Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации
.pdfЕсли вся пластинка переходит в упруго-пластическое состояние, то
|
|
|
|
|
е0> ^ |
= 3,5. |
|
|
|
|
|
|
Интеграл, входящий в (4.210), в |
этом случае |
берётся от |
0 |
до 1 |
||||||||
при |
(2^>0. |
Зависимость нагрузки |
от е0 |
найдём |
из |
(4.213), |
если |
|||||
в функциях |
®, |
<{», х |
положим *[ = |
1: |
|
|
|
|
|
|
||
? = |
1, |
|
343 |
1п 2 /3 9 — 3 |
2,39, |
у __1?® |
^ .1. — о 22 |
|||||
|
40 /3 9 7 (/3 9 — 6) |
|||||||||||
|
|
|
|
X — 65 + |
26v |
г,г1‘ |
||||||
Таким образом |
для |
г0^ -3 ,5 имеем: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ида2 |
( 1 — А)*0 + |
2,22Х |
2.39Х |
|
(4.214) |
||||
|
|
|
16авЛ2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зависимость параметра |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
k |
21qa* |
|
|
|
(4.216) |
||
|
|
|
|
|
16звЛа ’ |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
характеризующего нагрузку, от относительной интенсивности дефор маций в центре пластинки е0 изображена на рис. 69. Кривая k-e0
построена по формуле |
(4.214) |
для £0> '3>5» по формулам (4.213^ |
для 1 < ^ 0 <^3,5 и по |
условию |
q = c или, согласно (4.209): |
|
k |
€Q^ 1. |
Прогиб пластинки в центре найдём |
по формулам |
(4.206)* (4.205): |
11 |
са4 |
|
W° “ 192 D > |
|
|
или, заменяя постоянную с её выражением через |
е0 (4.209): |
|
11 аге„ |
(4.216) |
|
Wn =KS |
Л |
|
28 |
|
|
Сравним прогиб пластинки, найденный путём численного интегри
рования уравнений (4.191) |
в § |
29. При А = 0,95, <?0*=2 и |
||
q h c f i |
9q a ? |
к |
k?s 1,46 |
|
2ё^5 ~~ 2авЛ* — °* |
||||
|
||||
там было найдено значение прогиба в центре:
w0= 0,322 2ejfl h *
Найдём, какая нагрузка и интенсивность деформаций в Центре пластинки соответствует этому прогибу по приближённому расчёту. Для этого приравняем прогибы
И а*ей .
|
|
|
|
28 |
А ео |
|
|
и найдём е0= 1,64. Отличие этого |
результата от |
е0 = 2 |
составляет |
||||
18% ; такое |
же |
отличие |
получается в |
кривизнах, |
а следовательно, |
||
и напряжениях. Из (4.212) находим |
границу |
между |
упругой и |
||||
упруго-пластической областями: |
|
|
|
|
|||
|
|
39т4 “ |
84та -+-49(1— -j ^ ) = 0, |
|
|||
|
|
Т3 = |
0,467, |
т — 0,683. |
|
|
|
Отклонение |
от’т = 0,67, найденного в § |
29, составляет менее 2% . |
|||||
По формулам (4.213) находим теперь ®, |
<{', %'• |
|
|
||||
|
® = |
0,7352, |
ф = 0,6876, |
* = 1,3372 |
|
||
и находим параметр, определяющий |
нагруку: |
|
|
||||
|
|
|
k = 1,4974. |
|
|
|
|
При численном интегрировании уравнений равновесия эта величина равна 1,46, и потому отклонение приближённой зависимости нагрузки от прогиба от точной составляет 1,5% .
Кривая А-а0 (рис. 69) при А = 1 имеет асимптоту
21 аа2
которая определяет несущую способность пластинки. Ниже мы увидим, что эта величина достаточно хорошо совпадает с точным значением несущей способности.
2. Квадратная опёртая пластинка под действием равномерной нагрузки. На рис. 70 изображена квадратная пластинка со стороной 2а, начало координат лг, у помеще но в центре пластинки. Отнесём координаты точки к размеру а и обозначим:
а’ 71— а •
—1 < 6 < + 1» —
Прогиб пластинки при упругой де формации зададим в виде (4.157), а при упруго-пластической — в виде (4.159):
w = са4 —
причём |
|
|
|
|
|
|
w = n tc o s^ i cos |
|
(4.218) |
|
Рис. 70. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяет |
граничным |
условиям |
на контуре. |
|
|
|
По формуле |
(4.160) |
находим: |
|
|
|
|
Р* =*Р* = |
(з |
cos» £ 5 cos» | |
ч + sin» 1 |
6 sin» | Ч) » |
(4.219') |
|
или |
|
|
|
|
|
|
Рх у |
^ j " ( 2 |
+ |
cos it£ -f- cos icij -f* 2cos |
cos WIJ). |
(4.219) |
|
Число m должно быть выбрано так, чтобы выполнялось равенство (4,164'):
J J Р, d\ Л]
|
J J of dz dr\ |
1* |
|
|
|
|
|
откуда |
следует: |
|
|
|
m = |
64 |
(4*220) |
|
|
ue * |
|
Как и |
в предыдущих задачах, введём относительную |
интенсивность |
|
деформаций: |
|
|
|
ем |
л Г п ___ chcfi л Г |
или согласно |
(4.219): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Y 6 |
V Н' |
|
г |
— 144 са* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0~ т ^ъ h г, |
|
|
|
(4.221) |
||||
|
|
|
/? = |
2 |
- f - cos тг; - | - cos in ) - j - 2 cos |
C O S T C -I], |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Умножим |
обе |
части |
равенства |
(4.165) на |
|
|
и |
обозначим пара- |
||||||
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
метр, |
характеризующий |
нагруз- |
|||
|
|
|
|
|
|
■ |
* $ |
ку на пластинку, |
через k: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<4-222) |
|
|
|
|
|
|
|
« - § |
Тогда |
получим: |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
/ |
Г f Q P x d ^ Y ) \ , |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А = а0( 1— |
|
|
----- - ). (4.223) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вследствие |
симметрии рассматри |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ваемой задачи, входящие в послед |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нюю |
формулу |
интегралы |
можно |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о вычислять лишь по четверти квад |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рата: |
|
|
|
|
эта |
|
|
рЙС# 71. |
|
|
|
|
часть |
пластинки |
изображена на |
|||||
рис. 71. |
Вычисляя интеграл |
от |
w и выражая |
Рх через R, |
имеем: |
|||||||||
J j |
w rfUt)= +|-4, |
f |
[ QP.rfirfti |
|
J J *2 d-U t\ |
|
||||||||
0 0 |
* |
|
|
|
|
о о |
|
|
|
Ло |
о |
|
|
|
Уравнение |
(4.223) |
теперь принимает вид: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
А = |
|
* о О |
— i |
f |
Г |
RQdidn). |
|
|
|
(4.224) |
|
|
|
|
|
|
|
|
о о |
|
|
|
|
|
|
|
Дальнейший расчёт произведён для пластинки, материал которой
обладает линейным упрочнением, так |
что |
|
2 = 0, (<? < 1); |
1 + |
(*>!)• |
Поскольку е0 есть максимальное значение интенсивности деформаций (в центре пластинки), то при eQ< 1 изгиб пластинки будет упругим
(2 = 0):
k = eQ> *0< Ь |
(4.225) |
Построим линии ^уровня поверхности R, совпадающие с линиями |
|
уровня Рх. На поверхности: |
|
/? = 2 -f- cos -{- cos rtiq 2 cos |
cos ICTJ |
|
4 |
4 |
па- |
в первом квадранте расположены две прямые: E= -g- и |
|
||
раллельные плоскости Е, ц; на них = |
и потому они |
являются |
|
линиями уровня. Плоскость £ = */) пространства £, тг), R является плоскостью симметрии поверхности /?. Некоторые значения R даны
в табл. 9.
Т а б л и ц а 9.
|
|
|
Значения величины R. |
|
|
|
|
1 |
0 |
0,134 |
0,500 |
1,00 |
1,50 |
1,87 |
2,00 |
6/в |
0,402 |
1,50 |
1,53 |
1,50 |
1,50 |
1,77 |
1,87 |
*/• |
1,50 |
1,50 |
1,50 |
1,50 |
|||
8/в |
3,00 |
|
3,50 |
2,00 |
1,5) |
|
1,00 |
*/в |
4,50 |
5,23 |
|
1,50 |
|
0,50 |
|
7в |
5,60 |
4,50 |
3,С0 |
1,50 |
0,402 |
0,134 |
|
0 |
6,00 |
5,60 |
1,50 |
0,00 |
|||
|
0 |
V» |
7в |
з/в |
4/е |
5/в |
Л |
На рис. 72 показана поверхность R и на ней нанесены линии уровня при значаниях S, т), принятых в таблице. Кроме абсолютного макси мума R = 6 в центре пластинки имеются ещё относительные максимумы
R = 2 |
в углах. Так как в случае упругой деформации квадратичная |
|
форма |
Рх с точностью до множителя совпадает |
с потенциальной |
энергией деформаций пластинки, приходящейся на |
единицу площади, |
|
а Рх |
пропорционально R , поверхность R характеризует закон рас |
|
пределения упругой потенциальной энергии. Согласно (4.221), вели чина R пропорциональна квадрату интенсивности деформаций наруж
ных слоёв |
пластинки, и потому |
поверхность R |
позволяет указать, |
в какой |
последовательности и |
какие именно |
области пластинки |
выходят за предел упругости. Обозначим |
через F0, F j . . . |
пло- |
||
щади |
областей |
части пластинки, заключённой в первом квадранте |
||
^ |
0, YJ ^ 0). |
Эти площади ограничены |
прямыми линиями, |
прибли |
жённо |
совпадающими |
с |
проекциями |
линий |
уровня |
R на |
плоскость |
||||
I, ц, причём они |
заполняют всю |
пластинку, |
т, е. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2о л , = 1 . |
|
|
|
||
Средние значения |
Rn на |
этих |
площадях |
выберем |
в соответствии |
||||||
С приведённой |
выше таблицей, причём так, чтобы |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
чг |
|
|
|
|
|
Это условие вытекает |
из |
равенства |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
г |
|
= 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
J J R d Z d r i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
Тогда |
получим |
табл. 10 |
значений |
F n, Rn и |
^ = = |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 10. |
|
|
|
|
|
Значения Fn, /?л и ап/*о* |
|
|
|||||
п |
0 |
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
Fn |
V» |
|
8/з« |
|
|
8/вв |
7/зв |
V30 |
»/и |
4/зз |
|
|
5,5 |
|
4,7 |
|
|
3,3 |
2,1 |
1,8 |
1.1 |
0,2 |
|
en leo |
0,955 |
|
0,881 |
|
|
0,742 |
0,591 |
0,546 |
0,429 |
0,184 |
|
Если е0 > 1 и упруго-пластическая область пластинки охватывает площадь F 0> F j , . . . значит, е ^ = 1 и потому е0 должно быть найдено из соотношения
причём значение — следует взять в таблице при п — N. Формулу
(4.224) перепишем в следующем виде:
N
— eo.v (1 —
'Q
или, заменяя его выражением через еп и затем Rn, получим:
/7Гл)]■
Обозначим
N
о ;
Тогда найдём окончательную форму зависимости нагрузки от дефор мации:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.226) |
|
Функции |
<ру, |
%N и eoir(eN = l) |
даны в |
табл. |
11. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
Значения функций фу, <ру, *у и eoN. |
Т а б л и ц а |
11. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
' N |
|
|
0 |
1 |
2 |
|
3 |
|
4 |
|
|
5 |
6 |
|||
|
4N |
|
0,153 |
0,545 |
1,004 |
1,412 |
|
1,612 |
1,978 |
2,000 |
|||||||
|
Хя |
|
0,240 |
0,901 |
1,828 |
2,865 |
|
3,412 |
|
4,697 |
4,883 |
||||||
|
'hr |
|
0,087 |
0,371 |
0,932 |
1,918 |
|
2,528 |
|
4,858 |
5,043 |
||||||
|
e0N |
|
1,045 |
1.133 |
1,35 |
1,69 |
|
1,83 |
|
2,33 |
5,43. |
||||||
|
Если е0^ е 0ь= |
5,43,то |
величины |
Фу, |
|
|
принимают макси |
||||||||||
мальные |
значения |
согласно |
таблице, |
и |
потому |
зависимость |
k — е0 |
||||||||||
имеет |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
А = |
(1 — X) *0+ |
2,44 А — 2 ^ . , |
е0> 5 . |
|
(4.227) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
По |
мере |
возрастания |
нагрузки |
и интенсивности деформаций е0 сначала |
|||||||||||||
за |
предел |
упругости |
выходит |
центральная часть пластинки (площадь |
|||||||||||||
F 0 |
на |
рис. |
71), |
затем последовательно в порядке удалённости от |
|||||||||||||
центра |
получают |
пластические |
деформации |
площади |
F x, |
F а, |
F Q; |
||||||||||
после этого возникает пластическая деформация |
в углах пластинки |
||||||||||||||||
(площадь |
Fi на рис. 71). При е0$ = 2,33 упруго-пластическая область |
||||||||||||||||
охватывает |
почти |
всю пластинку, исключая |
окрестности середин |
её |
|||||||||||||
сторон; |
в |
точках |
6 = |
0, Y) = |
1 и 6 = 1 , |
т) = |
0 пластическая |
дефор- |
|||||||||
мация возникает теоретически лишь при бесконечно |
большом |
значе |
|||||||||||||||
нии е0у но практически уже |
при |
<?0 > 5 |
можно считать, |
что она воз |
|||||||||||||
никает |
всюду. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если материал пластинки не обладает упрочнением, то \ s=* 1, и при достаточно больших прогибах (*0> 5) зависимость (4.227) прини мает вид:
|
|
k = 2,44— ? ^ , Am„ = |
2,44. |
|
(4.227') |
||||
|
|
|
|
ео |
|
|
|
|
|
Значение |
|
К = 2,44 |
определяет |
несущую |
способность |
квадратной |
|||
пластинки. |
Заметим, |
что |
дробь |
144/тг2, входящая в выражение k |
|||||
(4.222), |
отличается |
от |
дроби |
21/16, |
входящей в выражение k |
для |
|||
круглой |
пластинки, |
только на 4% ; сравнивая значения k для круглой |
|||||||
(4.217) |
и |
квадратной |
(4.227) |
пластинок, |
заключаем, |
что |
если |
||
радиус первой равен полустороне второй, то максимальное равномер ное давление, которое они могут выдержать, примерно одинаково. Для квадратной пластинки имеем:
*7max |
144 |
|
|
а для круглой (4.217) |
|
|
|
Ятал |
16 0ЯН* |
== 1,69 |
а. Л2 |
21 а2 ’ |
в2 • |
Приведём ещё формулу для прогиба в центре квадратной пластинки:
сд* — w0 = - p wo-
Заменяя постоянную с её выражением |
через |
е0 (4.221) |
и учитывая, |
|||||
что согласно (4.218) и (4.220). w0= |
64/я6, |
получим: |
|
|||||
|
wn |
■*2 |
h |
0 |
|
|
|
(4.228) |
|
|
|
|
|
||||
Задача об |
определении прогиба |
w0 по |
данной нагрузке |
q решается |
||||
с помощью |
формул (4.228) и (4.225) |
или (4.226) |
или |
(4.227), так |
||||
как wQ и k |
оказываются |
выраженными |
в функции |
одного параметра |
||||
е0. В виду простоты такого метода можно не производить построе
ния кривых k-e, |
как это |
было сделано для круглых пластинок. |
§ 31. |
Несущ ая |
способность пластинок. |
Как уже показано на примерах предыдущих параграфов, макси мальная нагрузка, которую может выдержать пластинка, определяется вариационным уравнением равновесия (1.156') или (1.165) при условии, что материал еб не обладает упрочнением
а упругая деформация ел пренебрежимо мала сравнительно с общей е4. Если воспользоваться выражением функции Q (Рх) для материала С линейным упрочнением:
Q = X |
в = |
то, полагая X = 1 и совершая предельный переход,
е9-> О, Е |
оо, (Ееа) -> ов, |
из (1Л 56') получим
Обозначая через а характерный размер пластинки и через q0 хара ктерное значение нагрузки q:
Ч = ЧОЯ, |
|
(4.229) |
мы запишем вариационное уравнение равновесия в виде: |
|
|
gjJ ( У~Р~%—2 |
я™)dxаУ= 0. |
(4.230) |
|
|
|
Так как
Я* = 4~ у-j *а 4 -*2 4"х122 ,
уравнение (4.230) относительно w является однородным квазилиней ным. Моменты и перерезывающие силы выражаются через прогиб и его производные в виде однородных функций нулевой степени; в самом деле, из (4.127), (4.138) имеем:
|
J = D ( l — Q) = J — |
Л к - |
|||
|
|
|
V з |
у рх ’ |
|
и потому |
|
|
|
|
|
M t = |
— ^(xi + |
-5-xa) = |
|
||
М2 = |
J Н |
2*Xl) в |
(4.231) |
||
iWja— — |
— |
Мя |
|
||
у~ зр ; у‘1а* |
|||||
|
|
|
|||
Таким образом граничные условия для прогиба и его производных будут всегда однородными и квазилинейными. Следовательно, вариа ционное уравнение (4.230) может иметь решение лишь при некото рых определенных значениях параметра k\ минимальное из них и
определяет максимальную нагрузку или несущую способность пла стинки. Разрешим уравнение (4.230) относительно k :
а» / |
/ » / |
Pxdxdy |
2 V 3 / |
|
(4.232) |
/ |
dx dy |
Для нахождения несущей способности согласно этому уравнению
нужно |
найти такое |
w (x , у), |
чтобы |
величина k |
имела минимум, |
|||||||||||
т. е. решить задачу, в некотором |
смысле |
анологичную |
задаче опре |
|||||||||||||
деления упругой критической силы по методу* Тимошенко. |
||||||||||||||||
|
Для примера возьмём прямоугольную пластинку с отношением |
|||||||||||||||
сторон |
а = |
а/£, свободно опёртую |
по контуру и нагруженную равно |
|||||||||||||
мерным |
давлением |
q = q 0. Направляя |
оси |
х, |
у, по |
сторонам а и Ь |
||||||||||
и полагая, |
согласно граничным |
условиям: |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
sin— sin — |
, |
|
|
|
|||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
т- |
|
|
|
_________________________________________ |
||||||||||||
Поскольку |
вариации |
8w и 8 У Рх берутся |
по |
с и пропорциональны |
||||||||||||
8с, |
знак |
вариации |
в |
числителе |
и |
знаменателе |
(4.232) можно сокра |
|||||||||
тить |
вместе с с. |
Задача |
сводится |
к |
вычислению одного |
интеграла: |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k= w b > r i Td*d>- |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
Другая |
постановка |
задачи |
о |
|
несущей |
способности |
получается |
|||||||||
с помощью |
конечного соотношения между моментами (4.72): |
|||||||||||||||
|
|
|
М1 — Мх М2+ |
|
М2 + |
3 М 12 = |
М \. |
|
(4.233) |
|||||||
Основное уравнение |
равновесия |
пластинок имеет вид: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
д*М! J |
2 д*М12 |
|
<РМ2 |
<7 = 0. |
|
(4.234) |
|||||||
|
|
|
|
дх* |
|
дхду |
' |
|
ду |
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
К нему необходимо присоединить условия совместности деформаций (4.169), в которых, однако, функция J уже не может быть выра жена через моменты и должна считаться неизвестной. Воспользуемся обозначениями (4.24) и перепишем (4.169) так:
д /Н л ___ £ д_ /Мп\ |
д /Н^\_____2 JL (м ъ\ |
5 y [ J j ~ 2 д x \ J ) , |
d x \ J ) |
2 d y [ j J - |