Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

Опыты Шмидта. Вслед за Рошем и Эйхингером Шмидт поста­ вил задачу: исследовать зависимость напряжений от деформаций для материалов, обладающих упрочнением. Тонкостенные трубы из литого железа, а также медные, подвергались испытанию на совместное

порционально, и потому от начала до конца каждого опыта отноше­

ром, имеет место, и отклонения экспериментальных точек от неб

напряжённом состоянии может быть характеризовано одной и той же

момент поочерёдно, причём каждый раз производилась разгрузка. Таким образом, главные оси напряжений поочерёдно менялись на

зец в поперечном направлении и вновь подвергался растяжению. Все опыты с попеременным нагружением показали, что прежняя зави­ симость т, от ъ уже не имеет места, что вполне естественно, если принять во» внимание эффект Баушингера.

Опыты Дэвиса (1943— 1945 гг.). Испытанию на совместное дей­ ствие осевого растяжения и внутреннего давления подвергались мед­ ные и стальные тонкостенные трубы, причём последние изготовлялись из стали со средним содержанием углерода и были нормализованы. Каждое испытание было простым, т. е. отношение величины растя­ гивающей силы к внутреннему давлению оставалось постоянным и

до разрушения образца. Так как деформации при этом достигали значительных величин, то при обработке результатов по методу,

b ( l - H i ) , In (1 +<?,).

По этим величинам вычисляется и октаэдрическая деформация Напряжения также брались истинные, и по ним вычислялось окта­ эдрическое напряжение т{. Аналогично вычислялись максимальное касательное напряжение тшах и максимальный сдвиг ттах. Результаты испытания медных труб изображены на рис. 34 и 35. Несмотря на конечность деформаций, отклонение экспериментальных точек от пря­ мой |х = v не превосходит обычных для малых деформаций преде­ лов. Обе возможные зависимости, отражающие закон упрочнения:

малых деформациях закон упрочнения лучше отражается первой из них, а при конечных—второй.

^тах === ^ 1 (Ттах)>

которая также может быть принята, уступает первой по точности.

Выводы из опытов на сложное напряжённое состояние. Ана­ лизируя все имеющиеся опыты по изучению сложного напряжённого состояния, можно установить закономерности, степень точности кото­ рых является вполне определённой и достаточной для тех случаев, когда нагружение тела при однородном напряжённом состоянии является простым. Поскольку все опыты с частичными испытаниями

размера большой полуоси. Такое сравнение результатов опытов более наглядно и более правильно оценивает погрешность гипотезы о совпа­ дении направляющих тензоров напряжений и деформаций, ибо наи­ большая разница между числами |х и v характеризует наибольшее расхождение между наименьшими по модулю компонентами этих тен­

является простым и сопровождается несколькими простыми разгружениями и нагружениями одного и того же характера -(так что отно­

данного материала. Для построения этой зависимости достаточно про­ извести только один опыт, например, на растяжение образца или на кручение трубы. Если материал считать несжимаемым и пренебрегать изменением его плотности при деформации, то зависимость между интен­

§ 9. Различные теории пластичности.

Выше приведены результаты лишь таких опытов, из которых можно извлечь подтверждения основных законов теории малых упруго-пла­ стических деформаций или отвергнуть эти законы. Поскольку такая теория развивается для первоначально квазиизотропных тел и притом в предположении, что деформация их в любой точке является простой

к ним прилагалась возрастающая осевая сила и измерялось удлинение;

не приводим результатов на поочерёдное растяжение и кручение Шмидта и т. д. Опыты Гогенемзера и Прагера, по существу, подобны опытам Тэйлора и Квинн, но ставят уже новый вопрос о влиянии предшествующих деформаций на соотношение напряжение— дефор­ мация при сложном нагружении. Такие опыты вообще немногочис­ ленны, они имеют очень большое значение для развития теории пла­ стичности на случай сложного процесса деформирования, но из них пока ещё нет возможности вывести законы сопротивления тел при сложном нагружении, не говоря уже об установлении законов упроч­ нения материала.

В настоящее время известно много различных теорий пластичности, причём в самое последнее время предложены новые теории. Отчасти они изложены в книге Лейбензона 1а71. Чтобы понять причины много­ образия теорий пластичности, необходимо уяснить цели, какие они

димо инженерам для суждения о пригодности той илй иной конструк­ ции в практике), а также найти в теле напряжения для того, чтобы знать, не возникнут ли в нём нежелательные остаточные деформации или, в случае хрупких материалов, не произойдёт ли разрушение. Поскольку нет ничего лучшего, — по упругим напряжениям и различ­ ным эмпирическим фактам инженер судит о возможности усталостных разрушений и других эффектах, поскольку они тесно связаны с дей­ ствующими упругими напряжениями и имеющимися деформациями, Задача теории упругости в принципе легко решается благодаря чрез­ вычайной простоте закона Гука.

Посмотрим, каковы же основные задачи теории пластичности. Мы не будем рассматривать задач пластичности, связанных с изучением вопросов ползучести, релаксации, последействия, гистерезиса, вязкости (зависимости сопротивления от скорости), т. е. всех тех, в которых само время протекания процесса существенно сказывается на механи­ ческих свойствах тела. Эти вопросы выходят за пределы данной книги. Мы остановимся только на тех теориях пластичности, в которых меха­

логична задаче теории упругости: по заданным внешним силам стати­ ческого и динамического характера или вынужденным деформациям некоторых частей тела или по тому и Другому найти деформации; найти остаточные деформации, если нагрузки полностью или частично сняты; найти изменённые в результате пластической деформации меха­ нические свойства материала тела и установить, каковы будут его деформации, если приложены вторичные нагрузки; найти нагрузки, при которых происходит разрушение (трещина) в какой-нибудь части тела и т. п. Вполне очевидно, что соответствующая теория пластич­ ности должна учитывать основной факт— Зависимость напряжений от

предшествующих деформаций тела, т. е. свойство упрочнения. Такая теория в простейшем случае может допускать, что деформация тела

является сравнительно малой.

Вторая основная задача в некотором смысле аналогична задаче гидродинамики: по заданному движению абсолютно твердого (или де­ формируемого) тела в среде или на поверхности среды, обладающей пластическими свойствами, найти её сопротивление и распределение давления по поверхности тела, а также механическое состояние самой среды. Эта проблема может быть ещё усложнена некоторыми из тре­ бований первой основной задачи. В простейшем случае соответствую­ щая теория пластического течения может и не учитывать зависимости сопротивления среды от предшествующих деформаций и, напротив, при очень больших давлениях учитывать зависимость его от величины давления. Но такая теория должна быть верной при конечных дефор­ мациях и потому в некотором смысле быть подобной гидродинамике.

Все основные известные теории пластичности, как отмечал уже Прагер 1241, и в том числе его теория, основаны на некоторых линей­ ных соотношениях между тензорами, полученными путём дифферен­ цирования и интегрирования девиаторов напряжений и деформаций и кроме того на некоторых скалярных соотношениях между их ин­

о

Xj

L \ D e) = A ' ( D e) + B ' ± ( D e) - \ - f . C ' ( D e) d k + . . .

о

Если теперь отбрасывать различные слагаемые в (1.127), делать

деформаций, т. е. положить:

Кроме того, принимаются условие несжимаемости материала и условие пластичности Мизеса:

В скалярном виде связь между напряжениями и скоростями деформа­ ций получается следующей:

Поскольку эти соотношения означают только равенство направляю­ щих тензоров напряжений и деформаций, ясно, что по заданным напряжениям они не позволяют найти скоростей и деформаций.

Здесь остаются в силе соотношения (1.128). Заметим, что Прандтль рассматривал плоский случай и условие пластичности брал в несколько иной форме.

Теория Прагера с точки зрения выбора членов уравнения (1.127) совпадает с предыдущей, отличаясь лишь выбором коэффициента А,

если сохранить коэффициенты А и А1, т. е. вместо скоростей дефор-