Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

маций (2.46), положим для всего сечения:

*гг = *1= *У ,

Таким образом для всего сечения принято значение коэффициента

с опытом считать коэффициент Пуассона в области пластических деформаций переменным, то благодаря условиям совместности дефор­

Легко проверить, что эти напряжения удовлетворяют уравнениям равновесия (2.44). Вследствие симметрии сечения ясно, что продоль­ ная сила в брусе отсутствует:

А/2

jo xbdy = 0.

—А/2

Таким образом вся задача решается одним только соотношением между изгибающим моментом и кривизной, которое получается, если написать выражение момента внутренних напряжений и приравнять его изгибающему моменту М\

А/2

о

у = у 8, разделяющей область упругих и пластических деформаций сечения, и имея в виду, что на этой границе:

причём, как только конкретные свойства материала бруса о)(е) и форма

шее значение изгибающего момента получается при бесконечно боль'

называется несущей способностью бруса прн изгибе.

Если брус, получивший найденные выше деформации и напряже­ ния, освободить от действия изгибающего момента, в нём возникнут остаточные деформации и напряжения. Для определения их восполь­ зуемся теоремой о разгрузке и прежде всего найдём фиктивную кри­

уравнения равновесия сил и моментов. Имеем:

случае чистого изгиба, удобнее считать заданными не Я и Ж , а дефор­

то существует упругая и пластическая зоны сечения, причём граница между ними определяется формулой:

„f-h

ео — ~2 > е»

то функция «> будет отлична от нуля по всему сечению. Вычисления интегралов (3.9) для стержня прямоугольного сечения при условии, что материал его подчиняется закону ломаной (2. 11), не представляют никакого труда, и потому мы их опускаем. Остаточные деформации брусащри полной его разгрузке, согласно теореме о разгрузке, будут:

Р-

§ 18. Устойчивость окатого стержня.

Допустим, что после того, как сила Р уже приложена, на стержень начинает действо­ вать пара сил в плоскости наименьшего момента инерции сечения, и пусть мо­ мент пары М будет бесконечно мал. За­ дача определения деформаций стержня при этом существенно отличается от рассмот­ ренной выше, поскольку здесь не имеет

места простое нагружение. Обозначим дополнительные деформации оси стержня через е0 и х, причем е0— сжатие оси стержня, х — искрив­ ление еб в плоскости пары М. Эти величины будут также бесконечно малыми. Пусть пара М приложена так, что наиболее удаленные в сто­ рону положительной оси_у волокна лежат на стороне вогнутости бруса.

Результирующая дополнительных напряжений 8olt вследствие неиз­ менности силы Р, должна обращаться в нуль:

—А/2

ипотому ясно, что 8oj должно менять знак в области сечения. Поскольку плоские сечения бруса вследствие симметрии должны всегда оставаться плоскими, то дополнительное укорочение волокон, расположенных на расстоянии у от центральной плоскости (х, а), будет равно:

поэтому граница, где напряжения 8<^ меняют знаки, будет плоскостью, определяемой равенством:

Величина:

(3.16)

называется нодулем Кармана. Поскольку /0 >_у050, то модуль Кар­ мана меньше модуля Юнга или равен ему. Связь между изгибающим моментом М, сжимающей силой Р = Fox и кривизной стержня имеет следующий вид:

оси балки только тем, что вместо модуля Юнга берется модуль Кармана.

Пренебрегая весьма малыми касательными напряжениями Х я, Уг, формулу (3.15), строго справедливую только для.чистого изгиба, можно применить к изучению устойчивости сжатых стержней, т. е. к случаю, когда бесконечно малый изгибающий момент является пере­ менным по длине стержня. Поэтому значения критических сил для стержней с различными условиями закрепления концов при пласти­ ческих деформациях будут определяться соответствующими формулами Эйлера с заменой в них Е на Kt. Так, для стержня со свободно опертыми концами будем иметь:

р__ т&Кх!

г кр — р — ,

или, деля на площадь F и решая это уравнение относительно гибкости стержня:

Для каждого данного сечения стержня и кривой сжатия материала Oj-ej, согласно (3.17), можно построить зависимость критической гибкости от сжимающего напряжения at .

Для стержня прямоугольного сечения имеем:

F = b h , / = ? £ , П - » ( 4 - л ) ,

Ч И .

и потому из (3.14) находим _у0, а из (3.16) — выражение модуля Кармана;

А Е р -

___ de1

(3.18)

И + / 1 г Г