Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

16.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ности, может быть, и не отражающую всех тонкостей игры пласти ческих деформаций, но более или менее правильно характеризую* щую распределение возникающих на границе области* пластичности напряжений. Во многих случаях вполне удовлетворительные резуль* таты решения подобных задач получаются по методу упругих реше ний на основании излагаемой ниже теории малых упруго-пластиче ских деформаций. При этом первое или, во всяком случае, второе приближение оказывается достаточным.

Если обратиться ко второй основной задаче теории пластичности и исключить случай определения несущей способности, то в ней,

вследствие

возникновения

в телах

конечных деформаций,

упругие

д е ф о р м а ц и и т и п а ^ Q S W X ( по и х м а л о с т и с р а в н и т е л ь н о с о б щ и м и

деформациями),

видимо,

не играют

никакой роли. Гораздо

большее

значение здесь приобретает объёмная сжимаемость тел,

и может

быть

зависимость

«постоянной»

о8 от величины давления ( — о). В таком

случае

остаётся

пригодной

только

одна,

с нашей точки

зрения

удо

влетворительная

теория,

основном

совпадающая с

теорией Сен-Ве-

нана-Мизеса.

Переходя к теориям пластичности, в которых учитывается эффект

упрочнения

материала

процессе

деформации и которые,

следова

тельно,

позволяют

по

внешним

силам

определять

деформации

тела

и потому отвечают

полностью требованиям первой

основной задачи

теории пластичности, заметим, что их строят также, исходя из уравнения (1.127), подбирая соответствующим образом коэффициенты. Однако для случая сложного нагружения тела пока ещё нет доста точных оснований считать хотя бы,и самую общую из них удовле творительной. Трудности экспериментального изучения законов упроч нения при сложном процессе нагружения и, в частности, трудности обобщения эффекта Баушингера, весьма велики, а имеющийся


экспериментальный		материал совершенно недостаточен.
Теория	П рагера1381, учитывающая эффект упрочнения				при слож
ном напряжённом		состоянии,	в основных чертах	такова:	сохраняют
в (1.127)	отличными от нуля		коэффициенты А, В	и В'	и полагают

5 =	1, 5 ' =	2 0 (О — упругий модуль сдвига),	и
для	случая,	когда ^ >• 0,[или А = О д л я ^д\ <	0 ; в скалярной форме
получаются уравнения:

20Ьеха = 8S ea-\-g (p t) 8a{Sxa),

ОЬеХу — 8.Sgjy g ipt)

Функция g (о4) должна быть определена экспериментально. К уравне ниям (1.133) следует добавить условие несжимаемости

8*«в + Ъеуу -f- 8е„ = 0.

Для определения функции g воспользуемся диаграммой растяжения

образца (§ 1); в этом случае ot =	ov	ea)m = ei ~ e i :
о	1	2
	у ° 1 — 3 °1*

Уравнения (1.133) дают:

2G8*1= .§ 8 o 1+ s ( a 1) f a 1So1,

и поэтому
3 G ^ i — 1 за—			dei
аа1			dei
S (?{)■■		dc\
	4 dJ,
По диаграмме растяжения величины ^			или	X могут быть	выражены
черев о1э и потому функция	g (оА) =	g (о<)		найдена18*!.
Все изложенные теории	пластичности обладают теми				или иными

недостатками, на которых мы подробно не останавливаемся. Например, теория Сен-Венана-Леви-Мизеса построена в предположении, что направляющий гиперболоид напряжений определяется только мгновен ным гиперболоидом скоростей деформаций, т. е. материал как 'бы мгновенно забывает предисторию дефЬрмаций, что не совсем верно. Теория Прандтля-Рейса предполагает, что гиперболоид скоростей деформаций зависит только от двух бесконечно близких (по пара метру X) значений девиатора напряжений; это также не совсем верно, ибо история деформирования сказывается более сильно. Теория Генки-Надаи предполагает, что деформации в некоторый момент определяются только мгновенными значениями напряжений, что неверно хотя бы потому, что напряжения можно изменять скачком, но дефор


мации	должны		изменяться непрерывно. Теория			упрочнения Прагера
в основном обладает тем же недостатком, что						и теория Прандтля-
Рейса,	но	учитывая		эффект упрочнения по простому опыту, не свя
зана со специальным опытом для учёта эффекта Баушингера.
Для	наглядного			представления	различных теорий		пластичности
в применении к плоскому случаю Прагер I85! предложил интересную
модель.	Рассмотрим			деформацию	тонкостенной	трубы,	на которой
и делались		все	фундаментальные		опыты, причём предположим,			что
внутреннее		давление		отсутствует.	Напряжения	и деформации		её

исследованы в § 7. Максимальное касательное напряжение и макси мальный сдвиг определяются формулами:

Рассмотрим плоскость переменных и, v (рис. 37). Деформированное состояние определяется точкой Е с координатами

и в — е ову' в 2

Напряжённое состояние будем изображать точкой 5 с координатами

11 --- 11 __Ху	——tQ	,„Хх
и 8 — и в п ’	•	2G

Тогда векторы е = 0 £ и S = SE представляют соответственно 7тах

причём угол наклона вектора 5 к оси 0 , определяемый из

Формулы
4g 2ф =	^	= Це —	= tg у,
ё Y	* *	»e—	бА

равен удвоенному углу наклона оси главного напряжения с осью трубы, а угол вектора е с той же осью равен удвоенному углу на клона главной оси деформации с осью трубы 2 ф.__

Вектор S = SE, с другой сто роны, отображает упругую дефор мацию трубы:

g(e)

—

-Я®

- (2)

Ху

ха

-----g r '

и так как при условии несжимае

мости Е — 3 G, то проекция S на и

даёт

е(ху,

проекция

его на

даёт

ехх. Теперь очевидно, что вектор 15s

изображает

остаточную

(или

пластическую)

деформацию:

Jp't

Ху .

ip) — 3 /

Хх \

----- Сху

Q~ >

~2 еЯЗ

\ех х ---------- fT J •

Итак,

одной

стороны,

векторы

e — O f

и S = SE

изображают

ттм

наклоны

главных

осей

Деформаций и

напряжений,

а с другой они представляют деформацию, причём е = ОЁ— полная деформация, SE = S — упругая деформация, a OS — пластическая или

остаточная деформация. На рис. 37 отображено такое состояние тела, когда тензоры полной, остаточной и упругой деформаций не совпадают по направлению, и потому гиперболоиды напряжений и деформаций имеют различную ориентацию.

До тех пор пока деформация тела является упругой, вектор OS равен нулю, т. е. точка 5 совпадает с О. Как только напряжения достигают величин, удовлетворяющих условию пластичности, которое

в изображающей диаграмме Прагера удобно взять как условий постоянства максимального касательного напряжения

тш«х = const- = *»

тело выходит за предел упругости. Процесс деформирования изобра жается движением точек Е и S, причём как только вектор SE

достигает размера -^г, точка S выходит из начала координат и начи


нает двигаться вслед за Е, причём расстояние между						5 и Е остаёт
ся постоянным.	Условия		постоянства отрезка SE			при	движении
точки Е, конечно, недостаточно для определения движения точки S;
необходима ещё, например, связь между углами <р и <J».
Отметим, что изображающая диаграмма Прагера является только
качественной.	Во-первых,		вместо	условия	пластичности		Мизеса
в ней берётся условие		Кулона-Сен-Венана;			во-вторых, она не вос
производит полностью		тензорного		характера	напряжений		и дефор

маций. Но она очень наглядна и удобна для изображения некоторых

теорий	пластичности.
Для	того чтобы	ясно представить себе движение точки 5 по
заданному движению		точки	вообразим отрезок SE материальным

неизгибаемым линейным элементом (стержень—нить), длина которого

может	быть или меньше	или равна	k/G;	в первом случае точка 5
совпадёт с точкой О, во		втором— точка 5		может быть	на окруж
ности	радиуса R = k/G,	описанном	из центра Е. До тех		пор, пока

отрезок ОЕ меньше R, имеет место упругая деформация, и одно только положение точки Е вполне определяет напряжённое и дефор мированное состояние тела. Таким образом, если точка Е лежит


внутри круга радиуса R = klG, описанного из точки О'									(рис. 38, а ),
деформация	тела		является	упругой, и			точка S совпадает с О. Если
же \| SE \| >	R,	деформация		является			упруго-пластической,			причём,
в зависимости		от	того, какова		теория		пластичности, точка S			может
занимать различное положение					на	окружности		радиуса	R описанной
около Е. Если		точка Е движется				по	некоторой кривой АЕВ, т. е.
деформированное			состояние	тела		изменяется,		точка 5	также будет

перемещаться, но для её движения имеется всегда одна степень

свободы (положение на соответствующей окружности).								Направление
касательной к кривой АЕВ в точке Е характеризует									скорость
полной	деформации.
Рассмотрим теперь теорию пластичности Сен-Венана-Леви-Мизеса
(рис.	3 9 ,а).	Согласно	этой		теории	очевидно,	что	направление
отрезка SE, проекции которого					характеризуют напряжения в теле,
всегда	должно	совпадать	с	направлением касательной				в	точке Е
к линии АЕВ,		как только		SE > R.		Поскольку	сами	деформации

в этой теории остаются неопределёнными, не следует обращать

внимание на длину отрезка OS. Если в некоторый момент				времени
направление движения точки Е изменяется		скачком, то проекции SE
на оси, т. е. напряжения, изменяются скачком.
Теория Рейса-Прандтля имеет следующую интерпретацию. Пусть
в некоторый момент положение отрезка		SE	известно,	и	пусть
точка Е в данный момент переходит в близкую			точку Е' по		напра
влению'ЕЕ'. Тогда точка	5 переходит в S',	расположенную на пред
шествующем направлении	отрезка S'E', т. е. на SE (перемещение ЕЕ'

нужно считать бесконечно малым). Это изображено на рис. 39, в. Пре

рывному изменению направления движения Е здесь соответствует

непрерывное изменение	как наклона	так и перемещения S. Если
точка Е движется по	кругу, описанному около 5, то OS остаётся

неизменным, т. е. такое деформирование происходит за счёт только упругих составляющих деформации.

Теория Генки-Надаи имеет следующую интерпретацию: точка S всегда расположена на луче ОЕ на расстояний ES = E'S' = Rt

		Рис.		40.
т. е. главные	оси	напряжений	(или упругих деформаций),		остаточ
ных деформаций и полных деформаций совпадают.
Легко видеть,		что если точка		Е всё время движется по одному
и тому же лучу,		выходящему	из	начала координат, точка	5 также
движется по	этому лучу, какую			бы из названных теорий	пластич

ности мы ни приняли. Этот случай относится к простому нагружению. Нагружение можно назвать близким к простому, если точка Е дви нется по кривой, мало отклоняющейся (мало искривлённой) от луча, соответствующего простому нагружению. Легко видеть, что и в этом случае все теории пластичности мало отличаются между собой.

На рис. 40 изображён случай деформирования, резко отличаю щийся от простого; к трубе сначала приложен только крутящий момент, и она закручена на некоторый угол, так что достигнут предел’текучести. При этом точка Е по оси абсцисс вышла на окруж ность в положение Ev а точка St осталась в положении О. После этого угол закручивания оставлен постоянным, и труба растягивается


силой,	приложенной		по	оси.	Точка	Е при этом	переходит		из	Et
в Еа.	По теории	Сен-Венана			точка 5	при движении Е		из	в	Еа
будет	на прямой	£ аБ „		и потому (рис. 40, а) в трубе				касательные
напряжения исчезнут			и	будут	одни только нормальные, так как
проекция SE на		ось	и равна		нулю.	Когда точка	Е движется			по

прямой	EtE^	точка S	описывает		трактрису (рис.	4 0 ,б),	если
принять	теорию	Прандтля-Рейса,		и	конхоиду (рис. 40, в) согласно
теории Генки-Надаи. Наклон					к оси v, следовательно, меньше
всего по	первой	теории	(он равен	нулю), больше по		второй	и ещё

больше по третьей. Все три теории утверждают в согласии с опытом,

что	касательные		напряжения		убывают,		но по	первой	оно		исчезает
сразу при		приложении осевой			силы,	по	второй очень		быстро и по
третьей медленнее.
	Сравнивая три		указанные теории			пластичности, Прагер				приходит
к выводу, что первая теория даёт совершенно								недопустимые			резуль
таты: получается скачок точки S при переходе точки Е с прямой ОЕх
на прямую ЕхЕъ т. е. скачок					остаточной деформации. Но						правиль
нее	этот	дефект	отнести	к	самой	диаграмме Прагера,				поскольку
в теории		Сен-Венана-Мизеса,			как и других,			принимающих условие
пластичности (ттах = const,				или ai =		const.),		пластические			и общие

деформации по величине остаются неопределёнными, и только упругие составляющие деформаций и напряжения определяются вполне. Далее, ссылаясь на свои опыты, а также на опыты Рейса и Гогенемзера по кручению с последующим растяжением, Прагер, обрабатывая

результаты	опытов на	диаграммах	а, б, в, рис. 40, приходит к вы
водам в пользу теории Генки-Мизеса. Впрочем,				через	два	года,
в связи с обсуждением уравнений			(1.133), Прагер	приходит к		про
тивоположным выводам из чисто теоретических соображений.
Случай	простого	нагружения,	основные особенности		которого

состоят в том, что направляющий тензор напряжений остаётся посто янным, направляющий гиперболоид напряжений — неподвижным, глав ные оси напряжений не меняют своей ориентации относительно материальных частиц элемента тела, является исключительным. Если

не	рассматривать явлений			ползучести,	релаксации и последействия,
все	теории		пластичности,	вытекающие	из	уравнения	(1.127),	то
ждественно			совпадают между собой. Это			утверждение	вытекает	из
теоремы, доказанной в § 5: если зависимость девиатора							некоторого
тензора		от	параметра X является простой,			т. е. направляющий тен
зор	от	него	не зависит, то	девиатор, получающийся из данного путём

любой линейной операции, имеет тот же самый направляющий тензор, и девиаторы относятся как их интенсивности. Совпадение теорий пластичности в том случае, когда главные оси деформаций неподвижны, уже было проиллюстрировано на диаграмме Прагера. Теперь мы поясним его на основе только что приведённой теоремы I84!.

Если	направляющий тензор	напряжений (D e) в	некоторой точке
тела не	зависит от параметра	X (X — время или	другая величина,

определяющая последовательные значения напряжений, например, характерная нагрузка), то из определения (Da) имеем:

т. е. для любой компоненты (Ds) имеем:

		а ь =	const.
Компоненты	Suv, как	и их интенсивность		зависят от А,	т. е.
изменяются с	течением	времени,	вследствие	изменения внешних	сил

от' момента их приложения до любого рассматриваемого момента.

Пусть Aj, А9, . . . ,			Ая . . .	А — промежуточные значения А. Тогда имеем:
		S » c ( A i) _ _ Suv (А д )
		“Ч ( A i)	U ( A j)
По свойству таких пропорций имеем:
	S Uy ___ a iSuv ( A i ) + g tS « « i ( А д ) + • • ■ +					д п ^ ц « ( A >t) +	a S u v ____ .
		ai z{ ( A i) +		a ^ i ( A j) +	• • •	+ a nxi ( A n) +	a ^i	* ’
где	au	Og,	a — любые		величины, могущие зависеть как
от	Ат	так и от А. Выбирая, например, разность соседних						значений А
весьма		малой и полагая:
		ntj — #2 —	• • •	1 9,		д	А ■Ая — </А,

получаем:

Беря отличными от нуля три бесконечно близких' значения А, легко получим аналогичную формулу для вторых производных и т. д. Полагая, например,

ап = а (^от>

+1 ^да)>

и переходя к пределу

Ада+1 — *т =

П - * со

получим:

(А , Ада)

(А да) Л д а

Таким образом, вообще для	всякой	линейной операции L (Suv)
типа (1.127) имеем:
$uv __ 7, (Suv)
•ч	Иъ)		’
Величины
quv = L (Suv)	(и,	v =	х, у , г)

представляют собой девиатор (Dq), так как сумма элементов главной диагонали равна нулю. Их интенсивность qt будет равна:

=	( Л х х —+ • •Ч• уНу- Т6 ( q l y+ q \ z+ q l x ) -

Но из пропорций

$U V_4uv

ЧL (ч)

величины qm можно выразить формулой:

4uv	Ич)
4uv	ч
и, поставив их в q{, получить:
<7< =	Кч) ч ,
	ч
т. е. qi = L (т4). Таким образом,	имеем:

(Da)=*(Dq),

т. е. направляющий гиперболоид левой части (1.127) совпадает с направляющим гиперболоидом напряжений и, согласно (1.127),

является направляющим		гиперболоидом правой части (1.127):
	£(£>,) =		4-(А,) = £'(£.).
Так как	компоненты	(De)	суть:	еая — е = эхх,	> 2 ewy---эху>
то теперь	имеем:
		L'&uv)	Яиу	= const.,
		Pi	4i

где
Pi =	( * « ) - V (fi„yp + . . . +		6 { [V ( ^ ) ] а +	. . . } .
Обозначим	через L'	линейную операцию,	обратную L',	т. е. позво
ляющую по данной		V (эцс) найти suv:

s uv = Z '[ L '( s lw)} .

Тогда по свойству пропорций:

f a	__ ^ (%«) __	(£' (fa,)]	_	3Ц0 __ £Q\|\|
4i	Pi	L'(Pi)		L/(P<
находим:
	^	(^ U tl) -----9UV T,	Pi	>
		и	(Pi,)

а, вычисляя Pi, получим:

Pi р<= L'(Pi)

ИЛИ

^ (Pt) “ 9i = у T<*

Таким образом мы получили:

(De) = (D3),

а, следовательно, получили и:

		(Д ,) = (£ ,).
Это значит,	что	направляющие	тензоры напряжений и	деформаций
тождественно	совпадают.
Таким образом, в случае простого нагружения всякая теория
пластичности	типа	(1.127) приводит к соотношению
		J L ( o . )	= £ ( о . ) ,	(1.134)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 3910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.63 Mб20Плазменная обработка материалов..pdf
#
15.11.20227.31 Mб31Планирование эксперимента в химической технологии..pdf
#
15.11.20224.36 Mб16Планирование эксперимента и измерение физических величин..pdf
#
15.11.20229.83 Mб15Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн..pdf
#
15.11.202211.27 Mб35Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий..pdf
#
15.11.202216.62 Mб25Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации.pdf
#
15.11.20221.16 Mб17Пластмассы и их свойства..pdf
#
15.11.202210.12 Mб34Поведение конструкций из композитных материалов..pdf
#
15.11.20222.28 Mб14Поверочный расчёт тормоза шахтной подъёмной машины..pdf
#
15.11.2022593.94 Кб15Поверочный расчет трубопровода на прочность..pdf
#
15.11.20225.62 Mб14Поверхностно-активные вещества в золь-гель технологии..pdf