Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfВторое соотношение (4.4) не имеет смысла в том случае, если материал пластинки не обладает упрочнением, т. е. если имеет место условие пластичности Мизеса:
°< = ®в |
|
|
или |
- 3Xl = «2. |
|
Х а— X e Yy + Y2y 4 |
(4.5) |
В дальнейшем мы часто будем иметь дело с однородной квадра тичной формой Р трёх аргументов:
U хх = |
U u |
U y y ~ |
^2» |
U x y = ^12* |
Р и = |
и \ + |
и хи 9 + |
и \ + |
(4.6) |
и*12, |
которая положительна при любых ментов Un. Из (4.3) следует, что
* II 4ь| СО
действительных значениях аргу
.(4.7)
Составим согласно (4.6) и (4.2) квадратичную форму Ра. Для этого заметим, что если
Ul = |
axl + |
byit |
|
f/a = |
ax 8 + |
*ya. |
(4.8) |
Un = |
axl3 + |
by12, |
|
то |
Ри = a*Pw+ |
2аЬРву + |
Ь*Ру, |
|
||
|
(4.9) |
|||||
где Рау--билинейная форма: |
|
|
|
|
|
|
^х,у — Х*У1 “Ь 2 |
|
“Ь 2 |
“Ь х*Уу “f* Х1ЯУ12' |
(4.10) |
||
Полагая теперь |
|
|
|
|
|
|
а = 1, |
6 = — |
|
* ! « = * „ |
лй» = |
|
|
Л == ^(/> |
Л “ |
|
^19 === |
|
У ц = О, |
|
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
= ^ * ” |
' |
" f ^V c= f |
|
(4.11) |
|
Составим ещё дифференциалы |
форм Pt , Рв; имеем, очевидно, |
|
||||
|
dPu ~ |
дц. |
|
|
(4.12) |
|
Теперь из (4.7) и |
(4.11) легко |
видеть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Р.•.«» |
|
Квадратичные формы Рв и Рв обладают еще следующими свойствами
2 |
дРш |
у __2 |
дРа |
„ |
1 дРш |
О |
ЯС |
1 * I/--- ? |
ЯС |
1 |
о |
и потому формулы (4.2), связывающие напряжения и деформации, можно переписать в виде:
(4.14)
причём зависимость о< от е{ заменяется зависимостью
Р8= Ф '(Р ,).
§24. Связь между внутренними силами, моментами
идеформациями оболочки!1).
Пусть дана оболочка толщины А. Серединной поверхностью обо лочка называется поверхность, делящая толщину её всюду пополам. Предполагается, что всюду, исключая, может быть, некоторые точки
или линии на |
ней, серединная |
поверхность является непрерывной |
|
с непрерывно изменяющейся касательной и |
кривизнами, причём все её |
||
геометрические |
характеристики |
изменяются |
весьма плавно. Выберем |
на серединной поверхности главную ортогональную систему криво линейных координат Е, т]. Под плавным изменением некоторой геоме трической характеристики будем понимать такое, когда при переходе
от точки |
(Е, tj) |
к точке (Е', ц ') , расположенной на расстоянии |
||||
порядка |
толщины |
оболочки h, |
она имеет |
относительное |
изменение |
|
порядка |
-=• |
(где |
R — радиус |
кривизны) |
или меньше*). |
В точке |
с координатами (Е, *]) серединной поверхности проведём касательную плоскость. Подвижной трёхгранник Дарбу (х, у , г) расположим так, чтобы начало координат ( х = у = г=в 0) совпало с точкой (Е, rj), оси х, у были направлены соответственно в сторону возрастания Е и ц, а ось г — к центру кривизны линии Е. Таким образом оси х, у сов-
1) Как известно, можно несколько расширить это требование №.
падают с главными направлениями поверхности |
в точке (Е, ч\). Элемент |
|||||||||||
серединной |
поверхности оболочки |
образуем |
линиями |
Е = const., |
||||||||
= const, |
и |
S + Л = const., |
|
= |
const., |
а |
элемент |
оболочки |
||||
проведением |
через |
указанные линии нормальных её сечений. На |
||||||||||
рис. 51 изображён |
элемент оболочки |
и |
показаны |
напряжения, |
дей |
|||||||
ствующие |
на |
слой |
элемента, расположенный на расстоянии г от се |
|||||||||
рединной |
поверхности. Как уже говорилось, напряжения ZX9 |
Zy и Zt |
||||||||||
малы сравнительно |
с остальными |
напряжениями, и потому |
напряже |
|||||||||
ния и деформации |
элемента связаны |
между собой |
формулами § |
23. |
||||||||
Относительные |
удлинения и |
сдвиг |
элемента |
серединной |
по |
|||||||
верхности |
в |
результате деформации |
оболочки |
обозначим: |
|
|
|
а изменения нормальных кривизн его и кручения, которые в целом будем называть искривлениями оболочки вследствие де формации, обозначим со- У ответственно:
1 1
7
Рис. 51.
Если компоненты вектора перемещения точки серединной поверх ности по осям х 9у , г заданы как функции координат (6, YJ), то де формации е19 в2, в12 выражаются через них по известным формулам, содержащим производные от перемещений не выше первого порядка, а искривления хх, х^, х12 — не выше второго порядка М. Мы приведём эти выражения для тех частных задач, которые будут рассмотрены ниже.
Согласно первой гипотезе Кирхгоффа-Лява нормальные сечения оболочки до деформации остаются также нормальными к серединной поверхности после деформации, и потому деформации слоя, распо ложенного на расстоянии г от серединной поверхности, будут:
%9 х у —е х у —■^ (*1Я **ха) (*!*“■“О-
Эти формулы вполне определяют правило знаков для искривлений. Например, величина xt считается положительной в том случае, если волокно, параллельное оси х и расположенное со стороны положи
тельных значений |
г |
вследствие |
искривления |
|
укорачивается; кру |
||||||||
чение т= = х1а |
положительно, |
если |
угол |
между |
волокнами, |
парал |
|||||||
лельными х |
и у и |
|
расположенными |
со |
стороны положительных г, |
||||||||
увеличивается. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интенсивность деформаций, согласно (4.7), будет: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
ei = |
y ^ V ^ |
|
|
|
|
(4-18) |
||
или, на основании |
(4.8), (4.9), |
в |
которых нужно |
положить |
|
||||||||
|
|
а — 1, b — — z, |
х п = еп, у п = |
х„, |
|
|
|||||||
|
|
|
ei = y = V |
p |
- ^ P „ + z * P x. |
|
(4.19) |
||||||
Напряжения |
в |
слое |
О'тп, |
согласно (4.2), будут: |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
= |
~2 |
|
|
~ei |
|
|
|
|
|
|
|
« |
. - г , — |
|
|
|
|
|
|
|
(4\20) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
^ху == Ху = |
|
(ei2 |
|
|
|
|
|
|
|||
причём а4 есть |
определённая функция е{; напряжения Xg9 |
Yg, Zz малы |
|||||||||||
сравнительно |
с |
основными. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Всё упрощение, |
|
вносимое |
в |
теорию оболочек гипотезами Кирх- |
|||||||||
гоффа-Лява, |
состоит в том, что |
вместо |
шести |
компонентов |
напря |
||||||||
жений можно ввести пять компонентов усилий и три |
компонента |
||||||||||||
момента, действующих на |
элемент |
оболочки |
в |
целом, |
причём эти |
восемь величин будут функциями только двух независимых перемен ных 6, 7j; для их определения в конечном счёте достаточно одних уравнений равновесия элемента, если только связь между усилиями, моментами и деформациями и искривлениями будет установлена.
Пять компонентов усилий определяются, как равнодействующие всех напряжений по двум взаимно перпендикулярным граням эле мента, длины дуг которого в серединной поверхности равны единице.
Если оболочка |
достаточно тонка, |
так |
что |
отношением |
толщины её |
||
к характерному |
радиусу |
кривизны |
можно |
пренебречь |
сравнительно |
||
с 1, мы получим следующие пять выражений для усилий: |
|||||||
|
А/2 |
|
А/2 |
|
|
А/2 |
|
Тх= |
J* Xm dz, |
Г, = |
JYy dz, |
Г,а = JХу dz, |
|
||
— h/2 |
— hft |
|
|
— h/2 |
|
||
|
m |
|
|
л/2 |
|
|
|
|
Nt = { |
Z,gdz, |
Nt = / |
Zydz. |
|
— h/2 |
— h/2 |
Перерезывающие силы Nv N%, несмотря на малость напряжений Zx, Zyy не равны нулю, и они определяются только из уравнений равно весия.
Аналогично можно написать формулы для изгйбающих и крутя щего моментов
—Л/2 — Л/2 —Л/2
Поскольку напряжения, приложенные к элементу, таким путём заме
няются результирующим^ усилиями |
и моментами, можно и сам |
эле |
||||||||||||||
мент |
оболочки |
заменить |
элементом серединной |
поверхности. |
На |
|||||||||||
рис. |
52 |
изображён |
элемент |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
серединной |
|
поверхности |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
оболочки, |
и показана |
схема |
|
|
J |
|
|
|
|
|
||||||
действующих |
на него сил. |
|
|
I |
|
|
|
|
|
|||||||
Силы 7\ и Т2 растягивают |
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
||||||||
его |
в направлении |
осей |
х |
У у |
|
|
|
Щ J&L S |
|
|||||||
и у> сила |
Т12 создаёт |
сдвиг у |
|
|
|
К* ^ |
|
*— -*-т |
||||||||
внутри |
поверхности; |
поло- |
|
|
|
|
/ г |
|
|
* |
||||||
жительные |
их |
направления |
^ |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
в осях |
х 9 у |
|
таковы |
же, |
{ |
|
|
|
|
|
||||||
как |
и |
направления |
напря- |
* |
Ч |
|
|
|
|
|
|
|||||
жений Х х, |
|
Х у. |
Поло |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
жительные |
направления |
пе- |
|
|
Рис. 52. |
|
|
|
||||||||
ререзывающих |
сил |
Л^, |
N2 |
|
|
|
|
|
Zx> Zy. |
|||||||
совпадают с положительными направлениями напряжений |
||||||||||||||||
Изгибающие |
моменты |
М и М2 считаются положительными, |
если |
они |
||||||||||||
стремятся дать выпуклость оболочке в сторону |
положительной оси г. |
|||||||||||||||
Крутящий |
момент М12 положителен |
в том |
случае, |
если |
со |
стороны |
||||||||||
положительной |
оси |
х |
он стремится |
закручивать элемент |
по |
часовой |
||||||||||
стрелке. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ти |
Т.» |
Т19 удобно |
||||
Для |
упрощения |
вычислений вместо |
сил |
|||||||||||||
ввести |
их |
линейные |
комбинации |
|
|
|
|
|
|
|
*—Л/2 Л/2
(4.23)
— Л/2
Л/2
—Л/2
а вместо моментов А#„ |
|
М12 их |
комбинации |
|||
|
|
|
|
|
А/2 |
|
Я х = Mt — \ Ж9 = J « V |
||||||
|
|
|
|
|
—h/2 |
|
|
|
|
|
|
А/2 |
|
Н9= Ма— |
|
|* SyZdz, |
||||
|
|
|
|
|
—А/2 |
|
|
|
|
|
А/2 |
|
|
^18 = |
^18 = |
J* |
|
|
||
Из (4.23) и (4.20) теперь |
имеем: |
|
|
|||
|
|
А/2 |
|
А/2 |
|
|
S i — 1 ( 3 * - *1 f £ |
|
|||||
|
- А /2 |
|
- А /2 |
|
||
|
|
А/2 |
|
h/2 |
|
|
5 2 = |
eQJ |
-^ d z — |
|
|
||
|
— А/2 |
|
-h/2 |
|
||
|
|
А/2 |
|
h/2 |
|
|
^12 = |
е 12 |
Г ~^dz ~- « - J |
|
|||
|
-А /2 |
|
-A /2 |
|
||
а из (4.24) имеем: |
|
|
|
|
|
|
ffi = ei |
А/2 |
J |
|
А/2 |
|
|
j |
|
j* ^ *ай г, |
||||
|
-А / 2 |
|
|
- А /2 |
|
|
|
А/2 |
|
|
А/2 |
|
|
|
‘o |
1 T“ -6 |
-- |
J |
г?' |
|
|
J |
ei |
|
|||
|
—A/2 |
|
|
-ft/2 |
|
|
|
A/2 |
|
|
|
|
|
|
‘u |
|
|
- |
J |
2 “ |
|
—A/2 |
|
||||
|
|
|
-ft/2 |
|
(4.24)
(4.23')
(4.24')
В формулах (4.23') и (4.24') встречаются три типа интегралов, распространённых по толщине оболочки:
|
A/2 |
|
A/2 |
|
Jf |
/g 5= |
Г —a a dz> |
-А/2 |
|
J ei |
|
—h/2 |
|
-h/2 |
Через них силы и моменты выражаются просто:
Так как в (4.25) о, есть данная функция от е{, причём конкретно вид её для каждого материала становится известным в частных зада чах, естественно избавиться от интегрирования по г и, на основании
соотношения |
(4.19), |
перейти |
к интегрированию по |
et. Умножая Ух |
|
на Р„ У2 на |
— 2Рп |
и Js на |
Р х и складывая результаты, получим: |
||
|
|
|
|
А/2 |
|
|
|
|
|
|
(4.28) |
Дифференцируя (4.19) по z, находим: |
|
||||
|
|
|
^ e fdet = (zPx — Pn)dz. |
(4.29) |
|
Умножим теперь Ji на — Рп |
и / а на Рх и сложим результаты; тогда |
||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.30) |
Найдём |
выражение г а через е(\ для этого необходимо |
решить квад |
|||
ратное |
уравнение (4.19) |
|
|
корнем которого, не противоречащим соотношению (4.29), является
причём необходимо брать всегда положительное значение квадрат ного корня. Дифференцируя (4.31), получим:
|
|
dz |
У з |
|
etdet sign det |
(4.32) |
|
|
|
= |
|
РгР г~Р‘ |
|||
|
|
|
2 Y K |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Р% |
|
Знак |
величины |
zPx— Рп , согласно |
(4.29), |
совпадает со знаком ~ , |
|||
а так |
как в интересующих нас |
интервалах |
dz всегда положительно |
||||
при изменении |
г от |
ft |
ft |
, то интегрирование по de{ должно |
|||
— у до + |
^ |
выполняться так, чтобы de* тоже возрастало, т. е. необходимо инте грировать по <fe{Sign</£<.
Рассмотрим |
значения |
интенсивности |
деформаций* в |
трёх |
точках, |
|||||||||
расположенных на |
оси z\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
h |
|
* |
ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = — 2* > *= + 2 и 2 = z & |
|
|
(4.33) |
||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* o - Px |
• |
|
|
j |
|
|
|
Обозначим |
их |
соответственно: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
f |
I ) |
’ |
|
|
|
|
|
|
р * ~ АР« + т р * |
( * - + т ) * |
(4.34) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
* - У |
? 7 р У |
‘р ’р ' - |
р 1 |
|
{г==*о)- |
|
|
|||||
Как |
видно |
из |
(4.29), |
точка z = z0 есть точка |
минимума е<, |
так как |
||||||||
|р * > 0 . Следовательно, |
всегда имеют место неравенства |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
% > \ у |
eif> Ч - |
|
|
|
(4.34') |
|||
|
Будем говорить, что деформации растяжения и сдвига середин |
|||||||||||||
ной |
поверхности |
е,, |
еа, |
е19 соизмеримы |
или малы |
сравнительно |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A xlf |
± |
ft |
|
ft |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Y *2> — Y Xia ИЛИ ЧТ0 |
||||||
последние |
являются |
доминирующими, |
если |
точка |
z0 не выходит за |
|||||||||
пределы толщины |
оболочки, т. е. если |
|
|
|
|
|
|
“ Т < * о = Р 7 < 4 - |
<4>35) |
точка |
г 0 расположена вне |
толщины оболочки, т. е. если имеет место |
|||||||||||
одно |
из |
неравенств |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.36) |
В |
случае |
соизмеримых деформаций |
растяжения |
и |
изгиба, интеграл |
||||||||
от |
всякой |
положительной |
величины |
R по |
толщине |
оболочки необ |
|||||||
ходимо |
вычислять по |
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Ъ/2 |
/3 |
eh |
Rejdtj |
Г |
Re{det |
|
|
||
|
|
|
|
Г R dz = |
Г f |
|
(4.35') |
||||||
|
|
|
|
2 ул LJ |
У ei~ el |
|
|
|
] |
||||
|
|
|
— Ь/2 |
|
|
|
|
В случае несоизмеримых или больших деформаций растяжения такой интеграл следует вычислять по формуле:
h/2 |
г - |
Нг |
Re{de{ |
|
l^ s ig n (eit— e{i) |
Г |
|
|
dz- |
|
(4.360 |
—А/2 |
2 YPк. |
|
|
Введём теперь |
обозначения основных |
в теории оболочек величин: |
II
в — В0, С — Со, ( - | < г о < 4 ) .
A = AU |
c = c lt |
. h\ |
(4.37) |
( i * o i > 4 ) , |
|
где величины ^40, В0, С0 относятся к случаю доминирующих деформаций изгиба и равны:
|
*<> |
е<, |
«<, |
|
А0— |
J aide{ -f- J |
<3{det |
=j oide^ |
|
|
H , |
» i , |
|
e < i |
|
|
|
% |
Ojdet |
B0 |
|
|
J |
|
|
|
v |
(4.370 |
|
|
4» |
|
^ 4 |
|
|
|
®<o |
|
|
|
% |
|
|
|
C0= |
j* |
|
|
|
•и
а А г, Ви Cj относятся к |
случаю доминирующего |
растяжения сре |
динной поверхности и равны: |
|
|
е<. |
|
|
— ^1 — / |
°ideo |
|
•и |
|
|
°idei г sign (е{, — eh ), |
(4.37") |
|
У А |
— е |
|
<о |
|
е*1
dei sign (e{) — e{l).
Интегралы Ju Ja, |
J 8, входящие |
в |
формулы (4.23'), |
(4.24'), |
(4.26) |
|||||||||
и (4.27), |
можно выразить |
через основные величины J4, В, С, |
зави |
|||||||||||
сящие |
от |
основных |
квадратичных |
форм Р „ |
Рх, Рп , согласно фор |
|||||||||
мулам (4.37). Для этого |
заметим, |
что |
интеграл Jt |
на основании |
||||||||||
формул (4.25) и (4.35'), |
(4.36') непосредственно выражается через |
|||||||||||||
функцию |
В , после |
чего из |
(4.30) |
находим Ja через А |
и В |
и затем |
||||||||
из (4.28) |
получаем |
/ 3 через |
А, |
В, |
С. Таким |
путём находим следую |
||||||||
щие формулы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
j __VjL R |
J |
__ д |
I |
3 |
о ч т |
, |
|
|
|
|||
|
|
/l — |
|
’ |
J* ~ |
о©*/» |
~ А ' |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2РЪ |
|
4Рх |
|
(4.38) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3р |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8PJ |
|
2РУ* |
|
|
|
|
|
|
|
||
причём |
величинам |
A, |
В, |
С нужно приписать -индекс |
«0» и |
вычис |
||||||||
лять их по формулам (4.37'), если |
доминирует деформация |
изгиба, |
||||||||||||
или же |
приписать |
индекс |
«1» |
и |
вычислять |
согласно |
(4.37"), |
если |
||||||
доминирует растяжение-сжатие серединной поверхности. |
|
|
|
|||||||||||
Исключительный |
случай, |
когда |
формула |
(4.32) и все последую |
щие вычисления теряют смысл, представляет безмоментное напря
жённое состояние, |
при |
котором |
величина е*, |
а следовательно, и о< |
|||
постоянны по толщине. В этом случае |
|
|
|
||||
|
Р* = |
/ \ . = |
0, |
е4= ~ |
у р |
, , |
(4.39) |
и интегралы Jx, |
Л» |
можно |
вычислить |
Непосредственно. Из |
фор |
||
мул (4.25) имеем: |
|
|
|
|
|
|
|