Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

w = 2 Cngn'

= 2 *сп£п.

/ J 4S n d x d y + j j (M t

+ 2 М , ^ ) dx dy = 0,

п

— 1, 2 ...

Здесь моменты

Ми И42,

Л412,

предполагаются выраженными через

w = ^ c ngn по

формулам

(4.127).

решена, т. е. известно:

<а/(е) = ^ - w ( x , у),

(4.157)

где w — известная

функция

координат и q0— постоянное

характер­

ное значение нагрузки

q :

Ч

= Я ^ (х уу),

(4.158)

и а — характерный

размер пластинки.

Представим прогиб

w одночленной формулой:

W = 1T w (х ’ -У)’

(4.159)

bw =

a*wbc

8Я, = 2cbc D28 9

D~’

ИЗГИБ ПЛАСТИНОК

207

°

Р

j ^ q w d x d y

’

(4

161)

12:

_ г I I

^

dx аУ — I I

dx аУ

(4.161')

?о

J J* q w dx dy

Р -

Зе* ° 2

(4.162)

Р% ~

c*aW

*

/ /

QPxdx dy,

если

кривая материала аг е{

задана графически, или если

квадра­

тура

оказывается сложной. Для^этого поступаем следующим

образом:

max

Для

всякого значения |с | < | с я | из (4.16Г ) имеем линейную зави­

симость

между

нагрузкой и прогибом:

с = Чо,

(4.164)

как

это

видно

из сравнения величин

(4.157) и (4.159), и потому:

I I

K d x dy

= ^

I I

qw dx dy

J J

dx dy 1

(4.165)

J J*

q wdx dy J

Найдём еще абсолютный минимум P x =

P xmin. Тогда, согласно(4.141),

найдём максимальное значение

постоянной с, при

которой

ещё

су­

ществует в виде

точки

или

линии зона

чисто

упругих деформаций

пластинки:

М =

1С*1

es D

3

(4.166)

a?h

Р * min

Если постоянную

с изменять

в

пределах

| с8\ ^

| с |

| с81,

то

зона

Вычисление

зависимости между характерной

нагрузкой

q0 и ха­

рактерной деформацией с можно произвести следующим

образом:

при | с | < | с в |

имеем прямую (4.164). Возьмём

какое-нибудь значе­

ние с =

ся, заключённое между

с8 и с8,

и

построим

(рис. 65)

серию линий

постоянной

на­

пряжённости:

,2г>2

(Л ) 0 =

З е р

сУ &

(p %)i =

З е р 2

“ W

Cl

2п2

( Р х ) ^ = -

3eV>

Измеряя

площадь кольца,

за­

ключённого между двумя сосед­

(4.165), заменив

интеграл

суммой:

Y Q „ (/>,)„/=;

_0____________

(4.168)

j j q w d x d y

Ниже

будут

даны

примеры расчёта

пластинок

по этой

формуле

и сравнение результатов с точными решениями

задач об

изгибе

пластинок.

задачи равновесия пластинки с помощью диф­

3.

Постановка

ференциальных уравнений для изгибающих моментов. Условия

совместности

кривизн

х1э

х2, х1а,

согласно (4.129), можно

записать

в виде двух

уравнений:

д % |

д%1%

д%2

ду 9

ду

дх »

дх

и, пользуясь соотношениями (4.132) и

(4.131),

выразить

их

через

моменты:

а 2л*1 —м2

я

а

лг12

*У

J(QM)

_о

дх J (QM ) ’

а

2

—М\

а

2

(4.169)

дх

J (Q jf)

ду

J (Q tf)

цевой пластинки.

Перерезывающая сила N на окружности радиуса г

определяется

непосредственно:

г

2nrN-\- 2кЬР + 2в Jqr dr = 0,

(4.170)

ь

Ы

= _ ± P _ ± j qrdr.

(4.172)

—

d?w

1

dw

X* =

T

“5 Г ’

причём

* 4

(4 .173')

*1 =

( " 2) =

+

r dr -

=

( х , +

1 х а ) = - / > ( * х 2 +

г ^ ) ( 1 - 2 ) ,

М 2=------

£ > (1 - 2 ) (x2+

i -------

D ( | x 2+ | r %

) ( 1 - Q ) ,

Q = Q ( P J , P* = 3 [x? -j- Xjr ~

-(- r9( ^ ) 9]

•

Таким образом уравнение (4.172) может быть

выражено только

через одну неизвестную

функцию ха :

' 4 г [(•■ - “ > ( ' £

+

Т *• )]■ +

т

( ‘ -

в )

=

<4 Ш >

Это — квазилинейное

обыкновенное

дифференциальное уравнение

второго порядка относительно

Его

решение

при произвольном

одним из известных методов численного

интегрирования;

при этом

характеристика материала пластинки

а, следовательно,

функция

перерезывающих

сил Я,

распределённых по контуру. Полагая

в (4.174) 0 = 0,

и замечая,

что

J L — d%* d

Г dr

Г dr

мы перепишем уравнение (4.174) в виде:

Если ввести обозначения безразмерных величин

y.jh__

A

d%i

(4.175)

2

—

2T j dr

v ± l ( l — Q)$* — 2v)] + (l — Q)v = p.

(4.176)

Постоянная

р имеет значение:

bhP

(4.177)

Р = De„ '

Отношение

интенсивности деформаций е{1 (4.126) к

т. е.

8 =

0,

( * < 1 ) ;

5 + 5 » )

( * > ! ) •

(4.179)

Разрешим

уравнение (4.176) относительно производной ^

:

dv

4 (l- Q ) - (3 % - 2 t> )

£

v).

(4.180)

dv.

—

2 ( l - Q ) + (3 % -2 t> )g

Д х /= /(х , г>)Дх.

(4.180')

Она

содержит

два постоянных

параметра:

характеристику

материала

X = 1 —

и

характеристику

нагрузки

р у а

потому

позволяет

представить решение частных задач в виде серии

графиков.

Для

этого необходимо начальное условие Коши.

Для

определённости

предположим,

что

изгибающие моменты

при г = а

и г = Ь равны

нулю, т. е. наружный

и

внутренний кон­

туры

свободно

опёрты.

Тогда,

согласно

(4.174)

и

(4.175),

имеем:

г _

ь |

Зх — 2v = 0,

е =

х,

(4.182)

т. е.,

по

существу,

мы

имеем

краевую

задачу,

а

не

задачу

Коши.

Однако

её

легко

привести

к

задаче Коши.

Заметим,

что

по

смыслу

задачи кривизны

у.х и х2 имеют противоположные

знаки и потому х*

и х2 можно считать

положительными

при

положительных

р . При

переходе от наружного края пластинки (/*=

а) к внутреннему (г =

&),

х возрастает,

т.

е.

Д х > 0 .

Следовательно,

если

при

некоторых

числовых

значениях р и X мы дадим величине

х начальное значение

х0^ 1

и

соответствующее

начальное

значение

v = v0 возьмём

из

ращения, согласно (4 .180'), найдём кривую

v = v{?*)y которая при

некотором значении х = хп пересечётся с прямой

Зх — 2^ = 0. Тем

самым

будет найдено решение следующей задачи:

по данному зна­

чению

силы Р и интенсивности деформаций

е на

краю пластинки

размеров;

тем самым задачи

будут

решены

столь же

общо, как

и в прямой постановке.

Отношение

радиусов

контуров

пластинки

согласно

(4.175) находится

по значению х0 и с помощью кривой

v = v (х)

из формулы

l n £ = j %

,

(4.183)

*0

радиусом г — из

а связь между кривизной

х и текущим

формулы

X

ln— = J Ц .

(4.183')

*0

2ешГ

-

2е8сР

W = -T )

*r d r =

- t

<4 -184>

стинки, материал которой обладает упрочнением ^

= 0,05 £ (Х = 0,95),

Решение задачи об изгибе пластинки.

Т а б л и ц а 6.

X

1

1.6

2

2,5

3

3,5

3,8

3,9

4

V

1,5

2,1968

2,9305

3,6804

4,4431

5,2179

5,6880

5,8455

6,0034

З х — 2v

0

0,1064

0,1390

0,1392

0,1138

0.0642

0,0240

0,0090

— 0,0032

е

1

1,5016

2,0000

2.5014

3,0008

3,5002

"з ,80(Ю 3,9000

1— Q

1

0,8749

0,7029

0,5892

0,5073

0,4460

0,4164

0,4074

d fi

0

0,3634

0,2859

0,2019

0,1457

0,1083

0,0925

0,0861

" д Г

дО

0

— 0,0160

-0 ,0 1 2 4

— 0,0071

-0 ,0 0 3 5

-0 ,0 0 1 3

— 0,0004

-0 ,0 0 0 1

dv

At7

0ДЗЗЗ

0,1459

0,1488

0,1513

0,1541

0,1563

0,1575

0,1579

Г

1

0.7512

0,6141

0,5251

0,4640

0,4090

0,3870

а

на наружном контуре впервые получается

пластическая деформация:

г = а, х0 =

е0= 1 ,

vQ=

1,5.

Сила

Р

вы­

ражается через

параметр р по формуле:

n

D e a

(4.185)

P ~ ~ b h p '

прогиб

внутреннего контура (г =

Ь) отно­

сительно наружного

(г = а)

имеет

выра­

жение:

2еяа* —

—

(4.186)

Wh = -

■mь,

=

bja

Ход

вычислений

различных

величин

от

Зх— 2v = 0

на

наружном крае

(г =

а)

до

Зх — 2v =

о

на

внутреннем,

которые

в ходе исследования велись через Дх=0,1,

дан в таблице с некоторым сокращением.

На

рис.

67

дан

график зависимости х

и v

от

г

Поскольку

величина

Зх — 2v

— ,

а

обращается

в

нуль

при — =

0,387, то

внутренний

радиус

пластинки

равен

6 =

0,387я.

Прогиб

wb получаем

путём

численного интегрирования данных таб-

лицы:

, =

0,732.

Г^ Н _ Р Ь \ С _

dr ~ 2 D '

r2 *

после чего находим:

ръ ,

с , ,