Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfВ формулах (4.63), (4.65) можно взять нижний знак и затем открыть неопределенности в формулах (4.70'). Тогда найдём, очевидно, усло вие Мизеса:
Qm = Qtm = °. |
(4.71') |
или в развёрнутом виде:
7?— 7\Г а + 7* + 37* = 7 * . |
(4.71) |
2.Чисто моментное напряжённое состояние имеет место при
отсутствии удлинений |
серединной поверхности. Квадратичная |
форма |
||
Р в = 0, |
а потому Р вх = |
0. Как следует из формулы (4.19), |
интен |
|
сивность |
деформаций |
ei |
есть чётная функция г и, согласно |
(4.34), |
имеем: |
|
*<о = 0» |
* = 1> Ц = |
0. |
|
|
|||
В формулах (4.63), (4.65) |
следует |
брать нижний знак, так как из |
||
(4.33) имеем г 0 = 0; |
таким |
образом |
цолучаем: |
|
Aj = 2, |
А == 0, |
9 = 0, |
ф = 2 1п 2, |
^ = 2 . |
Конечное соотношение (4.70') принимает такой вид:
|
|
|
Qt |
— |
—о, |
— , |
|
(4.72') |
|
или |
|
|
Qtm |
|
Qfn |
1 |
|
||
|
М{ — М ±М2+ |
М\ + |
3М\2= |
М I |
(4.72) |
||||
|
|
||||||||
3. |
Простейшее |
сложное |
напряжённое |
состояние |
оболочек при |
||||
Рх ф |
0, |
Р , ф 0 имеет |
место, если билинейная |
форма Р вх |
обращается |
||||
в нуль: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оно |
может иметь место, |
например, в |
случаях |
|
|
||||
и многих других.
Из (4.60) при этом имеем:
>*<.» ^**=1» К- < 1,
т. е. налицо доминирующая деформация изгиба. Находим:
А •= <р = 0, Aj = х = 2 |
1 — (А2 , |
= 2 In |
и после несложных преобразований конечное соотношение принимает вид:
|
Qt = |
1 |
+ Y 1 — P |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.74) |
|
|
i + |
Y i — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и- |
|
|
|
|
|
Оно даёт линию пересечения поверхности (4.70) с плоскостью |
Qtm= = |
||||||||
= 0. Поскольку Qt, Qm существенно положительны, |
вся поверхность |
||||||||
расположена между |
плоскостями |
Qt = 0 и |
Qm= 0, |
а линия |
(4.74) |
||||
между положительными направлениями |
осей |
Qu Qmy т. е. в |
первом |
||||||
квадранте |
плоскости |
Qtm = 0. |
Точка Qm = о, |
Q t = 1, соответствую |
|||||
щая безмоментному |
состоянию |
оболочки, получается из (4.74) при |
|||||||
а точка Q* = |
0, Qm= 1, соответствующая чисто моментному |
||||||||
состоянию |
оболочки, |
получается |
при |
ц = |
0. |
Последнее очевидно, |
|||
поскольку |х 1п {1= |
0 при |
|х = |
0. |
Уравнение (4.74) |
можно |
преобра |
||||||||||||||||
зовать |
к |
другому |
виду, |
если |
произвести замену параметра |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f1! — 1— ^2» |
|
Р — У |
1 + и > |
|
|
|
|
||||||||
причём |
изменению |
р. от |
0 |
до |
1 |
|
соответствует |
изменение |
[х1 |
от 0 |
||||||||||||
до |
оо. Если |
воспользоваться |
тождеством |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1ащ |
^ |
1 |
|
|
|
i |
t a y |
T j s |
± |
i |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Yv-t |
|
|
|
2 |
|
V i + m - i |
|
|
|
|
||||
то |
(4.74) |
примет |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* |
4 “ 1 |
|
y i + w - l |
|
' |
|
|
|
|
|
(4.740 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У Т + й + |
i |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• y i+ j |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
-(* Н 1п У Т + й - 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
Кривую |
QtmQm можно |
построить |
по |
точкам, |
координаты |
которой |
||||||||||||||||
внесены |
в |
табл. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
4. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Координаты кривой Qt-Qm- |
|
|
|
|
|
|||||||||
V-l |
|
0 |
|
0,01 |
0,02 |
|
0,04 |
0.1 |
0,25 |
0,5 |
1 |
2 |
|
3 |
8 |
|
оо |
|||||
н- |
0 |
|
0,10 |
0,141 |
0,196 |
0,301 |
0,447 |
0,578 0,707 0,815 0,865 0,944 |
1 |
|||||||||||||
0* |
0 |
|
0,09 |
0,141 |
0,214 |
0,342 |
0,522 |
0,660 |
0,782 |
0,875 |
0,908 |
0,960 |
1 |
|||||||||
Qm |
1 |
|
0,95 |
0,917 |
0,861 |
0,746 |
0,574 |
0,416 |
0,275 |
0.168 |
0,122 |
0,050 |
0 |
|||||||||
На рис. 53 изображена кривая (4.74) |
и прямая |
|
+ |
= |
С4-75) |
которая довольно хорошо апроксимирует её. Максимальное отклоне
ние прямой составляет около 9% . |
|
|
|
Поверхность (4.70)симметрична относительноплоскости |
= 0. |
В |
этом нетрудно убедиться, если рассмотреть значения |
параметра |
в |
окрестности Х = 1. Для этого введём новые параметры: |
|
«‘' - |
a — f- |
|
<4-7б> |
|
и будем рассматривать значения квадратичных форм |
Qt, |
Qm, |
Qtm |
|
при значениях |
|
|
|
|
Х < 1 , } i < X и | » < Х \ Х ' < 1 , |
|
|
|
|
обозначив значения форм в последнем |
случае через |
Q't, |
Q'm, |
Q'tm- |
Произведя замену X, j* на А'р'> согласно (4.76), получим:
Таким образом достаточно иметь представление о поверхности (4.70), только в первом октанте системы координат Qt, Qm, Qtm- Можно убедиться в том, что на линии А = 1 в плоскости (Q*, Qm) вели чины Qt, Qm имеют максимум. Если ещё воспользоваться неравен ством Шварца 141, которое в отношении квадратичных форм Qt, Qm, Qtm гласит:
то можно заключить, что величина Qtm по модулю также ограни чена.
Таблица |
5 |
даёт координаты |
некоторых точек поверхности на |
|||
линиях А = |
const., причём |
против |
каждого значения к даны: в первой |
|||
строке |
Qt, во второй — Qm и в третьей — <2Ш. |
|||||
**Наибольшие |
значения |
( |
будут в случае, когда неравенство |
|||
Шварца |
превращается в равенство |
|||||
Q2m = QtQm>
причём оно возможно только тогда, когда величины t и т нальны :
Jt _ |
_ ' hi |
Ttli |
m12 |
(4-77)
пропорцио
(4.77')
Покажем, что |
гиперболический |
параболоид (4.77) |
пересекается |
|||
с поверхностью (4.70) по |
линии р = |
0. |
Из (4.65) при |
р = 0 имеем: |
||
<р = |
— 1-f-X, |
х = 1±х», |
= |
0, |
(4.77") |
|
|
|
Д1 = 1 — р» А = |
1—х* |
|||
|
|
1 = £ Х |
|
|||
Внося эти значения в уравнения (4.70), получим:
|
Qm = % № |
+ y), |
Q« = T i( A? + X ) 9- |
(4-78) |
|||||
Отсюда в случае доминирующего растяжения оболочки |
(при ниж |
||||||||
нем знаке в |
(4.77А')) |
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qt e 1> Qtm ~ |
Qm ~ |
|
|
|
|||
т. е. линия JA= 0 вырождается |
в точку. |
|
|
|
|
|
|||
В случае доминирующего изгиба оболочки получаем: |
|
|
|||||||
|
|
Qtm |
4Х (1 —X) |
* Qm |
16X2 |
|
(4.79') |
||
|
|
( 1 + Х ) 3 |
|
(1+Х )*’ |
|||||
|
|
|
|
||||||
откуда следует (4.77). Кроме |
того, |
из |
последних |
уравнений |
легко |
||||
находим другое соотношение: |
О — |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Q t)2, |
|
|
(4.79) |
|||
а, комбинируя его с (4.77), находим |
ещё: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 4-8° ) |
Отсюда заключаем, |
что линия |
|л = |
0, |
|
определяющая |
наибольшие |
|||
по модулю |
значения |
билинейной формы |
Qtm> представляет |
собой |
|||||
линию пересечения двух параболических цилиндров, из которых цилиндр (4.79) пррходит через точки:
X== 1
>> II о 00
со о II £«-/
II о
>> II о То
|
Координаты точек поверхности (4.70). |
|
Т а б л и ц а 5. |
|||
|
|
|
||||
с |
0.1 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
0 |
0,09047 |
0,21998 |
|
0,4674 |
0,6789 |
0,8539 |
1 |
0,9494 |
0,9379 |
|
0,62)84 |
0,3996 |
0,1887 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0,0123 |
|
0,2596 |
|
0,5287 |
0,7519 |
0,9651 |
0,9760 |
|
0,8131 |
|
0,5606 |
0,3109 |
0,0472 |
— 0,1095 |
|
— 0.07С67 |
|
— 0,0284 |
— 0,018 3 |
— 0*0022 |
0,0625 |
|
0,3424 |
|
0,6349 |
0,9289 |
|
0,8770 |
|
—0,7107 |
|
0,4457 |
0.С91С9 |
|
— 0,2340 |
|
— 0,1375 |
|
— 0.С642 |
— 0,01015 |
|
0,1850 |
0,3229 |
0.50С9 |
0,6748 |
0,8959 |
|
|
0,6660 |
0,5339 |
0,5171 |
0,3658 |
0,1264 |
|
|
— 0,3510 |
— 0,2610 |
— 0,1729 |
— 0.С988 |
—0,02502 |
|
|
0,445 |
0,6050 |
0,8856 |
|
|
|
|
0,310 |
0,2350 |
0,1197 |
|
|
|
|
— 0,372 |
— 0,2454 |
— 0.С5И8 |
|
|
|
|
и мтаен ом м и и м ал йс у д же м е и н е ш о н т о оС е о н ч е н о к 26] §
со
имея образующие, параллельные координате Qtm, цилиндр же (4.80)
имеет |
образующие, параллельные координате Qm, и проходит через |
те же |
точки. Линия р = 0, ограничивающая кусок поверхности |
(4.70) для доминирующего изгиба, на котором значения Qt, Qm, Qtm имеют механический смысл, показана на рис. 5 4 1). Максимальное значе ние ординаты Qtm по
модулю будет при
|
|
= "з"' |
~ |
9" |
|
|
н имеет значение |
|
|
|
|
I Qtm lmsx |
з Y 3 |
’ |
|
Рис. 54. |
Таким образом, конеч |
||
|
|
ное соотношение |
ме |
|
жду силами и моментами в случае |
доминирующего изгиба может |
|||
быть |
приближенно представлено, как |
пара плоскостей, проходящих |
||
через линию (4.75'*) и через точки |
|
|
|
|
Они |
имеют уравнение: |
|
|
|
|
Qt + Q m ' + y f l Q t m l ^ l - |
(4.81) |
||
Переходим к постановке задачи об определении несущей способ ности оболочек. Если предположим, что силы и моменты или квадратичные формы Q# Qm, Qim заданы и удовлетворяют конечному соотношению (4.70), то по ним любые два уравнения (4.70) позволяют найти параметры
а затем, согласно |
(4.62) и |
(4.38), |
найти |
Jv У2, / 8. При |
этом вели- |
чина etx останется |
неопределённой, |
и мы |
получим: |
|
|
|
|
|
Qm, |
Qtm), |
|
|
Ctl |
(.Qt, |
Qm, |
Qtm), |
(4.82) |
|
|
|
|
|
|
|
= й |
^8 (Qt, |
Qm, |
Qtm), |
|
где F„ будут вполне определёнными функциями сил и моментов.
1) Эта линия нанесена на развёртке параболического цилиндра (4.79).
Если |
эти значения интегралов |
внести в |
формулы (4.23') |
(4.24'), |
то одно из получающихся таким |
образом |
шести уравнений |
будет следствием пяти других, так как силы Т и моменты М удовлетворяют конечному соотношению (4.70). Решая эти шесть уравнений относительно шести деформаций и искривлений, мы получим
уравнения (4.47), |
которые, |
согласно (4.82), |
принимают вид: |
|
|||||
. |
|
|
S tF t — H tF t |
X, = |
t i x |
Д' |
|
||
«1 |
— |
,в ч |
|
д 5 |
» |
|
|||
|
|
|
|
||||||
е а |
— |
е*> |
д ' |
» |
*9 = |
еЧ |
Д' |
(4.83) |
|
„— H -\iF2
* 1 2 ----- еН |
Д' |
» х 12 |
e*i |
Д' |
|
( A W j F e - / * ) , |
|
||
причём одно из них |
есть |
следствие |
пяти |
других, если eix имеет |
значение (4.34); в этом нетрудно убедиться, если составить из выраже ний (4.83) соответствующие квадратичные формы.
Поскольку шесть компонентов деформациий и искривлений вы ражаются с помощью дифференциальных операций по криволиней ным координатам через три компонента вектора перемещения w точки серединной поверхности, они должны удовлетворять уравне
ниям совместности деформаций. В общем |
случае |
уравнения |
совмест |
||||||||||||||||
ности |
можно выразить только через силы |
Т и моменты М, но в |
случае |
||||||||||||||||
(4.83) |
они будут содержать |
ещё |
одну |
функцию координат |
|
Та |
|||||||||||||
ким |
образом |
дифференциальных |
|
уравнений |
равновесия |
и |
условий |
||||||||||||
совместности |
деформаций |
будет |
недостаточно |
для определения |
сил |
||||||||||||||
|
Tit |
^12» |
моментов |
Afj, |
Л4а, |
М 12 |
и |
неизвестной |
функции |
£tl. |
|||||||||
Недостающим |
уравнением |
и |
будет |
конечное |
соотношение |
(4.70') |
|||||||||||||
между |
силами |
и моментами. |
В |
виду |
того, |
|
что |
это |
соотношение |
||||||||||
не |
дифференциальное |
и |
из |
него |
следует, |
что |
силы и моменты и |
||||||||||||
даже |
их |
квадратичные |
формы |
Qt, |
Qw, |
Qtm |
|
ограничены |
по |
вели |
|||||||||
чине, ясно, что при произвольных внешних силах равновесие обо лочки невозможно.
Несущей способностью оболочки называется то предельное значе ние внешних сил, при котором внутренние силы Т и моменты М удовлетворяют конечному соотношению (4.70'), уравнениям равно весия, условиям совместности деформаций и граничным условиям. В некоторых частных случаях благодаря конечному соотношению задача о равновесии становится статически определимой и не требует условий совместности деформаций. Тогда вопрос о несущей способ ности оболочки решается сравнительно просто. Он ещё более упрощается, если силы и моменты могут быть выражены через внеш ние силы только с помощью уравнений равновесия, что имеет место, например, в безмоментной теории оболочек; в таком случае конечное соотношение (4.70') определяет несущую способность.
Условия совместности деформаций делают задачу об определении несущей способности весьма сложной и потому важное, значение имеют приближённые методы её решения. Энергетический метод решения срстоит в следующем: задаются подходящей формой дефор мированной 4поверхности оболочек и, составляя выражения вариации работы внутренних сил и работу внеших сил на вариациях перемеще
ний, |
сравнивают их. |
Приближённое предельное значение внешних |
сил |
получится, если |
упрочнение материала положить равным нулю, |
а деформации неограниченно увеличивать или, что то же, сохраняя постоянным предел текучести oe e=3G £„ О стремить к бесконеч ности, а еш— к нулю. Хар и Карман ввели понятие полной пластич ности, по существу, заменяющее одно условие пластичности Мизеса двумя условиями и тем самым расширили класс статически определи мых задач; об этом будет сказано в связи с изложением задачи о штампах.
§ 27. Деформация пластинок в их плоскости.
Если внешние силы приложены к пластинке в её плоскости, мы имеем случай плоского напряжённого состояния. Искривления отсут ствуют, и поэтому:
P * = P „ = Q m = Qtm = о.
Квадратичная форма Рг связана в этом случае простым соотноше
нием |
с ei |
|
|
|
|
|
Силы |
7*1» |
Г* |
Т12 получаются умножением на |
толщину h |
напряже- |
|
ний Х9, |
Yy, Ху: |
|
|
|
||
поэтому |
|
Тг = hXx, |
Га = A Yy, Т19 = |
hXy, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
« < = „ 7 ” k V x ‘ ~ х ‘ ГУ + П + щ |
(4-М) |
||
Пусть |
и (х, |
у), v (х, у) |
будут компонентами вектора |
перемеще |
||
ния точки пластинки по осям х, у . Деформации определяются формулами Коши:
. __да |
__dv |
ди , dv |
.. |
евя — fa t |
еП~~ду* |
е*У:=ад у ' д х ' |
(4.Й5) |
причём, согласно (4.2) и (4.4), они могут быть выражены через напряжения, если материал пластинки обладает упрочнением. Обо значая рХ, рY — массовые силы, действующие в плоскости пластинки, мы можем написать дифференциальные уравнения равновесия элемента
Т 7 + 7 ? + р Л - = 0 , |
^ Ч - ^ Ч - р Г - 0 . |
( 4 . 8 6 ) |
Если на границе пластинки заданы напряжения Х у, К,, то граничные условия задачи принимают вид:
|
|
|
X J + Х ут = |
X* |
Y J + Yyttt = |
К„ |
(4.87) |
||||
причём |
через /, т — обозначены |
направляющие |
косинусы |
нормали |
|||||||
с |
осями |
координат. |
Если |
на |
границе известны смещения точек |
||||||
|
|
|
|
и = |
«у {х, у), |
V — VH(лг, у), |
|
(4.86') |
|||
то |
задачу о |
нахождении |
деформаций |
и напряжений, возникающих |
|||||||
в |
пластинке, |
удобнее |
решать |
в перемещениях, т. е. воспрльзоваться |
|||||||
уравнениями |
(2.69), |
положив |
в них |
|
|
|
|||||
т. |
е. |
|
и = -и (х ,у ), |
v = v ( x ,y ) , |
|
|
|||||
|
$xz== Эу2==: о, |
Х8в |
Уг = Zz = |
0. |
|
||||||
|
|
|
|
||||||||
Задача при заданных на контуре напряжениях (4.87) мбжет быть сведена к интегрированию одного дифференциального уравнения. Предположим, что массовые силы отсутствуют, и введём функцию напряжений Эри:
X - d2F |
V |
X |
d2F |
(4 88^ |
Л * ~ д у * ' |
УУ ~ д х * ' |
Л У ~ |
д х д у 9 |
|
В таком случае уравнения равновесия будут удовлетворены. Интен сивность напряжений а, будет иметь следующее выражение через F:
«<= v n , - V . + ^ + |
<4-89> |
поэтому, согласно (4.2) н (4.4), деформации будут равны:
Р . |
_ Г1 I |
/ м (№ |
1 |
д*р \ |
|
Е ех х |
I1 + |
? (°<)1 |
2 |
д х * ) ’ |
|
^ еуу — \У 4" ?(°<)1 |
~2ду^) ’ |
^(4.90) |
|||
£ew |
— - 3 [ l + ? ( o <) l ^ r . |
|
|||
Дифференциальное уравнение, определяющее функцию напряжений F, найдём из условия совместности деформаций:
д*£,та? |
L |
д'вуу |
д*еху |
= 0. |
а у |
+ |
~Тх^ |
дхду |
|
Выпишем явно только главную часть этого уравнения, содержащую высшие производные от F:
« + ^ ) е т - 6 5 Л з ! ^ + 2 « + 5 Л + т ^ г 1 5 » -
- И Л У ^ + « + Ч > |? -+ Х = 0- (4-91)
Здесь |
х — квадратичная |
функция |
третьих |
производных |
от |
F, |
a <{< |
||
имеет выражение: |
6 _ i d l + j P ) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
v — |
d<f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
йщ |
|
|
|
|
|
Если |
величина |
меньше предела текучести |
as, то <р = |
0, |
и |
по |
|||
тому |
<|<= оо. |
Уравнение |
(4.91) в |
этом случае |
совпадает |
с обычным |
|||
бигармоническим уравнением плоской задачи теории упругости. |
|
||||||||
При |
уравнение (4.91) всегда эллиптического |
типа, |
так |
||||||
как уравнение |
характеристик 1б1 приводится |
к виду |
|
|
|
||||
W + i ) 8+ ( V 9+ £ * ) a = o .
Рассмотрим частный вид зависимости интенсивности напряжений о< от интенсивности деформаций е{ (4.4), близкий к закону ломаной:
|
|
|
£ “ = |
5 7 Г Г Г ,(2 - |
зл + х | |
) ’ |
«■“ > |
||||
причём |
Х = |
0,если о * ^ о в, |
и 0 < ^ Х < |
1, |
е с л и Ф у н к ц и я (р (о*) |
||||||
в этом случае имеетвид: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
причём постоянная величина X определяется так: |
|
||||||||||
при |
о, > |
о, |
\ |
= |
1 — -g- |
|
|
. ,g . |
|
(4.93) |
|
при |
Of < |
а8 |
|
|
|
^ = |
О. |
|
|
|
|
На |
рис. |
55 |
дана кривая |
(4.92) |
при |
Х = |
0,95. |
Функция |
входящая |
||
в левую часть уравнения (4.91), в |
данном случае имеет |
следующее |
|||||||||
выражение: |
|
, |
2 — ЗХ 2 |
I |
1 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
^ = |
— |
а* + |
2“°*» |
|
(4-94) |
||
т. е. с точностью до постоянной слагаемой представляет собой одно родную квадратичную форму от вторых производных функции напряжений F. Функция у. входящая в уравнение (4.91) при законе (4.92), имеет, пожалуй, также простейший вид:
X = 3S v ( I? ) * + 35« ( W J + + Т Sv ) ( - Щ у ) ' +
2 |
дуг) |
У « \д х * Т ^ ^ ~ д у * Ш у * ) + |
|
||
, 3 у . |
&F |
&F , 3 у |
&F |
d*F |
|
"т~2' Л*~Ш дх д у* ^ 2 |
'V дуз Л Щ |
|
|||
, |
3 у |
&F д »F |
■ 1 « |
d*F |
(4.95) |
|
|
|
^ |
||
|
|
|
Ч дхгду дх ду* ‘ |
|
|