Пластичность Часть 1. Упруго-пластические деформации

запись условия пластичности Кулона-Сен-Венана-Леви через все шесть компонентов тензора напряжений оказалась чрезвычайно сложной и неудобной.

Губером М , а затем Мизесом f161 и Генки 1161 было предложено новое условие пластичности — условие постоянства энергии формо­ изменения. Как уже показано в § 3, октаэдрическое'напряжение т* оказывается почти постоянным, если максимальное касательное напря­ жение постоянно, и это является достаточным основанием для замены уравнения (1.105) новым уравнением пластичности:

=const.

Вкоординатах о1? о2> о3 оно представляет цилиндр Губера-Мизеса. Для того чтобы это условие совпадало с (1.103) в случае простого растяжения, постоянная должна быть выбрана определённым образом, и условие Мизеса приобретает вид:

деформаций в телах. При решении частных задач теории пластич­ ности можно остановиться на том из них, которое математически упрощает решения. Впрочем, по существу обнаружилась большая точность условия Мизеса. Это становится очевидным уже из сравнения

пластичность при кручении наступает тогда, когда максимальное

т. е. величину, хор01Но совпадающую с опытной.

Основная особенность формулированных выше условий пластич­ ности Сен-Венана (М 0 5 ) и Мизеса (1.106) состоит в том, что они, так сказать, нечувствительны к равномерному всестороннему давлению или растяжению. В са*гом деле, если все главные напряжения olf оа, о8 увеличить или уменьщить н'а 0ДНу и Ту же произвольную величину, условия пластичности останутся прежними. Математически это ясно, так как интенсивней напряжений о< выражается только через коц?

поненты девиатора напряжений (De), а максимальное касательное напряжение есть полуразность главных. В связи с этим интересно отметить некоторые факты, связанные с поведением металлов при высоких всесторонних давлениях.

При действии высоких всесторонних давлений плотность металлов возрастает очень "незначительно, причём изменение объёма является упругим. Отсылая интересующихся этим вопросом к книге Бридж­ мена 1171, мы приведём лишь некоторые описанные в ней результаты. При давлениях порядка до 15 000 атмосфер и более Бриджмен даёт следующую зависимость между всесторонним равномерным давлением р и относительным изменением объёма 6:

А— 3(/л —2) ’

иК\ — вторичный модуль, значение которого для различных металлов

величину порядка 0,1°/0 и потому соответствующее равномерное удли­

нение е = -£• 0 будет порядка 0,03% . Если рассматривать пластические

деформации, значительно превосходящие величину ^ г , то из сказан­

ного ясно, что изменением объёма вообще можно пренебречь и счи­ тать материал несжимаемым. Поэтому вместо закона Гука (1.86) в теории пластичности чаще всего берут условие несжимаемости:

Влияние всестороннего равномерного давления на условие пластич­ ности, как показывают опыты, является очень слабым, на пластич­ ность же очень значительным. Первое может быть учтено, если в условиях (1.105), и (1.106) предел текучести считать функцией инварианта о. Однако опыты Шлейхера 1181 и недавние опыты Бридж­ мена 1191 показывают, что не только при средних давлениях порядка предела текучести металла, но и при значительно больших давлениях влиянием среднего равномерного напряжения на условие пластичности можно пренебречь. Это влияние становится заметным у сталей при давлениях порядка ста тысяч атмосфер. Но пластичность материалов под действием высоких всесторонних давлений значительно возрастает, и даже самые хрупкие тела, не разрушающиеся при действии равно­ мерного всестороннего давления, могут получать достаточно большие остаточные деформации.

§ 8. Экспериментальное изучение законов пластичности при сложном напряжённом состоянии.

Этому вопросу с начала нашего столетия и до последнего времени уделяется основное внимание исследователей в области теории пластич­ ности. Не останавливаясь на ранних исследованиях частного характера, мы укажем лишь на те работы, в которых проблема изучалась с достаточной широтой и общностью и в которых получены резуль­ таты достаточно общего характера.

В докладах 2-го Международного конгресса по прикладной механике 1926 года имеются две фундаментальные работы, относящиеся к этому вопросу: 1) Надаи и Лоде I201, выполненная в Геттингене при участии Прандтля; 2) Роша и Эйхингера 121Г В этих работах заложена основа современных методов изучения пластичности при сложных напряжён­ ных состояниях путём растяжения и кручения тонкостенных труб и дано подтверждение основных законов пластичности. Необходимо

пластических деформаций, и имелась некоторая ясность в том, какие именно факты должны быть подвергнуты экспериментальной проверке. В опытах Надаи и Лоде окончательно установлено условие пластич­ ности Мизеса, причём показано его преимущество перед условием наибольших касательных напряжений и рассмотрен вопрос о подобии напряжённого и деформированного состояний. В опытах Роша и Эйхингера рассмотрено влияние упрочнения материала на условие пластичности Мизеса и установлена связь между октаэдрическим напряжением и деформацией. Тэйлор и Квини I22! в 1931 году опубли­ ковали свои опыты, посвящённые уточнению опытов Надаи и Лоде. Они также приходят к подтверждению условия пластичности Мизеса, устанавливают совпадение главных осей напряжений и скоростей деформаций и приближённое подобие распределения напряжений и

скоростей деформаций в условиях, сильно отличающихся от условий простой пластической деформации. В 1932 году опубликованы опыты Шмидта I98!, в которых рассмотрены те же вопросы и использованы некоторые идеи работы Гогенемзер и Прагера (241; они интересны как положительными, так и отрицательными для теории пластичности Генки-Мизеса результатами. Несколькими годами позднее в лабора­ тории Ленинградского университета проверкой законов пластичности занимался Смирнов-Аляев, причём в общем дал подтверждение основ­ ных гипотез. В последующие годы появилось большое количество

экспериментальных исследований явления пластичности при сложном напряжённом состоянии и особенно в области упрочнения металлов и при конечных деформациях. В них нет противоречий с теми выво­ дами из перечисленных выше работ, которые нам необходимы для установления основных законов излагаемой здесь теории пластичности и, скорее наоборот, чем тщательнее делались опыты с изотропными металлами, тем лучше подтверждаются эти законы. Однако, как это отмечает и Прагер 126^, из новых опытов пока нет возможности получить достаточно обоснованные экспериментальные законы более общего характера, хотя теоретические возможности здесь очень велики. Поэтому, в качестве примера, мы остановимся лишь на двух работах, которые в лаборатории Надаи и, видимо, под его руковод­ ством были выполнены Дэвисом I26!.

Характер испытаний при слоэюном напряжённом состоянии. Испытание тонкостенных круглых труб на одновременное действие растягивающей силы Р, внутреннего давления р и крутящего момента М представляет возможность установления и полной проверки законов пластических деформаций в общем случае плоского напряжённого состояния. Исключая влияние крепления концов трубы в машине, можно считать, что напряжённое состояние в трубе является одно­ родным, если однороден металл и достаточна точность при её изго­ товлении. Направляя ось х по оси трубы, ось у по касательной к окружности и ось г по радиусу и считая толщину стенки h малой сравнительно со средним радиусом /?, мы вправе полагать вде основные

нормалью п косой площадки с осью трубы х (рис. 25) и пусть S n— нормальная составляющая (Da) на этой площадке. Из условия равновесия призмы имеем:

находим главные направления (рис. 25) по формуле:

из которой следует, что одно направление (хг) составляет с осью х

Главные удлинения

е\\ *3 = — е1---e2f

определяются формулами, аналогичными (1.116):

Первый осуществляется на машинах, в которых по произволу экспе­ риментатора могут быть заданы сила Р, давление р и крутящий мо­ мент М. В таком случае, постепенно увеличивая определённым обра­ зом эти величины, можно измерять возникающие в трубе деформации,

аименно: её осевое удлинение

еА/

Затем, обрабатывая результаты по формулам (1.113), (1.111), (1.115), (1.117), (1.119) и (1.120), можно искать зависимость между напря­ жениями и деформациями. Направляющие тензоры напряжений и де­ формаций будут равны между собой, если <p = <ji и j* = v для любой комбинации внешних сил Р, р, М.

Второй тип опытов может быть осуществлён на машинах, позво­ ляющих произвольным образом менять деформации трубы, а именно: её осевое удлинение Д/, радиальное удлинение ДR и угол закручива­ ния ш. Тогда приборы должны регистрировать возникающую силу Р , давление р и крутящий момент М. Обработка результатов останется прежней. Можно представить Себе и опыты комбинированного типа. Обычно делались опыты первого типа и притом частного характера. Например, труба подвергалась Действию только внутреннего давления

ются только на величину равномерного всестороннего давления и растя­

трубы проводилось только одно испытание, в котором соотношение между прилагаемыми силами оставалось постоянным всё время, т. е.

вление главных осей напряжений при этом не могло изменяться отно­ сительно тела, то из простых условий симметрии ясно, что главные оси деформаций совпадали с главными осями напряжений. При этом совершенно несущественно — упрочняется ли в процессе деформации материал или не упрочняется. Итак, в случае простого нагружения условие:

и потому V= |A= — .1; 3) в случае чистого сдвига утолщение или утоньшение стенки не происходит, и потому еор = 0, т. е. v = р. = 0 ; 4) при простом сжатии в одном направлении

Все эти значения могут быть достигнуты при испытании труб без кручения, и потому опыты на совместное действие растяжения и внут­ реннего давления при простом нагружении являются исчерпывающими.