Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

Диаграмма Мора для девиатора напряжений отличается той осо­ бенностью, что расстояние центра малого круга Мора от начала

- ( X x - o ) ( Y y- o ) - ( Y y - o ) ( Z e- o ) — (Zg — a)(Xa,— o),

после замены величины а её выражением (1.7) и перемножения преобразуется к виду:

— у (ЛЙ + Y l + Z l — X^Yy— YyZz — ZzXx) =

Последняя формула показывает, что второй инвариант девиатора напряжений 2 а есть величина, всегда положительная, причём она не* зависит от среднего нормального напряжения о.

Интенсивностью касательных напряжений называется положи­ тельное количество, квадрат которого с точностью до числового множителя равен второму инварианту девиатора напряжений:

^ = 5- V ( Х х- Yy)*+(Yy- Zz)*-{-(Z -X ay + 6 ( 4 + Yt+ Z 2X) . (1.18)

правляющие косинусы её нормали равны

1

1 = т = п-.

Y3 *

Вектор напряжения Sv на такой площадке согласно (1.1) имеет компоненты:

о — -*1- °vl --- ,/%г- >

с__ °3

и, следовательно, нормальное напряжение на ней av, по (1.2), равно среднему нормальному напряжению:

°v = £vl^+Sv2//*+ ^v8^ = ‘g'(0l+ 02 + 03) = 0,

а касательное напряжение TV будет:

Внося в последнюю формулу значение

5 <2 = l ( o f + o3 + o|),

получим окончательный результат:

Правая часть (1.19) есть не что иное, как величина (1.18), написан­ ная через главные напряжения. Следовательно, интерпретация Роша гласит: интенсивность касательных напряжений есть касательное напряжение на площадке результирующих напряжений. Величину называют ещё октаэдрическим напряжением, поскольку оно оди­ наково для всех восьми площадок результирующих напряжений, которые можно провести во всех октантах; если отрезки, отсекае­ мые площадками на главных осях 1, 2, 3, одинаковы во всех октан­

тах, то совокупность площадок результирующих напряжений пред­ ставляет замкнутую восьмигранную фигуру— октаэдр (рис. 11).

Октаэдрическое напряжение мало отличается от максимального касательного напряжения, причём всегда меньше последнего. Для доказательства этого утвержде­

ния рассмотрим разность

Максимальное касательное на­ пряжение, как уже доказано выше, равно наибольшему по модулю главному касательному напряжению. Пусть главные на­ пряжения расположены в следую­ щем порядке:

причём максимальным касательным напряжением будет т31,т . е.

* т « = * 3 1 > ° -

Октаэдрическое напряжение, согласно (1.19), выражается через глав­ ные касательные напряжения формулой

Исключая в (1-20) величину т1а на основании тождества

мы получим для разности R выражение

Я = *„ - Ч г K * L x + *ш«*23 + *И.

Чтобы найти экстремум этой величины по та„ приравняем нулю производную

Отсюда имеем;

Таким образом, отношение октаэдрического напряжения zi к макси­ мальному касательному ттах удовлетворяет неравенству:

Наряду с поверхностью напряжений Коши и диаграммой Мора, характеризующими распределение напряжений по различным пло­ щадкам, проходящим через одну и ту же точку тела, для теории пластичности представляют интерес ещё другого типа поверхности, а имен­ но такие, которые устанавливают за­ висимость между напряжёнными состоя­ ниями в различных точках тела. В ка­ честве координатных осей возьмём пря­ моугольные и на осях за переменные примем главные напряжения о1э са, о3 (рис. 12).

Призма Кулона определяется ура­ внением:

вляет шестигранную призму, ось которой, проходя через начало ко­ ординат, одинаково наклонена к положительным направлениям коор­

и, следовательно, (1.23) даёт уравнение пары параллельных плоско­ стей

Вполне очевидно, что все рёбра граней (1.23) параллельны линии, равнонаклонённой к осям координат; уравнением этой линий является

Так как (1.24) не удовлетворяет уравнениям (1.23) со штрихами, то грани (1.23) и линия (1.24) не пересекаются. Из чертежа ясно также, что линия (1.24) есть ось призмы Кулона.

Цилиндр Губера-Мизеса определяется уравнением:

т* = const.

Вместо величины октаэдрического напряжения или интенсивности напряжений сдвига т* мы в дальнейшем часто будем рассматривать эквивалентную ей величину, отличающуюся только числовым множи­ телем, а именно величину а{, которую будем называть интенсивно­ стью напряжений:

Уравнение цилиндра Губера-Мизеса напишем в виде:

и потому относительное перемещение точки Мг относительно М най­

Если из точки М брать волокна р различных направлений, то ясно,