Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

их дифференциалами, а механические свойства тела, в простейшем случае даваемые диаграммой растяжения-сжатия образца, определяются соотношениями между этими четырьмя тензорами. Как будет доказано ниже, имеющиеся в настоящее время экспериментальные материалы с полной надёжностью позволяют формулировать законы упругости

ипластичности лишь для случая так называемой простой упруго­ пластической деформации, причём они могут быть экстраполированы

ина близкие к простому состояния.

действующих внешних сил, т. е. как сила поверхностная, так и объёмйая, является функцией координат и ещё только одного пара­ метра, например, времени или какой-нибудь другой монотонно воз­ растающей во времени переменной. Поэтому и механическое состоя­

личных сплошных сред обычно представляются функциональным

где р есть линейный инвариант (П), равный среднему значению чле­

Второй инвариант Девиатора, который назовём интенсивностью (Dp),

или направляющим гиперболоидом деформаций. Если главные оси деформаций известны, то (De) определяется только одним чи­ слом v:

Зависимость между девиаторами напряжений и деформаций во всех известных теориях пластичности, не учитывающих явлений ползу­ чести материала, укладывается в одну формулу:

возрастания напряжений и деформаций остаются неизменными, все

только в тех случаях, когда направляющий тензор напряжений (Da),

параметру. Такую нагрузку мы называем простой. Если нагружение тела является сложным, т. е. возрастание во времени одной из дей­ ствующих сил не сопровождается пропорциональным возрастанием всех

остальных сил, направляющий тензор напряжений (D ,) будет изме­ няться со временем и, строго говоря, излагаемая ниже теория малых упруго-пластических деформаций будет несправедлива, хотя при слабой

или, сравнивая с (1.18), имеем:

ш ф = Ъ 5хЬ (L " )

откуда и следует интерпретация Генки.

Попутно получаем ещё и другую интерпретацию величин ai и et: интенсивности напряжений и деформаций представляют приведённое напряжение и приведённую деформацию>полупроизведение которых равно энергии формоизменения элемента. В самом деле, найдём про­ изведение

Пользуясь законом (1.87) и формулой (1.99), непосредственно получаем:

(1.101)

С этой точки зрения величины о{, ei представляют собой как бы простое растягивающее напряжение и простое удлинение фиктивного образца, заменяющие сложное напряжённое и деформированное состояние тела.

Закон Гука, отображающий упругие свойства тел, вообще говоря, теряет силу, как только начинают возникать остаточные деформации. Условие, которому должны удовлетворять напряжения в некоторой точке тела, чтобы в ней появились первые остаточные деформации, называется условием пластичности. Чтобы не различать разные точки тела, мы будем предполагать пока, что деформация его и напряжённое состояние являются однородными, т. е. они одинаковы во всех точках тела, которое также предполагается однородным и квазиизотропным.

Вполне очевидно, что условие пластичности должно быть инва­ риантно в отношении преобразования осей координат х %у , z путём поворота, и потому оно должно выражаться только через инварианты

где ов — постоянная для каждого материала величина, которую

чение.

При кручении стержня круглого поперечного сечения наибольшее касательное напряжение возникает на поверхности стержня, причём, если индексу «2» приписать главное направление осей напряжений, совпадающее с радиусом, то, как показывает опыт, условием начала

сдвиге, также представляет собой физическую постоянную. Три основных опыта: на простое растяжение, на сжатие и на кручение (чистый сдвиг) уже давно наводили исследователей на мысль объ­ единить три частных условия начала возникновения в материале остаточных деформаций в единое условие пластичности типа (1.102). Следует заметить, что в курсах сопротивления материалов часто смешивают условия пластичности и условия прочности, называя их теориями прочности; вообще говоря, между условиями прочности и условиями пластичности нет ничего общего: возникновение в теле пластических деформаций вовсе не означает потери прочности и чаще всего сопротивление тела при переходе его за пределы упругости возрастает. Теории прочности в этой книге не излагаются, поскольку они ещё недостаточно установлены для различных материалов, хотя при решении частных задач мы и будем пользоваться некоторыми более или менее очевидными условиями прочности (°).

Сен-Венаном f12l, на основании опытов Треска по истечению металлов через отверстия, было предложено условие пластичности, состоящее в том, что тело переходит за пределы упругости, как

Сен-Венан рассматривал задачу о плоском деформированном пласти­ ческом состоянии и шёл по пути обобщения уравнений движения вязкой жидкости Навье-Стокса. Вскоре Леви I19! предложил это же условие для пространственной задачи пластичности, формально обоб­ щив теорию пластичности Сен-Венана. Впрочем, идея такого условия пластичности принадлежит Кулону. Геометрический смысл уравнения (1.105) в прямоугольных координатах ох, о9, о3 нами уже выяснен в § 3: оно представляет шестигранную призму Кулона. Аналитическая