Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.11.2022

Размер:

16.62 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

заменим напряжения Х х . . .				через компоненты девиатора напряжений
= Saja*-}- о,		а деформации через компоненты девиатора дефор
маций:
		&ХХ=	9XX4 “		• • •>еху = 2$ху		• • •			(2.30)
Тогда после	перемножения			получим:
8' W = SxxЬэхх +			• •.	2Szxb9zx + о (&эхх +			8эуу		8^ )	+
					+	(5те + 5 у +		5 « )8в4 -3«й л
Множители,	стоящие		в скобках при			о и 8а, равны нулю. Пользуясь
формулами (2.1)		и (2.3), мы			можем	b'W написать		в	виде:
b 'W —	(эхх§Эхх Ч“э уу^эуу Ч” эгг^эгг Ч~ ^Эху^Эху Ч~
					Ч- % э угЪЭуг Ч" % 9 eafi9 t x ) Ч~ 0					(2 .3 1 )

Шестичлен, стоящий в круглых скобках, есть полный дифференциал функции

2"{9хх 4“ 9 УУ Ч~ эяг Ч"“29 Х у -|-2Эу3 Ч-2э я х ),

которая, аналогично показанному в § 6, преобразуется в ~ е<. Таким образом имеем:

8' t F = o , 8*< +	o80.
Поскольку о, = Ф(£<) и о = /(0, то	b'W — действительно полный

дифференциал, и потому можно написать (опуская штрих у знака вариации):

	--- W ($\|, 0) -- W(6 ХХ . . •	вдру • • •) --- j		0, (l^i Ч----Г*- \|
				(2.32)
Ш	] d w ^ _ d w ^		,	, dw *
Ш	S*< + дв 5 0 “ ' a ^	8tfa’®	+	--------

Следовательно, функция W, представляющая работу внутренних сил, одновременно является потенциалом напряжений:

„	_ d w „	dW
i	det *	дд ’
у	_ dW	• > * , =
	— ~дё— »	• > * , =
	veax

(2.33)

dW дг9У

Таким образом, она равна работе напряжений Х х . . . на упругих

деформациях	е& о...,т,	е.:
^ „ = 4	+	. . . + - v S + . . . ) = 4 ^ i e)- b 4 °6’

причем, так как o< = 3G*ie) и о = /С6, она имеет выражение:

= 60°* "f" 2К° "

(2.34)

Необратимая часть работы внутренних сил будет равна:

tPjp = W

в /° <

6G '

Бели разгрузка элемента является неполной, а именно, напряжения

идеформации Ад,

е^а, уменьшаются до значений- Хт . .

то остающаяся в нём потен циальная энергия будет равна:

^ = Й ~'‘ + 2 Г 2-<2-35>

Величина

Jч otdei=W—1 об

представляет	собой	площадь
диаграммы о,-**, заключенную
между кривой а<-Ф(*<)9 осью
абсцисс и ординатой		т. е.
площадь фигуры 0SM M "0 (рис. 43). Потенциальная	энергия формо
изменения элемента
Щ = К — jo b
равна площади треугольника 0'ММ"0'> а остающаяся энергия		формо-

изменения	элемента выражается		площадью треугольника О'ММ"(У.
Площадь фигуры		0SM 0"0 ,	дополняющую 0SM M "0 до прямо
угольника	0 0 ‘гММ"0,	обозначим W' — -^-оО;		тогда:
			“ I	" I

_ 2 оО = alei — J

=■J*<?<fifo,.

Нетрудно видеть, ную функцию для Кастильяно:

е*т —

что функция W' представляет собой потенциаль деформаций, т. е. для неб имеют место формулы

d W			dW '	d i r	(2.37)
дХ х	’	i?	и	да{	(2.37)
дХ х	’		е *	да{

Последняя из формул (2.37) очевидна. Для проверки остальных найдём, например, первую:

dVF = dW dcj		e =	et £-{ (Xx - Y		y + x x - Z , ) + e =
' дХ х	дХ а	e =	et £-{ (Xx - Y		y + x x - Z , ) + e =
' дХ х	дХ а
		_	3 (Хх — а)		, ,
		=	ei	2а<
				2а<
после чего,	согласно (2.3),		имеем	=	esew

Следует заметить, что полная разгрузка элемента тела теорети чески всегда возможна, но она, вообще говоря, не имеет места при полной разгрузке тела, т. е. при снятии с него всех нагрузок. В нём

получаются остаточные			напряжения	/V	/V	, остающиеся	де-
				Х х __ , Х у . . .
формации	ехх . . .	, еху . . . , отличные			от пластических		. . . ,
е№ . . . ,	поэтому	оно	сохраняет в	себе	некоторую	остающуюся	по

тенциальную энергию. Это обстоятельство нередко забывают при расчётах.

Полную работу деформаций всего тела обозначим V. Она пред ставляет сумму работ всех элементов

	(2.38)
	о
причём di = dx dy dz — элемент	объёма тела, г — его объём, и
интегрирование распространено	по первоначальному объёму тела

8 предположении, что внешняя форма тела как бы вовсе не измени лась. Такое приближение возможно при малых деформациях и обще принято в теории упругости. Случаи, когда это допущение является невозможным, будут оговариваться особо.

Потенциальная энергия тела согласно (2.34) будет

V‘ - S H r - * - » J / 1 * ! * + » / f f

<2-39>

а остающаяся потенциальная энергия равна:

J7Я ‘л+Я?/J/•**•	(2.40)

§ 12. Постановка задачи теории пластичности, вариационное уравнение и уравнения равновесия.

Пусть дано тело, некоторым образом ориентированное в прямо угольной системе координат:

x = x v y = x Qt г = х 9.


В некоторый момент времени оно						находится	под' действием за
данных	сил:	поверхностных Х ч,			Zv и массовых — Х 9 Y, Z. Ме
ханические свойства			тела	определяются		его упругими характеристи
ками,	кривой	ог е4	и законами,		изложенными		выше.	Требуете»
найти напряжения и деформации в теле.
Для	решения задачи			воспользуемся		вариационным		уравнением

равновесия Лагранжа, причём в случае движения к массовым силам

будем добавлять силы	инерции. Пусть
и = «1 (*, y , Z , f ),	V — щ (х , у, Z, 0 , да = «8 (*, У, г , t) (2.41)

будут компоненты перемещения произвольной точки тела под дей ствием заданной системы сил. Виртуальным или возможным переме щением будем называть всякую изохронную вариацию 8аП) совместимую со связями, наложенными на тело и его части. Вариации деформаций и скоростей определяются из формул:

еХх	да	«1	±«i . „	.	Vo =	ди„
еХх	д х ’	«1	dt ’	2 ~ dt ’	Vo =	dt ’

причём знаки дифференцирования и варьирования можно перестав

лять:		dut
дх	дх *		г
		'dt

Пусть функция V9 согласно (2.38), выражена через компоненты деформации и 0, а следовательно, через еах . . . еяу. Вариацион ный принцип равновесия Лагранжа гласит следующее: вариация работы внутренних сил при виртуальных перемещениях частиц тела равна работе внешних сил и сил инерции на вариациях перемещений

bV{ew	J J J p (X 3 « -\|- K8t»4 - Z 8«»)rfT-f-
	+ J J (X № - f YJv -f- Z v8w) ds. (2.42)

Первый интеграл правой части распространён по объёму, второй— по поверхности тела. Это уравнение называется вариационным уравне нием равновесия. Оно содержит в себе как дифференциальные уравне ния равновесия элемента тела в перемещаниях, так и граничные условия.

Преобразуем вариацию 8V следующим		образом:
3V	+	• • • де^.ху 8<?а* +
заменяя	__ди , dv	d W __ „
__ди	__ди , dv	d W __ „
етя — дх >	e*V — ду~Гдх •	* * де.XX — Х*

получим:

*к- Я Л № мг'£ +* ® +

+ (•”.£ + * . % + ir* S ) + W c + * 5 + * -т ? )] *•

Воспользуемся теперь формулами преобразования Грина:

I I I *• к ■* - я * • * ■ * - Я

и	т. п., где двойной интеграл распространён	по поверхности тела и
/,	/я, п — направляющие косинусы нормали к	поверхности. Тогда по
лучим:

I V =* J J { ( X J + X y t n - ^ X ^ b u ) b v ^ - ( . . . ) b w \ d s -

- Я / [(^+f'+d#)8“+<--->s<’+<--H‘ix-

Скобки с многоточиями получаются из предыдущих скобок путём круговой перестановки х, у, г и /, /я, п. Собирая теперь все мно жители при вариациях 8д, 8г>, 8^ в уравнении (2.42), получим:

III[(^+^+^+Р*)8“+<--->г<’+(.~Н dz —

— j I Г(~ ^ » + -У а)/+ - ^ в'И + -¥ *п )8 ы -}-(...)8 .+

~ Ь (* . . ) bw]ds = 0 . (2.43)

Вариации перемещения любой точки тела должны быть только не прерывны, но они совершенно независимы, и потому равенство (2 .43) возможно только при том условии, если все коэффициенты при вариациях равны нулю. Таким образом мы получаем уравнения равно весия :

дХх	\	д2 £ у\		^	2_1_ Рх			__о*
д х ^		ду	‘	дг		'			и»
Т &	+	$	+	$	+	Р	,Г-		0;	(2.44)
S +	^ +			§	+	P	*	“	0,

и граничные условия:
X j + X j n +		X/i=*X„
Y J +	Y y n +	Y*n =	(2.45)
ZJU-\-Zym -\-Z zn =			Z V.
Этих уравнений достаточно	для решения		задачи пластичности, и их

следует понимать, как уравнения равновесия в перемещениях, поскольку предполагается, что напряжения выражены через деформации поформулам (2.3.3) и, следовательно, на основании формул Коши через три компонента перемещения и, v, w.

	Если	систему	(2.44)	рассматривать		как уравнения равновесия
в	напряжениях, она недостаточна для определений						напряжений, и
к	ней необходимо		добавить	ещё	условия	совместности деформаций*
которые получаются известным					в теории	упругости	образом из фор
мул Коши		(1.38)
							(2.46)

причём остальные четыре формулы получаются путём круговой пере становки х 9у у 2 . Вместо деформаций в (2.46) должны быть поста влены их выражения (2.13) через напряжения, поэтому они приобре тают довольно сложный вид:

(2.47)

причём остальные четыре уравнения снова получаются из (2.47) кру

говой	перестановкой х 9у у г .
Таким образом можно формулировать три основные			постановки
задачи теории пластичности при активном процессе нагружения.
1.	Найти три функции: и, v 9 w — такие,	чтобы	для произволь
ных непрерывных с непрерывными производными		вариаций 8и, 8и, Ьт
имело место вариационное уравнение равновесия (2.42). В таком
случае	для решения задачи, например, можно применить метод Ритца:

подбирая	для		области, занятой			телом,	полную		систему функций
f n (x, у,	г)	и	представляя перемещения и,				v, w	рядами
		в	=	2 « Л и					(2-48)
найдём вариации				перемещений	в	виде:
	а«	=	2	=	2	/» 86»»	8да=	2	^ Sc»-

Подсчитывая теперь работу внутренних сил, найдём:

V — V (ап, Ьп, сп)

и её вариацию:

асравнивая коэффициенты при вариациях 8а„, 86„, 8сп левой и правой частей уравнения (2.42), найдём формулы типа:

					(2. « )
причём их будет		столько, сколько неизвестных ап, Ьп9		сп	входит
в выражения и, v , w; поэтому, принципиально говоря,				они	могут
быть	найдены, если функция		= Ф (г<) удовлетворяет	некоторым
условиям, о которых уже сказано выше.
2.	Найти три	функции и, v 9*w9 удовлетворяющие дифференциаль

ным уравнениям (2.44), выраженным через перемещения, причём эти функции должны удовлетворять условиям на границе (2.45). Эта за

дача при произвольных внешних силах может иметь решение	только
в тех случаях, если система дифференциальных уравнение	(2.44)

будет эллиптического типа. Условия разрешимости системы (2.49) тождественно совпадают с указанным требованием, поскольку первая и вторая постановки задачи совпадают межд) собой на Ьсновании преобразований, приведённых выше, и аналогичных обратных пре образований системы (2.44) в уравнение (2.42) при соблюдении условий (2.45). Для решения задач пластичности во второй поста новке ниже будет указан общий эффективный метод упругих ре шений.

3. Найти шесть компонентов напряжений Х т . . Ху . . удовле творяющих уравнениям равновесия (2.44) в напряжениях и условиям совместности деформаций (2.47), причём на границе тела они должны удовлетворять условиям (2.45).

Легко убедиться, что поставленная задача имеет единственное

решение. Пусть а „ г>„ w „ XaV . . ., Ygl и иа, v3, да2, х аЪ . . . .			два
различных решения системы (2.44) при	одинаковых	внешних силах
и одинаковых значениях перемещений	на границе	тела.	Обозначим

a, v, -W, Ха, . . . ,У г разности соответствующих значений, так что нг границе тела u==v = w = 0, а внутри напряжения Хх . . . удовле творяют уравнениям (2.44) без массовых сил.

Умножая эти уравнения на a, v, w соответственно, складывая и интегрируя по объёму тела, получим:

Применяя формулы

Грина, получим:

I —

J (Хх вхх "4* • • •

- Y z еуг) dx = 0 .

Заменим здесь Хх = Х х%— Xxv • • • &хх— ехх%— в Xl . . .

затем

вос

пользуемся

выражениями напряжений

через

деформации; получим:

':=JЯ Ь*-+'’“f‘ 'S’+

...5.,.

**]*+

+ J J

(°а — °i) («2 — *i) dx.

Но

согласно

неравенству Шварца

14:

M i м . < } / "

э%12

5«р.=

т е<* е^>

поэтому:

/ >

/ /

[ К

— %) (*f, —

(°2 — °1) ( е2 — е1)1 dx.

Так

как

зависимость

аг е{

удовлетворяет

неравенству

(2.8),

то

под

интегралом

при

а12,

Oj ф о2

будет

всегда

положительная

величина;

но

/ =

и потому

эта

величина должна равняться нулю,

т. е.

ац ass °<з>

°1 =

°2»

откуда и вытекает теорема единственности.

§ 13. Теорема минимума работы внутренних сил.

Пусть тело находится в равновесии под действием только по верхностных сил Х„ Zv, и пусть перемещение любой точки тела при этом определяется вектором W

<Wsss / и ф- j v -j- k w .

Кинематически			возможным	состоянием	тела назовём			состояние,
определяемое вектором w':
			w' = w -f- 8 w,
			8 w = / 8 и + 7 8 v + k w 8,
причём	bw — виртуальное перемещение, кроме					непрерывности обла
дающее	ещё	тем	свойством,	что на границе		тела оно обращается
в нуль.	Напряжения и деформации, соответствующие						кинематически
возможному		состоянию тела,		определяются	через		теми	же фор
мулами, что и для основного состояния равновесия.
Теорема		минимума работы		внутренних сил		состоит	в следующем:

истинное состояние равновесия тела отличается от всякого кинемати чески возможного его состояния тем, что работа внутренних сил имеет минимум. Для доказательства этого воспользуемся выражением работы внутренних сил (2.38) в виде:

•ei

v Ш - J f

* в а] d'

найдём разность:

V (eit 8) = J J J [ j * o«rf«, + -j/C (e 'a — в«)]</т.

в*.

Поскольку 0 — линейная функция перемещений, её можно для кине матически возможного состояния записать в виде:

6'= е -f 88,

и потому разность в'2 — 89 может быть точно вычислена:

8'*— 8» = 2 0 8 0 + 882.

Величина eit как уже упоминалось, может быть записана в виде:

«,Р = «<*.*

и, так как

'«? 8 звр,

то для возможного состояния равновесия имеем:

е<= caS ( 5«р + 8з«р)а = ; е*+ 2е48е< -J- са]&8 Эф

114 у р а в н е н и я Р в О р и и	м а л ы х	у п р у г о - п л а с т и ч е с к и х д е ф о р м а ц и й [ г л . II
причем 8et — обычная	первая		вариация	et :
2 е{		=	2	85«р-
Разлагая теперь интеграл			г
			г

в ряд по степеням е\ — е<,					получим:
		f
		оt
		J oi dei = o i (e'i — et)~ h '2					(et — ef)a~h • • •
		H
Но	поскольку		имеем
		е\ =	У $ + 2е,е{ + <% 8 **, =
				+ ^ +	№	^ - ( Ц ) 2] + • •
то	предыдущий интеграл будет выражаться формулой
/	=	°<3* .+		2Г, [с92	3*«е -	■	}	]	С< + Т ^ ( 8*<)2+
+	• • •	°<8е< +		2^,-S	[GS 5«р) ( 2		83“р)	( 2	«Р3»Р ) ]°<+
							+ ? % & < )*+ ■ ■ ■
Если мы теперь			напишем разность V — V в виде
			V(eft9) —		8) “	3V + 8аР +		. . . ,

то первое слагаемое будет обозначать обычную первую вариацию работы внутренних сил

8V = 8

которая при отсутствии массовых сил	и при условии на границе
тела:
8и = 8г> ss= 8та> =	О

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 3912 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
15.11.202212.63 Mб20Плазменная обработка материалов..pdf
#
15.11.20227.31 Mб31Планирование эксперимента в химической технологии..pdf
#
15.11.20224.36 Mб16Планирование эксперимента и измерение физических величин..pdf
#
15.11.20229.83 Mб15Планирование эксперимента при оптимизации процессов химической техн..pdf
#
15.11.202211.27 Mб35Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий..pdf
#
15.11.202216.62 Mб26Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации.pdf
#
15.11.20221.16 Mб17Пластмассы и их свойства..pdf
#
15.11.202210.12 Mб34Поведение конструкций из композитных материалов..pdf
#
15.11.20222.28 Mб14Поверочный расчёт тормоза шахтной подъёмной машины..pdf
#
15.11.2022593.94 Кб15Поверочный расчет трубопровода на прочность..pdf
#
15.11.20225.62 Mб14Поверхностно-активные вещества в золь-гель технологии..pdf