории движения любой сплошной среды) играют девиатор напряже­ ний (D8) и его второй инвариант. Девиатором напряжений назы­ вается тензор, представляющий собой разность тензора напряжений (S) и тензора гидростатического напряжения (о), иногда называемого

шаровым тензором1):

пряжений :

^оав}

( 0 . ) = U ув $уу 'V* ( M l ) Sgy

l) Поверхность напряжений Коши для этого тензора есть сфера, имеющая уравнение а (52 + гр+ (?) = con*L