Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfОпределяя произвольные постоянные с, с' согласно условиям
|
r = b, |
|
|
= |
О, |
|
|
|
|
г = а, Зх9+ 2г ^ = 0, |
|
|
|
||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 dw |
<РЬ(2 |
, |
. |
ЗгЬг |
, |
, |
Ь\ |
.. , 0_ч |
T 5 7 = |
X»= ^ 2 D U |
+ |
^ + |
' V |
+ |
ln T j* |
(4Л 87> |
|
где -f— функция отношения радиусов: |
|
|
|
|
|
|||
|
Т - З = р 1 » у . |
|
|
|
(4.188) |
|||
Прогиб да любой точки пластинки |
относительно |
наружного |
её края |
|||||
будет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
™ = |
— / V |
d r = ^ |
[ ( j + If) (i - |
£ ) + 6ТГ,n Т “ 5 1пт ] ; <4Л89> |
|
Г |
|
|
|
в частности, |
прогиб |
внутреннего контура |
||
|
|
|
= |
<4 1 8 9 ') |
Если |
воспользоваться обозначениями |
(4.185), (4.186), то для вели |
||
чины wb при упругом изгибе получим:
<4Л89">
Для сравнения найдём упругий прогиб wb при значениях р — 2,
~ = 0,387, принятых в данном выше расчёте, приписав ему индекс
е наверху:
w{b] = 0,311.
Остаточный относительный прогиб внутреннего края пластинки будет равным разности vob и w $:
wb— = 0,421,
и потому остаточный прогиб wb для рассматриваемого значения на' грузки и размеров пластинки, а именно, при
_ 2 Р е я
Р ~ bh •
имеет следующее значение:
w = ^ - ( w b— wie)) — 0,842 .
Как видим, прогибы, найденные по формуле упругого изгиба, оказываются сильно заниженными против действительных прогибов, даже при сравнительно небольших нагрузках.
Рассмотрим ещё задачу об изгибе сплошной круглой пластинки радиуса а> нагруженной распределённой осесимметричной нагрузкой. Вместо радиуса г введём переменную р:
|
Р |
|
г = |
се-р, |
|
(4.190) |
и, пользуясь обозначениями |
(4.175) и (4.181), |
Перепишем |
уравнение |
|||
(4.174) в виде двух дифференциальных |
уравнений первого |
порядка: |
||||
|
|
|
d*. |
|
|
|
|
|
|
zr — v, |
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
dv |
4(1 — 2) — (3%— 2v) ~ ~ J |
*-«P |
|
|
||
v - |
|
|
= |
<p(x, o), |
(4.191) |
|
dp |
|
|
||||
2 ( l - Q ) + |
(3% -2t> )^ |
|
|
|||
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
q - |
& |
j ^ |
^ p , |
|
(4.192') |
|
|
|
p |
|
|
|
a q0— характерное постоянное значение распределённой нагрузки q (например, ® случае равномерной нагрузки q=>q0 из (4.192') имеем:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.192) |
В центре |
пластинки (г = 0, |
р = оо) кривизны |
х9 и хх |
отрицательны |
|||||
и равны |
между |
собой, |
вследствие чего ® = |
0 |
из |
(4.173') и относи |
|||
тельная кривизна х = |
-(- х0 |
положительна. |
Через |
х0, |
следовательно, |
||||
мы обозначаем |
положительную |
величину |
|
|
|
|
|||
|
|
яо |
|
|
\ 2 е . |
'г = о |
|
|
(4.193) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интенсивности |
деформаций |
на |
|
|
h |
|
h |
||
верхней г =* -f- у |
и нижней г = — у |
||||||||
плоскостях в центре пластинки согласно (4.178) будут:
и потому пластическая деформация в центре пластинки будет при
хо ^ " 2 |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
уравнений (4.191), удовлетворяющее условиям |
|
||||||||||||
|
|
|
|
р = |
оо, |
х = |
+ хо> |
о = |
0, |
|
|
|
|
|
представим |
в |
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
хе= хо 4 ’ сав/_8р+ |
• • •> |
|
|
|
|
|
(4.195') |
|||
|
|
|
|
о = ^ = - 2 с ае - гР + . . . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Внося |
эти |
значения в |
(4.178) |
и разлагая |
получающиеся |
выражения |
||||||||
в ряд, |
найдем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
е = |
2х0+ . .. |
|
|
|
|
|
|
||
Из |
(4 .1 7 9 ).получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Q = x [ l |
3_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
4*о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисляя |
ещё |
по формулам (4.181) производные: |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
дй |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д% |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дО, |
! = ^ ( 4Х2_ |
1) 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
dv |
32*$ V |
0 |
J ^ |
|
|
|
|
|
|
|
подставляя |
|
найденные |
выражения |
во второе |
из |
уравнений |
(4.191) |
|||||||
и приравнивая |
коэффициенты |
при |
е~2Р в левой |
и |
правой |
частях, |
||||||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 = |
|
— Ч |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
16(1_ Х ) + £ + |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
*0 |
4** |
|
|
|
|
|
а потому |
решения (4.195') в окрестности |
р = |
оо, |
(г = |
0) |
примут |
||||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е~а? |
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16(1~ x> + S + r i |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
*0 |
4хХ |
|
|
|
|
|
(4.195) |
|
|
|
v = |
|
2л |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
е - а Р - |“ |
• • |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
l6 ( l _ X ) + g + | L *о 4х£
Эти формулы необходимы для того, чтобы численно проинтегриро вать уравнения (4.191), которые перепишем в конечных разностях:
Дх = |
v Др, |
|
Дг»= |
«р(х, и)Др. |
(4.196) |
Для этого дадим радиусу г малое значение ги а, следовательно, вели чине р— большое значение р,==1п^- , и найдём из (4.195) соответ
ствующие значения Xj и vu |
причём Xj — х0 и ^до л ж н ы быть малыми |
||||
величинами |
сравнительно |
с |
1. |
После |
этого величине рх даём малое |
приращение |
Apj = р2— рх |
и |
из |
(4.196) |
находим: |
|
ха — х1 = |
Дх1 = |
г»1Др„ |
||
|
®а — i»! = |
= |
® (*|. ^ I ) ДР1- |
||
Дальнейшие вычисления сводятся к повторению вычислений после довательных значений
|
|
|
Дх, = |
х3— х2, |
|
Дг>2= |
|
— ф2 |
|
|
|
||||
по данному Др2= |
р8— ра и т. д. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Предположим, что край пластинки свободно |
опёрт: |
|
|
|
|||||||||||
|
г = а, |
р = Ро = In |
, |
Зх — 2v = 0 |
|
(4.197) |
|||||||||
(если он защемлён, то условие будет |
р = |
0, |
х = |
0). Тогда при неко |
|||||||||||
тором значении |
р = |
т может |
оказаться, что |
величина |
еу непрерывно |
||||||||||
убывающая |
от значения 2х0, станет равной единице: е7 = |
1; функция 9 |
|||||||||||||
при этом |
обратится |
в нуль. |
Это |
значит, |
что |
достигнута |
граница |
||||||||
упруго-пластической |
области, |
и |
она |
имеет |
радиус г7 = се~т. |
При |
|||||||||
г > г т деформация |
пластинки |
будет |
упругой, и |
в дальнейших |
вычи |
||||||||||
слениях необходимо |
считать |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
9 = |
де _ |
дй |
0. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
д% |
|
dv |
|
|
|
|
|
|||
Если же условие (4.197) будет выполнено |
при (в)рВ0!> 1 , |
значит, |
|||||||||||||
упруго-пластическая область распространилась на всю пластинку. |
|||||||||||||||
Рассмотрим |
сначала |
упругое |
решение |
задачи. Полагая в |
(4.191) |
||||||||||
9 д а 0, имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
2 v — Y |
? £ -2P. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл этих уравнений, удовлетворяющий условию р оо, х = х0, имеет вид:
Условие (4.197) позволяет найти: |
|
|
*о = 5§ qe-*a = |
^ ( ? ) с=о- |
(4.199) |
Отсюда следует, что произвольная |
постоянная |
с несущественна |
и может быть принята равной а; с — а, рв = 0. При
Я |
у = 3,43 |
|
|
|
(2х0 < 1 ) |
_ |
(4.200) |
деформация пластинки будет |
упругой, а при |
значениях q > |
3,43 в ней |
будет возникать упруго-пластическая зона. Для определения прогиба
w заменим |
в (4.198) |
х её |
выражением |
через w согласно (4.175) и |
(4.173) и проинтегрируем |
полученное |
уравнение в предположении, |
||
что прогиб |
w = 0 при р = |
0, (г = а); |
тогда получим: |
|
|
h dw |
|
|
|
|
2e?r■*~dp |
|
|
(4.201) |
|
|
|
|
|
|
w = |
- ^ - ( 11 — 14e-2P + 3e-*f). |
||
Если прогиб в центре пластинки р = оо, г = 0 представить в виде, аналогичном (4.186):
(4.202)
то величина w0 будет иметь значение
— |
11? |
(4.202') |
и прогиб в любой точке представится формулой:
w«=o»0( l |
ГГ’Р ’^ Т Г ’а*’) ' |
(4.203) |
В качестве примера, иллюстрирующего способ |
решения задачи |
|
при упруго-пластической деформации пластинок, рассмотрим следую щий: пусть в центре пла
стинки |
пластическая |
зона |
|
||
деформаций |
достигла |
по |
|
||
ловины толщины(рис. 68); |
|
||||
поскольку |
интенсивность |
|
|||
деформаций |
et |
пропор- |
Рнс. 68. |
||
циональна |
расстоянию |
|
|||
точки, |
для |
которой |
она |
вычисляется, от нейтральной плоскости |
|
(е{ = е{1 |
, то |
величина е (4.178) в центре пластинки должна иметь |
|||
значение: |
|
|
|
2х0 в 2, XQ— 1. |
|
|
|
|
|
|
|
Параметр q, зависящий от произвольной постоянной с и от нагрузки q, возьмём равным 5:
qhc* |
~ |
9 |
qc* |
= 5. |
2e„D |
Ч~ |
2 |
o„h* |
|
Модуль упрочнения материала пластинки за пределом упругости
возьмём |
равным 1/20 |
Е, и |
потому |
А = 0,95. |
Начало вычислений |
||||
|
|
|
Т а б л и ц а 7. |
будем |
вести |
по |
формулам |
||
|
|
|
(4.190) и (4.195), которые |
||||||
Расчёт пластинки по уравнениям (а). |
принимают вид: |
|
|
||||||
р |
со |
3 |
2 |
1,5 |
V — 2,068л-2р, |
|
|
||
|
|
|
|
|
х = 1 |
— 1,034е-аР, |
00 |
||
г |
|
|
|
|
, |
с |
|
|
|
0 |
0,0498 |
0,1353 |
0,2231 |
|
|
|
|||
с |
,1 п - |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
% |
1 |
0,9974 |
0,9811 |
0,9480 |
Пользуясь выражениями (а), |
||||
V |
0 |
0,00512 |
0,0379 |
0,1030 |
вычисляем данные, |
приводи |
|||
Зх— 2v |
3 |
|
|
|
мые в табл.'7. |
Дальнейшие |
|||
|
|
|
|
|
вычисления х |
и v |
произве- |
||
|
|
|
|
|
дём по |
формулам |
(4.196), |
||
причём функция ср определится вторым из уравнений (4.191) и (4.178),
(4.179), |
(4.181). |
Начальные значения |
величин |
х, V , р |
берём из |
|||||
табл. 7: |
Pj = 1,5 |
/, = 0,948 |
v = |
0,103. |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||||
В |
первой строке |
табл. 8 помещаем |
значения |
р = |
In — через |
интер |
||||
вал |
Др = |
0,1, во |
второй и третьей х и v, в |
четвёртой |
е, |
пятой |
||||
разность |
Зх — 2v, |
пропорциональную |
изгибающему моменту M v |
|||||||
|
|
|
Продолжение расчёта пластинки. |
Т а б л и ц а 8. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Р |
1.5 |
1,4 |
1,3 |
|
1.2 |
1,1 |
|
1,0 |
|
|
X |
0,9480 |
0.9356 |
0,9208 |
|
0,9033 |
0,8828 |
0,8591 |
||
|
V |
0,1030 |
0,1242 |
0,1482 |
|
0,1752 |
0,2054 |
0,2368 |
||
|
е |
|
1,7940 |
1,7484 |
|
1,6955 |
1,6093 |
1,5647 |
||
Зх — 2v |
|
2,6380 |
2,5584 |
|
2,4660 |
2,3595 |
2,2076 |
|||
|
Р |
0,9 |
0,8 |
0,7 v |
|
0,6 |
|
0,5 |
|
0.4 |
|
X |
0,8319 |
0,8011 |
0,7657 |
|
0,7272 |
0,6857 |
0,6413 |
||
|
V |
0,2717 |
0,3078 |
0,3536 |
|
0,3851 |
0,4149 |
0,4441 |
||
|
е |
1,4877 |
1,4009 |
1,3066 |
|
1,1953 |
1,0921 |
0,9993 |
||
Зх — 2v |
2,1037 |
1,9523 |
1,7877 |
|
1,5899 |
1.4114 |
1,2273 |
|||
|
При |
р = 0,4 |
величина |
е=*=1, |
и потому при |
р < 0 ,4 |
деформация |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dQ |
dQ |
|
|
пластинки будет чисто упругой. Полагая в (4.151) Q = - ^ - = |
- ^ - = 0, |
||||||||||
находим |
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
-■V, |
|
dv |
2v — je - * |
|
|
|
|
(б) |
|
|
|
|
Чр |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
интегралы их, получающие |
значения х = 0,6413, |
v = 0,4441 |
при |
||||||||
р = |
0,4, |
имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v = 0,0733в8Р + |
0,625е-2Р, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
х = |
0,6976 + |
0,0365е9Р — 0,3125е-аР. |
|
|
|
|
|||
Величина Зх— 2v |
обращается в нуль при р =» ра = |
0,03, |
и поскольку |
||||||||
это |
соответствует |
наружному |
краю пластинки (г = |
с), |
то |
из |
соот |
||||
ношения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1п -£■ = |
0,03 |
|
|
|
|
|
|
находим постоянную с:
с = 1,03а та а.
Радиус зоны пластичности г = г* найдём из условия:
е=» 1, |
In — = 0,4, г* = 1,03ае-°.<г«0,67а. |
|
г* |
Прогиб пластинки в центре, согласно (4.186), будет:
2е,а* —
причём
1 ОО
0J 0J
Этот интеграл разбиваем на три интеграла:
0,4 |
1,6 |
оо |
(г)
(д)
(е)
(ж)
^0 = / |
хе~v ° + J *e~2Pdp-]- j хе“2?dp, |
(з) |
|
О |
0,4 |
1,5 |
|
причём первый из них относится к упругой области и равен
0,4 |
0,4 |
J x e -2prfp = J (0,6976 -f* 0,0365е9° — 0,3125£-2.°) e -2?dp = 0,144;
оо
второй вычисляется, согласно таблице:
J xg~2Pdp и S x « ,e -afAp SB 0,154,
0,4
и, наконец, третий по формулам (а):
|
оо |
оо |
|
|
|
|
|
|
J* xg-2Pdp = |
J (1 — |
I,034e-2P)g-2Prfp = 0,0243. |
(и) |
|||
|
1,5 |
1,5 |
|
|
|
|
|
Таким образом при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
да0 = 0,322. |
|
|
(К) |
||
Упругий |
фиктивный прогиб, |
соответствующий |
|
нагрузке д = 5, со |
|||
гласно |
(4.202') будет |
|
= |
0,286, поэтому |
остаточный |
прогиб |
|
равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
w = w0 — waiit= 0,036 |
, |
|
|
|||
т. е. составляет около |
11% |
от |
общего. |
|
|
|
|
§ 30. Приближённые решения задач изгиба пластинок.
Приближённый расчёт пластинок по формуле (4.165) § 28 является совершенно элементарным и даёт удовлетворительные резуль
таты не |
только для оценки прогиба, но, как увидим дальше, и для |
||||||
оценки величины предельной нагрузки. В качестве примеров на |
|||||||
определение зависимости прогиба |
пластинки от |
нагрузки |
рассмотрим |
||||
круглую |
и прямоугольную |
пластинки. |
|
действием равномерной |
|||
1. |
Круглая опёртая пластинка под |
||||||
нагрузки. Точное решение этой задачи путём численного интегриро |
|||||||
вания уравнения равновесия указано в предыдущем параграфе. |
|||||||
Обозначая здесь |
через р |
отношение |
текущего |
радиуса |
пластинки г |
||
к её наружному |
радиусу а: |
|
|
|
|
||
|
|
|
Р = |
а ’ |
|
|
|
мы можем упругий прогиб |
её (4.203) |
записать |
в форме |
(4.157): |
|||
|
|
|
w (°) = |
l g - w t |
|
(4.204) |
|
причём |
w имеет |
выражение: |
|
|
|
|
|
или, так как согласно (4.202)
то
(4.205)
w = w ( 1 1 _ 1 4 Pa + 3P4)-
Представим теперь упруго-щластический прогиб пластинки при дей ствии нагрузки q в виде:
W = — w. |
(4.206) |
Тогда, согласно (4.165), для определения постоянной с имеем уравнение:
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.207) |
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
поскольку |
нагрузка |
q |
постоянна, |
и |
элемент площади |
пластинки |
||||||
можно представить |
в |
виде 2w dr = |
aa2irp dp. Квадратичная |
форма Рх |
||||||||
(4.160) в нашем примере имеет выражение: |
|
|
|
|||||||||
|
|
В1 |
р |
,р |
|
/ d%w \ а . |
1 |
dw |
d*w . |
/1 |
dw \ a |
|
|
|
c*a* |
x = |
|
* |
\ d p * J "T" p |
dp |
dp* ~ r\p |
d p ) |
’ |
||
или, на |
основании |
(4.205): |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
P* = |
(117?4 — 252pa - j - 147); |
|
|
|
||||
поэтому |
относительная |
интенсивность |
деформаций |
е равна: |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
* = |
^ Г = |
V p |V X = - 7 - V 4 9 — S4pa + |
3V , |
(4.208) |
||||||
где *0— значение е в |
центре пластинки при г = |
0, |
т. е. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
_ 7ca2h __ 21сда |
|
|
(4.209) |
|||
|
|
|
|
|
|
0 — 48Dea ~ |
\6oah2’ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисляя |
интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о
и умножая обе части равенства (4.207) на |
мы |
преобразуем |
его к виду: |
|
|
1 |
|
(4'21°) |
f1“ ТоJ<49“ 84Р9+39р4)Йр • |
||
о
Вычисления проведём для пластинки, материал которой обладает линейным упрочнением, и потому, согласно (4.179), имеем:
2 = 0, ( * < 1 ) ; 0 - x ( l — § И - 2 р ) , |
( * > ! ) • |
Рассмотрим сначала случай, когда часть пластинки, заключённая внутри окружности радиуса г* < а%деформируется упруго-пластически, а вне его — упруго, так что:
0 < Р < Т = 5» « > 1 ; |
1 > Р > Т , , е < 1 . |
(4.211) |
Ввиду того, что на границе областей р = Y, е = 1, то между ? и е0 существует соотношение
1 = ^ - У 49 — 8 4 / + 3 9 /,
или
__________ 7_______
(4.212)
в° ~~ /4 9 — 8 4 / + 39** ’
Отсюда видим, что если величина е0 изменяется в пределах
i > e 0> 1,
то граница областей |
г* |
изменяется в пределах а ^ г* ^ |
0. Вычисляя |
||||
интеграл, |
входящий |
в (4.210), |
получаем: |
|
|
||
|
о D“ |
Ч * + |
|
|
|
|
|
? = |
^ ( 4 9 ~ |
42Ta + |
l 3 / ) . |
|
|
(4.213) |
|
|
343 : 1П /3 9 /4 9 — 8 4 / + 39т* + |
3 9 /— 42 |
|||||
4- = |
|
||||||
40 /3 9 *“ |
|
7 |
/3 9 — 42 |
|
|
||
X = |
в^ГТз ЕС13Т9— 14) У 4 |
9 - 8 4 / + |
3 9 / + 98] + |
1 / |
|||