Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
15.11.2022
Размер:
16.62 Mб
Скачать
☆

согласно (4.119), где нужно положить ш = 0, q — 0, а = /?*, имеем:

и потому при условии (4.122) несущая способность пластинки определяется формулой:

(4.123)

Как видим, во всех рассмотренных выше случаях деформации пластинок в их плоскости внешние нагрузки не являлись произволь­ ными и каждый раз определялись из решения задач. Это совершенно естественно, поскольку мы предполагали, что материал не обладает упрочнением. Возникает вопрос, каково же будет напряженное состояние пластинок, если внешние силы отличны от указанных выше. В общем на него можно ответить так: в этих случаях невозможно плоское пластическое напряженное состояние пластинок, при котором напряжения а2 будут одного знака. Следовательно, в ней могут возникать упругие области, а также области, где уравнения пла­ стичности будут гиперболического типа (глава VI).

§ 28. Изгиб пластинок.

Рассмотрим вопрос об изгибе пластинки под действием сил, распределенных по её поверхности и направленных по оси г (рисг 62).

У

Рис. 62.

Так как в плоскости пластинки внешних сил нет, естественно пред­ положить, что результирующие силы Т19 Т2, Т12 всюду равны нулю. Из уравнений (4.26) имеем:

где еп — удлинения,

хп — кривизны

серединной

поверхности. Этим

равенствам

можно удовлетворить

единственным

способом,

а

именно,

необходимо

положить

=

е2 =

е12 =

0,

и так как хя ф 0,

то« J2= 0.

В

самом деле:

поскольку

ёп =

0,

то

квадратичная

форма

Рв = О,

а

следовательно,

и Р ех =

0. В

таком случае из (4ф 9)

имеем следую­

щее выражение интенсивности деформаций ei в слое пластинки, рас­

положенном на расстоянии г

от серединной поверхности:

 

е i =

y rгj ^1/ Р

(4.125)

и согласно (4.34)

 

 

eil = ei2 =

» ei0 ~

(4.126)

T . e: имеем случай доминирующего изгиба. Функции AQy B0i С0, со­

гласно (4.37'), будут равны:

 

 

 

 

Л0 =

О,

 

 

 

 

 

 

 

(4.126')

 

в<1

 

 

C0 =

2 j

ote{de{,

 

и потому функции Ju / а, согласно

(4,38),

будут:

s-

eh

’

•/з~0’

Ji~yp;J

—

C a*de*

г

— о

т. е. действительно уравнения (4.124) выполняются тождественно. Обозначая

 

JL ур~

%

 

Кз

х

 

J

 

V . * , .

 

О

 

•

мы из (4.27) получаем следующие формулы,

выражающие изгибаю-

,*,и* и крутящий моменты

:

 

 

=

— ( xi

^ xe) J (P*)t

 

М2-------( * . + Т * 0 У(Р*)’

(4Л 27)

 

1

,,г> \

Напомним, что Р х представляет квадратичную форму от кривизн:

 

 

 

 

-Р* =

х1 +

*1*2 +

*2-}‘ Х12.

 

(4.128)

Если

w (x ,y )

есть прогиб серединной поверхности пластинки

в точке

(х,у),

то

кривизны х1( ха,

х12

имеют следующие

известные

выраже­

ния I11:

 

 

d"-w

 

dsw

d~w

 

 

 

 

 

 

(4.129)

 

 

 

 

1 — д х*

*3

дуг >

Чв — д х д у ’

и потому

Рх есть функция

вторых производных от w. Обозначим

квадратичную

форму моментов

 

 

 

 

 

 

 

± p B = Q a = M\ — МУМ2+ М2 +

ЪМп.

(4.130)

Тогда

формулы

(4.45') и

(4.45'") обращаются

в тождества, а из

(4.45") находим

связь между Р%и QM:

 

 

 

 

 

 

P XJ*(Px) = J

QM ,

 

(4.131)

откуда при известной J (Рх) через QM- Уравнения (4.127) кривизн и написать обратные

находим выражение Рх через QM и J теперь можно разрешить относительно зависимости:

»*—

(4.132)

2

^

х12-------"j

^12*

Вариация работы внутренних сил, приходящейся на единицу площади пластинки, может быть вычислена по формуле (4.52):

8t/= i ./ ( P x)8Px,

поэтому вариация работы для всей пластинки будет:

8V = ± f f j ( P x)&Pxdxdy.

(4.134)

Выведем основное уравнение равновесия элемента пластинки. Если через q (x ,y ) обозначим распределённую по площади нагрузку, то условие равновесия сил, действующих на элемент (рис. 62), в проек­ ции на ось г даёт:

а условия равновесия моментов дают следующие выражения для пере­ резывающих сил:

 

 

 

 

 

<Ш,12

 

 

 

 

 

 

 

ду

’

(4.135)

 

^2 =

дЩ j_ дМм

 

 

ду

т"

а*.

 

 

 

 

 

г

дх

 

 

Внося эти значения в уравнение равновесия сил,

получаем основное

уравнение:

 

 

 

 

 

 

 

дШ,

,

п дШ12 , dW2

,

(4.136)

д х 2

'

г дх д у *

 

ду2

' У

Граничные условия в задачах об изгибе пластинок при упруго­ пластических деформациях совпадают с обычными в теории упруго­ сти условиями. На краю могут быть заданы (рис. 63) либо перемещение w и его производная по нормали v:

 

% = A ( S)-

(4*137')

либо

приведённая

перерезывающая

сила

и изгибающий

момент:

 

 

М . = / д

(«У),

 

 

^ + 1 7 =

^ (s)>

(4Л 37">

либо

смешанные условия, типичным

примером которых являются условия

на свободно

опёртом

краю:

w = 0t M v =

0.

(4.137'")

Можно

указать

три

основные

постановки задачи о равновесии пла­ стинок при изгибе: 1) постановка задачи с помощью дифферен­ циального уравнения в частных производных четвёртого порядка отно­ сительно перемещения w; уравнение получается из (4.127) и (4.136)

при граничных условиях (4.137);

2)

постановка задачи с

помощью

вариационного уравнения равновесия;

3) постановка задачи с помощью

трёх дифференциальных уравнений относительно моментов

М и Л42,

ЛГ13, получающихся

из (4.132)

и

(4.136)

при

граничных

условиях

(4.137). Рассмотрим вопрос детально.

 

пластинки

и общее

1. Первая постановка задачи о равновесии

решение. Воспользуемся представлением зависимости

через

функцию а):

 

 

 

 

 

 

 

6< =

Eei [1 —

со ( * < ) ] ,

0 ^

ш <

1 ,

 

и вычислим

интеграл

J:

 

 

 

 

/ =

D (1 — 2 ), 2 = —

f

1

(4.138)

 

dei-

 

 

ei,

J

 

 

Здесь D = -

Eh* ^

—-обычная цилиндрическая жёсткость пластинки;

функция 2 (Рх) вполне определяется, как только конкретный вид характеристики материала пластинки со (е4) становится известным. В случае закона ломаной, т. е.

со =

0,

ei < е8,

 

» =

 

g ) , > ,> е .

(4.139)

функция 2 имеет следующее выражение:

2

=

0,

 

 

h

n/-=r

 

ei' = ^ = V P * < ei

 

 

 

 

Зеа

i

(4.140)

2

=

Х

1

ч

Ч

4

> **

 

 

 

 

|

Таким образом пластинка разбивается на две области: область чисто

упругих

деформаций (2 =

0)

и область

упруго-пластических

дефор­

маций

X ;> 2

0,

причём

 

 

 

 

 

 

уравнение

границы

между

 

 

 

 

 

 

этими

областями

будет:

 

 

 

 

 

 

 

е<1= е а>

 

Ъе2

 

 

 

 

 

 

 

 

Лс = -£2‘ - (4-141)

 

 

 

 

 

 

В области упруго-пласти­

 

 

 

 

 

 

ческих

деформаций

по тол­

 

 

 

 

 

 

щине пластинки имеют место

 

 

Рис. 64.

 

 

две пластические зоны, при-

 

 

 

 

мыкающие к её поверхности

 

 

 

 

 

 

(г =

z*zh/2),

и одна упругая зона, содержащая серединную

плоскость

(г =

0).

Граница

между этими

зонами представляется двумя

поверх­

ностями,

уравнение

которых

будет е{ =

е8 или,

согласно

(4.125):

 

 

 

 

 

Z =

2L =

~

-в. У з

^

2 •

 

(4.142)

 

 

 

 

 

 

*

2

Y K

 

 

деформации пластинки, в ней всегда будет существовать зона упру­

гих

деформаций, и только

при

Рх—> оо эта

зона будет

уменьшаться

до

нуля

(г8 - * 0 ) . Этот факт математически

выражается

в

том, что

даже при

<^ = о8 = const.,

(Х =

1)

уравнения равновесия

пластинок

имеют эллиптический тип.

 

 

 

 

 

 

 

Пользуясь выражением

(4.138)

функции

У2э и подставляя значе­

ния моментов согласно формулам (4.127) в основное дифференциаль­

ное уравнение равновесия (4.136), мы

получим:

V*W = ^ -f ^ 5 [2 (*! + Y *2)] +

(2х1а) -f

 

(4.143)

Для того чтобы убедиться, что (4.143) представляет дифференциаль­ ное уравнение эллиптического типа, и потому при граничных усло­ виях (4.137) оно должно иметь решение, выпишем явно его главную часть, т. е. члены, содержащие четвёртые производные прогиба w. Согласно (4.127), имеем:

, дРх d2*iol .

JgAlig

, d*w

 

dJ

\д Р х д Ч г

■ д Р х д*ч

. д Р х д Н п 1

■

 

1 д х ду

д х 2ду*

I

d P x 121 дг.х д х д у '

д хд у

* д%12 д х д у ]

' '

' *

В этих формулах

опущены

слагаемые,

содержащие

производные от

w ниже

четвёртого

порядка. Пользуясь тождествами

вида:

 

 

а также формулами (4.129) и вытекающими из (4.127) соотноше­ ниями вида:

напишем основное уравнение (4.136):

Для того чтобы выяснить тип квазилинейного дифференциального уравнения в частных производных л-го порядка по двум независимым переменным с главной частью

п

лdnw

2и АкШк~ду^Ъ' к= О

где Ак— функции х ,у и всех производных от w ниже п-го порядка, необходимо установить, имеет ли нули однородная форма /*-ой сте­ пени от двух аргументов Е, TJ:

 

п

 

c =

\п~к

(а)

 

к—0

 

при каких-нибудь действительных значениях Е, т). Если имеет, то диф­ ференциальное уравнение будет гиперболического типа; если же с = 0 только при комплексных значениях Е, tj, то уравнение относится

кэллиптическому типу.

Внашем случае коэффициенты Ак равны

=

Ах = ^ М12М2,

=

+

As = ^

А, =

J + ? £ M l

(б)

Приведём квадратичную форму Рх к главным осям деформированной поверхности:

 

P x = X « -f x V - f X**,

 

 

где х', х" — главные кривизны в

точке (х,у). Поскольку главные

оси кривизн поверхности w (x, у ),

согласно (4.127),

совпадают с глав-,

ными осями изгибающих моментов (т. е.

при

х12 =

0, Af12 = 0), то

квадратичная форма Qu преобразуется к виду:

 

 

QM = М'* — М'М" +

М"2.

(в)

Форма с при этом' преобразуется

к виду:

 

 

 

с =

У ( Л ^ +

2 Л ^ ; а +

Л :« ),

(г)

где коэффициенты А' имеют выражения:

 

 

 

A o = l-\--j£ М"2,

A2= l +

2j%M'M",

А * = 1 - \ - ^ М'*.

Пользуясь соотношением (4.131), мы перепишем эти коэффициенты в следующем виде:

где обозначены:

т. М'

V o i ’

d = — — Олт =

у/з V lf

Форма с теперь принимает вид:

Шо =

М"

(е)

V o i

 

 

— —

dP^ > 0.

(4.145)

2уо/

 

'С= J[(1 + *)а- d(ячч+

Приравнивая её нулю и обозначая через р отношение £/т), получим

 

 

l + p a = = t Y d

(щ -f- mlpi),

 

или

 

 

 

I ± \ / d т2

 

 

 

 

Р2 =

(4.146)

 

 

 

1 i t

J/~d т1

 

 

 

 

 

Согласно формуле (в) й обозначениям

(е) величины

ограни­

чены и

связаны

соотношением:

 

 

 

 

 

 

 

т\ —

 

 

1,

(4.147).

причём

максимальное

значение каждой

из них по модулю есть 2 /|/3 .

Отсюда

следует,

что

если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4.148)

то р2 будет отрицательно, и форма с будет определённо положитель­ ной при любых 5, т], т. е. уравнение равновесия пластинки будет эллиптического типа.

Подсчитаем величину d согласно обозначениям (4.126), (4.145):

4 J deiy>

и запишем неравенство (4.148) в виде:

J ■ dJ

ei, *” det > 0 .

Согласно (4.127') окончательно преобразуем его:

(4.149)

выполнено, если для любого ei

о

ввиду того, что для ei ^ е8, 5- ^ = Е. Таким образом уравнение изгиба

пластинки (4.143) будет эллиптического типа даже при условии пла­ стичности Мизеса о4= ав, лоскольку в нём учитывается упругая деформация упруго-пластической зоны (| z | < | г8\) и становится гипер­ болическим только при е8= 0 .

Приведённое выше исследование показывает, что выражение, стоя­ щее в правой части уравнения (4.143), хотй и содержит главные члены, но коэффициенты при них меньше соответствующих коэффи­ циентов бигармоническопо оператора V 4w, стоящего в левой части. Отсюда при интегрировании уравнения (4.143) вполне законно вели­ чину

* ' -

[ ° ( * ■ + т * * ) ] + $ [ “ (« . ■+ i «

.

)

]

<4 I 5 0 >

рассматривать

как нагрузку,

т. е. применить

метод

упругих реше­

ний.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что если для

пластинки

с определёнными граничными

условиями известна функция Грина упругой задачи,

т. е. известно

решение

упругой задачи

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

5

r (A’ У' I’ ^

 

 

 

(4.151)

для сосредоточенной силы

Р,

приложенной в точке

 

с координатами

(?, TJ), то вычисление её прогиба, удовлетворяющего дифференциаль­

ному уравнению упруго-пластического

изгиба

(4.143), при

действии

распределённого давления q (£, т]) по методу упругих

решений сво­

дится к

квадратурам. Решение уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= q + qfD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

Но определению

функции

Г можно записать в виде Iе!:

 

Или

w=i/ J

4) +

^ '( 6 .

-»])]Г(д:. у, 5,

ч )Л Л |,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

w =

w(e) -rj—w y

 

 

 

(4.152)

Где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

есть упругое решение задачи изгиба пластинки под действием на­ грузки q, а

 

 

 

 

w ~

 

j

j 9'(5. т))Г(х, у,

 

S, ц) did -ц.

(4.154')

На основании теоремы о разгрузке

w = w — w^e)

представляет

оста­

точный прогиб

 

пластинки

в

любой

точке

после

освобождения

пла­

стинки

от

нагрузки

q.

В

формулах

(4.153) и

(4.14') интегралы

рас­

пространены

по

всей

пластинке:

 

 

 

 

 

 

 

 

Внося значение

 

(4.150)

в (4.154'),

мы получим

интегралы

типа

 

 

 

 

/

/ Й

[ 2 ( xi

+

2 x* ) ]rd 5 rf’ l-

 

 

 

Такой

интеграл

 

преобразуется по формулам Грина к виду:

 

/ / 2

(xi

Т

х?) Гк

 

d-ц

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

/

 

{

[ 2

( * 1

+

i

* » ) ] r

~

2

( x i +

у

* a )

I COS vx ds,

причём

второй

 

интеграл берётся по контуру пластинки; индексы,

приписываемые

функции Г,

означают производные

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Г

— дг

 

г

— д*г

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А« — д Р '

 

 

 

 

В результате вычислений получим следующее выражение остаточного прогиба:

w — J J[*i (г « + у ^-т) Н“ х1аГсч+ *2 + у Г « )] 2 & d-ц. (4.154)

Здесь опушен контурный интеграл

J {г [ ||2(Х1+ ухг) cosv* “Ьу ду2xia COSv* "f

+ Ц Q

+

2 х0

cos v ^ + у

2xia cos yy] —

— 2 [(xi +

у *a) r «cos vx

- f

х12Г„ cos VJC-f-

 

+

(xa +

у x i )

Г ч cos у у - f У x19 Г е cos v x j j ds,

который обращается в нуль на основании граничных условий; мы не будем приводить этому доказательства, ибо оно тождественно совпа­ дает с доказательством обращения в нуль такого контурного инте­ грала при упругом изгибе пластинки. Например, в случае защемлён­ ного края на контуре Г = Г5 = Гу = 0 и т. д.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности