647

Другая объемная характеристика, связанная с проектированием и внедрением новой системы виртуального управления, представляет собой капитальные затраты. Они зависят в основном от трудоемкости проектирования и внедрения. Будем предполагать, что объем капительных затрат есть монотонная функция от числа реализуемых по отдельному ЭМ способу функционирования системы.

Обозначим через Т — множество всех ЭМ, реализуемых в системе. Общее их число обозначим через х0, т.е. х0 = Т . С помощью этих ЭМ будут формироваться реальные контуры системы.

Пусть Тj — множество ЭМ, реализуемых в j-м контуре, а хj их число, т.е. хj = Т j . Очевидно, что

Обозначим через Аj общее число единичных реализаций элементарных задач, которые реализуются в j-м контуре с помощью множества элементарных модулей Тj.

n

Пусть в нем модуль k(k Т) повторяется Skj раз, тогда ∑Skj — общее число единичных реали-

j=1

заций k-го модуля, в системе, а ∑ Skj — представляет собой общее число единичных реализаций

k T

элементарных задач, которые реализуются в j-м контуре, т.е. ∑ Skj = Aj .

k T

Кроме того, общее число единичных реализаций элементарных задач в системе можно записать

n

∑a1 j xj ≤ αx0 , где 1 ≤ α ≤ n.

j=1

В полученном выражении величина a1j — является относительным количеством единичных реализаций элементарных задач, приходящихся на один ЭМ, рассматриваемого контура j. Если S00 = 1, т.е. в любом конуре системы все ЭМ реализуется не более одного раза, то величина a1j — представляет собой среднее количество единичных реализаций элементарных задач, приходящееся на один ЭМ j-м способом.

Очевидно, что х0 — есть максимально возможное количество ЭМ, которое может быть реализовано в системе. Поэтому его можно определить как произведение количества функций управления, реализуемых системой, на количество управляемых объектов управления. И та, и другая величина определяется в соответствии с матрицей комплексов задач.

Иными словами, х0 — представляет собой количество комплексов задач, реализуемых в системе.

Смысл вводимого ограничения теперь проясняется следующим образом. Реальное количество единичных реализаций элементарных задач не должно превышать некоторой, заранее заданной величины αх0. Смысл же коэффициента α проясняется из следующего факта. Вероятность единичной реализации отдельного ЭМ в различных способах одновременно растет с ростом α. При этом, чем ближе α к n, тем выше вероятность единичных реализаций элементарных задач различными вариантами.

Полученное выше ограничение может быть модифицировано к следующему виду:

j=1

где α — параметр, с помощью которого осуществляется движение в сторону все большего охвата

93

заданного множества элементарных задач каждым способом (он будет меняться от постановки к постановке по мере накопления необходимой информации).

Рассмотрим затраты на разработку системы. Общая величина затрат складывается из суммы на реализацию способов Zj:

j=1

Стоимость работ по одному из способов первой группы (режим единичных ЭМ) равен стоимости разработки программ отдельных ЭМ Zi:

i=1

Стоимость работ по способу второй группы складывается из стоимости разработки жестких расписаний Z0j2 и единичных модулей:

i=1

Стоимость работ по способу третьей группы равна стоимости единичных модулей и управляющей программы Z0j3:

i=1

Стоимость работ по способу четвертой группы равна стоимости единичных модулей и адаптирующейся программы Z0j4:

i=1

Обозначим через aτj — средние затраты, приходящиеся на один единичный модуль, реализуе-

n

мый в j-м варианте, тогда Z = ∑aτj xj .

j=1

Сопоставим это выражение с (4.19), получим:

Сопоставление зависимостей (4.20–4.23) показывает, что они имеют одинаковый член Zi и различаются Z0j2, Z0j3 и Z0j4. Значит, величина аij может быть косвенно оценена соотношением последних членов уравнений (4.20–4.23). Анализ показывает, что Z0j2 > Z0j3 > Z0j4. Следовательно, при одном и том же количестве реализуемых ЭМ, aτj1 > aτj2 > aτj3 > aτj4. Сопоставим каждому aτj свой ранг. Наименьший ранг, равный 1, присвоим aτj1, ранг 2 — aτj2 и т.д. На рис. 4.10 наклонными прямыми показан характер изменения стоимости каждого способа в зависимости от количества реализуемых ЭМ ϕij (xj ) . Чем больше ранг, тем больше угол наклона, тем быстрее растет стоимость

разработки рассматриваемого способа включения ЭМ в контур управления.

С использованием таких графиков можно дать количественную оценку вариантам функционирования системы при назначении определенных ограничений. На рис. 4.9 для примера показаны ограничения сверху (bi) b и снизу (di).

94

j=1

—по трудоемкости проектирования и внедрения:

j=1

4.4.2. Качественные характеристики системы

Одной из основных характеристик качества функционирующей системы управления является надежность. Она может быть определена по аналогии с надежностью сложных технических систем с учетом той специфики, которая появляется за счет введения в систему таких трудноформализуемых звеньев, как люди или трудовые коллективы.

Вразличных источниках определение показателя надежности трактуется по-разному. Мы примем следующее определение.

Надежностью системы будем называть ее способность выполнять свои функции в заданных условиях при фиксированных требованиях на остальные характеристики системы. За меру надежности примем вероятность безотказной работы системы в течение заданного пpомежутка времени.

Анализ структуры системы управления показывает, что ее надежность определяется надежностью пpограммного обеспечения, надежностью вычислительных сетей и других технических средств, участвующих в ее работе, а также надежностью таких ее трудноформализуемых элементов, как люди или отдельные коллективы.

Система программного обеспечения может считаться надежной, если она проверена в период опытной эксплуатации при различных режимах работы и показала при этом себя удовлетворительно. В этом случае надежность системы в основном будет зависеть от надежности системы коммуникаций и ЭВМ, а также надежностью социальных элементов системы (людей и их отдельных коллективов) и времени решения задач.

Относительно надежности таких специфических элементов, как люди, следует отметить следующие обстоятельства. Их надежность определена многими факторами, которые зачастую не поддаются даже контролю и находятся вне сферы действия данной системы управления. Однако она может быть существенно повышена за счет таких мероприятий, как повышение деловой квалификации работников, отработка эффективной системы стимулирования и мотивации, улучшение условий труда и быта, совершенствование социальной атмосферы и т.д.

Вреально функционирующей системе одновременно работает несколько способов включения ЭМ. Эти способы будут частично запараллеливать друг друга. Поэтому в качестве надежности системы мы вправе принять выпуклую линейную комбинацию надежности отдельных контуров. Определение коэффициентов линейной комбинации представляет собой самостоятельную задачу, которая здесь не рассматривается.

Обозначим через ϕ(Х) надежность системы, a8 j — коэффициенты выпуклой линейной комби-

n

нации (a8j ≥ 0, ∑a8 j =1) имеем:

j=1

j=1

Вероятность безотказной работы системы по любому способу ее функционирования зависит от времени функционирования. При этом удовлетворяются условия [46]:

96

φ8 j(tj) = Робр.j, φ8 j(∞) = 0.

Здесь Робр.j — максимально возможная вероятность безотказной работы системы по j-му варианту, tj — время работы по j-му варианту. Этим условиям удовлетворяют закон Вейбулла, логистическая кривая и некоторые другие. Ниже для определенности принимается логистическая кривая:

1

ϕ8 j (tj ) = ψ8 je 8 j t j +1 .

Выше уже указывалось, что tj = а2jxj, т.е. время работы по j-му варианту линейно зависит от количества реализуемых в его составе ЭМ. Таким образом имеем:

вероятность безотказной работы системы по j-му способу (надежность j-го контура), при очень

надежности j-го контура (способа). Величина же µ8j= µ8j*a2j характеризует интенсивность изменения надежности j-го способа. Подобный анализ влияния Робр.j и µ8j на величину надежности рассматривается ниже. Здесь же отметим, что чем больше время реализации отдельного ЭМ, тем больше µ. Другими словами, «кустарным» вариантам функционирования системы соответствуют большие µ, а высокоорганизованными (жесткие расписания, управляющие программы и т.д. в порядке возрастания степени организации) меньшие.

Другая, столь же важная качественная характеристика системы управления, это ее помехоустойчивость. Ее можно трактовать как способность системы противостоять воздействию внутренних и внешних помех (шумам), т.е. работать без искажений в выходной информации. За меру помехоустойчивости ниже принимается вероятность безошибочной работы системы в условиях воздействия помех при фиксированных значениях ее остальных параметров в течение заданного промежутка времени.

Помехи в работающей системе (при условии, что исходные данные поступают без ошибок) возникают в процессе передачи, обработки, выдачи информации. Для их предотвращения используют специальные системы кодирования, защиты памяти и др. Эти мероприятия должны предусматриваться при разработке системного математического и информационного обеспечения.

Можно показать, что характер изменения помехоустойчивости любого контypa (способа организации решения) системы аналогичен характеру изменения надежности. Здесь также как и в случае надежности в качестве закона ее изменения для определенности принимается логистическая кривая.

Рассмотрим понятие модернизируемости, которая характеризует систему с точки зрения ее возможностей по совершенствованию и модернизации, т.е. с точки зрения ввода новых и замены старых ЭМ и организующих программ, за меру модернизируемости системы принимается вероятность того, что введение новых или замена старых частей системы новыми будет проведена в течение заданного периода времени. В качестве частей могут выступать как отдельные ЭМ, так и отдельные организующие программы, будь то жесткие расписания, управляющие или адаптирующиеся программы.

Очевидно, система будет наиболее эффективной с точки зрения ее модернизируемости, если она будет построена из отдельных независимых друг от друга ЭМ, т.е. в условиях отсутствия всевозможных организационных программ.

С организационной точки зрения повышенную модернизируемость можно обеспечить проведением следующих мероприятий:

— разработкой качественных руководящих инструктивных материалов, призванных обеспечить требуемую простоту и удобство изучения правил эксплуатации обслуживающим персоналом;

97

менно, то будут сорваны плановые расчеты со всеми вытекающими отсюда последствиями. Таким образом, со стороны процесса планирования на своевременность (оперативность) анали-

за накладываются довольно жесткие ограничения. Ограничения аналогичного порядка возникают также и при осуществлении других функций управления. Общие соображения относительно закона изменения оперативности системы будут следующие. Чем больше реализуется в системе ЭМ (при прочих равных условиях), тем выше вероятность того, что решение комплекса задач будет проведено несвоевременно. Это обстоятельство, может быть объяснено появлением отказов в системе и ошибок результатной информации. С уверенностью можно сказать, что вероятность несвоевременного решения тем выше, чем ниже надежность и помехоустойчивость системы. Таким образом, закон изменения оперативности системы может быть принят таким же, что и закон изменения надежности или помехоустойчивости системы.

4.4.3. Анализ качественных характеристик

Рассмотрим основные предпосылки, при которых осуществляется формальное представление качественных характеристик системы управления.

Первая предпосылка. Реальная организация процесса решения комплекса задач управления в системе предполагает использование нескольких способов (контуров) включения ЭМ. Каждый способ описывается с помощью таких же характеристик, что и система в целом. Дpyгими словами, любая качественная характеристика системы является сложной функцией качественных характеристик ее отдельных контуров. Ниже предполагается, что качественные характеристики системы, во-первых, монотонно увеличиваются с ростом соответствующих характеристик отдельного способа и, во-вторых, аддитивны относительно них. Второму предположению удовлетворяет, в частности, представление отдельной характеристики системы в виде выпуклой линейной комбинации соответствующих характеристик отдельных способов.

Пусть i — номер характеристики системы, φij (xj) — характеристика j-го варианта ее функционирования, аij — коэффициент выпуклой линейной комбинации, участвующий в формировании j-й ха-

n

рактеристики аij ≥ 0, ∑αij = I , i {8, 9, ...,12} (см. табл. 4.3). В этом случае j-я характеристика сис-

j=1

темы запишется в виде:

j=1

Вторая предпосылка. Характер изменения i-й характеристики системы остается одним и тем же для всех вариантов функционирования системы. Пусть j1 и j2 — два произвольно взятых варианта. Тогда, согласно приведенного утверждения, для любой характеристики i-й функции φij1(xj1) и φij2(xj2) имеют одинаковое число областей выпуклости и вогнутости, порядок их чередования, чис-

ло перемен знака (если они имеются) и т.д. Другими словами, для xj1 и xj2 [0,∞) между законами

φij1(xj1) и φij2(xj2) можно установить взаимно однозначное соответствие.

Третья предпосылка. Любая из качественных характеристик отдельного варианта системы изменяется, удовлетворяя следующим условиям:

Четвертая предпосылка. Она связана с характером изменения каждой конкретной характеристики отдельного варианта в зависимости от количества реализуемых в его составе ЭМ и заключается в следующем.

Скорость убывания i-й характеристики j-го варианта с ростом количества реализуемых ЭМ вначале растет, а затем убывает. Другими словами, существует точка xnij . Для которой выполнены соотношения:

99

Условиям (4.34) и (4.35) удовлетворяют закон Вейбулла, логистическая кривая и некоторые другие. Для простоты анализа и определенности принимается логистическая кривая1:

(4.34-в).

Во-вторых, выполняется условие (4.34-а). Действительно, найдем первую производную этой

функции и приравняем полученное выражение к 0, т.е. ϕ1(x) = − (ψeµx +1)2 .

Для x [0,8] это возможно при х = 0 и x = ∞ . Но при x = ∞ ϕ(х) = 0, следовательно функция

достигает максимума при х = 0, т.е. условие выполняется. Возьмем две точки x′ и x′′ таких, что αx′ = x′′, α > 1.

Покажем, что ϕ(x′) > ϕ(x′′) т.е. выполняется условие (4.34-б). Действительно, сравним значения функции, вычисленные для этих точек. Имеем:

но eµx > 1, поэтому ϕ(x1) > 1, т.е. условие выполняется. ϕ(x2 )

Предложенная кривая удовлетворяет также и условиям (4.35). Действительно, найдем точку перегиба функции из условия равенства второй производной нулю:

ϕ′′(x) = −ψµ2eµx (ψeµx +1)2 µ+ 2ψ2µ2e2µx (ψeµx +1) = 0 . (ψe x +1)

Раскрывая скобки и решая это уравнение, получим xn = µ1 ln ψ1 .

Значение функции в этой точке равно 1/2.

Пусть имеются две точки x′′ = αxn и x′′ = βn такие, что α < β < < 1. Имеем

1 Для упрощения изложения индексы i и j опускаются везде, где это не оговорено специально.

100

откуда,

a(1+ b)2 <1 b(1+ a)2

т.е. выполняется первая часть условия (4.35). Аналогично можно показать выполнение второй части условия (4.35), приняв x′′ = αxn и x′′ = βxn такие, что 1 < β < α.

График исследуемой функции представлен на рис. 4.10.

На этом графике можно проследить три характерные зоны. В первой зоне, где x [0, х(а)], функция убывает незначительно, но скорость этого убывания растет. Во второй зоне (x [х(а), х(b)]) наблюдается интенсивное падение функции, тогда как скорость изменяется очень слабо (вначале растет, а затем убывает). И, наконец, в третьей зоне (x [х(b), ∞ ]) падение вновь слабое, и при этом скорость убывания тоже уменьшается.

Зона наибольшего падения функции достаточно хорошо аппроксимируется прямой. Определим ее. Для этого потребуем, чтобы в районе точки перегиба скорость падения функции отличалась от скорости, соответствующей линейному закону на величину, не большую, чем ε.

Рис. 4.10. Качественная характеристика системы

Имеем ϕ′(xn ) = µ4 скорость в точке перегиба. Условие, определяющее искомую прямую, выписывается виде:

Подставляя их в функцию, получим:

ϕ(x(а) ) = ϕ(а) = 12 + 14 µε ;

ϕ(x(в) ) = ϕ(в) = 12 − 14 µε .

101

Таким образом, в интервале [х(а), х(в)] с заданной точностью ε (по скорости убывания функции) можно считать ϕ связанным с х линейным отношением:

Практические целесообразным может оказаться замена φ(х) на прямую лишь в интервале [хn, ∞ ]. В этом случае за искомую прямую линию можно принять касательную в точке хn. Она выпишется в следующем виде:

влияющий на характер изменения рассматриваемой характеристики φ. При фиксированном количестве ЭМ характеристика φ будет выше у того варианта j, который имеет большую экстенсивную составляющую φоj. Графически это иллюстрируется на рис. 4.11. Из рисунка видно, что рост максимально возможной величины характеристики ϕо ведет к росту ее крутизны при x > xn или, другими словами, к росту скорости ее падения. Это можно проиллюстрировать также и аналитически.

Действительно, пусть х — количество ЭМ, реализуемых по j1 и j2 варианту, т.е. х = хj1 = xj2 и при этом µ = µj1 = µj2, ϕ0j1 = k ϕ0j2 = = ϕ0, k > 1. По определению

k

102