715

перепишем дифференциальное уравнение в виде:

y′′ + n2 y = n2δ .

Это уравнение относится к классу линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Его общее решение может быть представлено в виде:

Первые два слагаемые являются общим решением однородного дифференциального уравнения, а последнее — частным решением неоднородного уравнения.

Сформулируем граничные условия:

х = 0: у (0) = 0,

y′(0)= Mϕ = Pδϕ,

х = l: у (l) = δ.

Из граничных условий, с учетом (2.75), получаем систему линейных алгебраических однородных уравнений:

у(0)= A 1+ B 0 + δ = 0

′( )= − + + δ = δϕ

у 0 A 0 Bn 1 0 P

у(l)= Acos(nl)+ Bsin(nl)+ δ = δ

или

1 A + 0 B +1 δ = 0

0 A + n B − P ϕ δ = 0

cos(nl) A + sin(nl) B + 0 δ = 0.

Ненулевое решение этой системы возможно, если ее главный определитель равен нулю:

cos(nl) sin(nl) 0

Раскрыв определитель, получаем:

− ncos(nl)+ (Pϕ)sin(nl)= 0 ,

Частный случай. Грунт — скальный (заделка — жесткая): ϕ = 0 . Этот вариант соответствует

случаю стойки жестко закрепленной в основании и нагруженной сжимающей силой на свободном конце вверху;

В итоге получаем классическую формулу Эйлера:

π2EJ

Pкр = 4l2 .

Уравнение (2.76) является трансцендентным, решить которое можно

–либо с использованием ЭВМ;

–либо методом последовательных приближений;

–либо графически (рис. 2.70).

90

y′′ + n2 y = n2δ − cδ(l − x) .

EJ

Общее решение этого уравнения может быть представлено в виде:

Постоянные интегрирования найдем из граничных условий:

х= 0: у(0) = 0,

х= 0: y′(0)= 0 ,

х= l: у(l) = δ.

Подставив в граничные условия решение (2.78), получим систему линейных однородных алгебраических уравнений:

sin(nl) A + cos(nl) B + 0 δ = 0.

Ненулевое решение этой системы существует, если ее главный определитель равен нулю:

Раскрыв определитель, после преобразований окончательно получаем:

Решив любым способом трансцендентное уравнение (2.79), можно определить значение параметра n (см. равенство (2.74)), а, значит, и величину критической силы.

Рассмотрим два частных случая решения (2.79).

1. Жесткость пружины с = 0 . Пружина отсутствует.

Это значение соответствует критической силе для стойки, один конец которой жестко закреплен, а другой свободен.

2. Жесткость пружины с = ∞ . Пружина вырождается в шарнирно подвижную опору (этот вариант рассматривался ранее в п. 2.2.1). Уравнение (2.79) приобретает вид:

tg(nl)= (nl),

92

который соответствует равенству (2.6).

2.5.5.3. Расчет стойки, опертой на упругую заделку и закрепленной сверху жесткими растяжками

Ненулевое решение полученной системы однородных линейных алгебраических уравнений существует, если:

Раскрыв определитель, после преобразований получаем характеристическое уравнение:

l

решив которое можно определить значение параметра n и, следовательно, из формулы (2.74) величину критической силы. Для оценки правильности решения рассмотрим два предельных случая значений ϕ в уравнении (2.80).

1. ϕ = 0 . Таким образом, внизу — жесткая заделка, вверху — шарнирно подвижная опора. Соотношение (2.80) сводится к виду tg(nl)= nl — это соответствует равенству (2.6). Получаем вариант стойки, ранее рассмотренный в п. 2.2.1.

93

2. ϕ = ∞ . Нижняя опора получает возможность беспрепятственно поворачиваться. В этом слу-

шению задачи об устойчивости стойки, шарнирно опертой по двум концам.

2.6. Устойчивость кривых стержней

До сих пор исследовались задачи об устойчивости сжатого прямого стержня, исходное состояние которого — прямая, возмущенное состояние — некоторая кривая. При этом прослеживается следующая логика. Изменение кривизны стержня при переходе стержня из исходного состояния в возмущенное описывается следующим уравнением:

1 − 1 = M . r r0 EJ

где r0 — радиус кривизны в исходном состоянии; r — радиус кривизны в возмущенном состоянии. Если исходное состояние стержня — прямолинейное, то r0 = ∞ , и

ет вид дифференциального уравнения второго порядка:

M ,

EJ

из решения которого в зависимости от вида внешней нагрузки и условий опирания определяется величина критической нагрузки.

Для криволинейного стержня, у которого r0 ≠ 0 , это уравнение применять нельзя. По этой причине для описания равновесия такого стержня в смежном состоянии необходимо использовать криволинейную систему координат. В дальнейшем будут рассмотрены устойчивость кольца и круговой арки. Поэтому запишем дифференциальное уравнение изгиба кривого стержня в полярной системе координат (рис. 2.74). Пусть r0 — радиус, по которому очерчен контур кривого стержня. На этом контуре до приложения внешней нагрузки зафиксируем произвольную точку A. После нагружения стержня внешней нагрузкой в результате действия изгибающего момента M точка A переместится в положение A1. Это перемещение в радиальном направлении обозначим буквой w, в угловом — буквой θ. В этом случае изменение радиуса кривизны стержня можно записать в виде:

где w > 0, если радиальное смещение направлено к центру окружности; М > 0, если момент уменьшает кривизну стержня.

2.6.1. Устойчивость кольца, сжатого гидростатическим давлением

На практике эта задача встречается, например, при расчете тоннельной обделки, помещенной в водонасыщенные грунты, для которых коэффициент постели настолько мал, что им можно пренебречь. Эта конструкция со стороны грунта нагружена радиальным давлением интенсивностью q, в результате действия которой кольцо может сплющиться, как это показано на рис. 2.75.

Рис. 2.75. Форма потери устойчивости кольца, нагруженного гидростатическим давлением

94

Для решения задачи рассмотрим половину кольца, выделенного диаметральным сечением, как показано на рис. 2.76. Так как полученная схема — симметричная, то в этом сечении будут действовать только симметричные силовые факторы N и М0. Поперечная сила Q0 как кососимметричный фактор в этом случае равна нулю. Определим значение продольной силы N. Для этого выделим из кольца произвольную дугу (рис. 2.77) и проведем две горизонтальные линии, отстоящие друг от друга на расстояние dy. Эти линии отсекают на рассматриваемой дуге два отрезка длиною

Рис. 2.76. Расчетная схема кольца в возмущенном состоянии

Рис. 2.77. Положение равнодействующей от гидростатического давления, действующей на части кольца

на которые действуют силы qdS . Вертикальная составляющая этой силы равна:

qdS cosα = qdx ,

горизонтальная составляющая равна qdS sinα = qdy .

Равнодействующую всех вертикальных сил записывается в виде интеграла:

00

апоскольку задача симметричная, то равнодействующая приложена в середине хорды. Горизонтальная равнодействующая равна нулю, так как отрезки dy слева и справа одинаковы.

Возвращаясь к рис. 2.76 и рассматривая половину кольца, находим величину продольной силы: 2N = q2r .

Или

N = qAO .

Определим теперь значение изгибающего момента в точке C.

Из треугольника OCD:

СО2 = CD2 + OD2 = CD2 + (AO − AD)2 =

= CD2 + AD2 − 2AO AD + AO2 = AC2 − 2AO AD + AO2. Откуда

СО2 − AO2 = AC2 − 2AO AD .

Тогда:

M (θ)= M0 − q (OC2 − AO2 ). 2

Принимая во внимание правило знаков, введенных для перемещений w, получим

95

OC = OB + BC = r − w, AO = r − w0.

С учетом этого обстоятельства искомый изгибающий момент равен выражению:

С учетом такого представления изгибающего момента дифференциальное уравнение (2.81)

D = − r2 [M0 − qrw0 ]. EJ

Тогда окончательно дифференциальное уравнение, описывающие возмущенное состояние кольца, приводится к выражению

Подставив в эти граничные условия решение (2.85), получаем систему линейных однородных

Ненулевое решение этой системы существует, если:

96

n0

Откуда, раскрыв определитель, получаем уравнение:

С учетом условия (2.83) последнее равенство приобретает вид:

1+ qr3 = (2m)2 .

EJ

Тогда минимально возможное положительное значение нагрузки q реализуется при m = 1:

кр r3

2.6.2. Устойчивость круговой двухшарнирной арки, нагруженной гидростатическим давлением

Рассмотрим устойчивость двухшарнирной арки, очерченной по окружности радиуса r и нагруженной гидростатическим давлением интенсивности q. Этот случай можно рассматривать как нагружение свода станции метро глубокого заложения, расположенной в обводненном грунте.

При росте величины внешней нагрузки возможна потеря устойчивости арки, но неясно по какой форме это будет происходить. Пока нагрузка, действующая на круговую арку, меньше критического значения, силовые факторы, действующие в любом ее поперечном сечении, равны:

Q = 0, M = 0, а N = qr.

Докажем последнее утверждение. Ранее (см. п. 2.6.1) исследована потеря устойчивости кольца, где показано, что равнодействующая распределенной нагрузки равна ql ( l — длина хорды). Рас-

сматривая половину кольца, можно убедиться, что продольная сила в любом его сечении равна qr. Если считать кольцо несжимаемым, то арка может быть представлена как часть кольца с углом раскрытия, равным 2α (рис. 2.78).

Рис. 2.78. Возможная интерпретация

Рис. 2.79. Возможная форма потери

нагружения арки как части кольца

устойчивости круговой двухшарнирной арки

Рассматривая далее смежные формы равновесия (пунктирная линия на рис. 2.79), отметим, что при малых перемещениях сила qds , действующая на бесконечно малую дугу арки ds, переместилась, но не повернулась. Следовательно, и ее равнодействующая, например, от сил слева (продольная сила N) не изменилась ни по величине, ни по направлению. То есть сила N будет приложена в той точке, где арка находилась в докритическом состоянии (рис. 2.80). На этом рисунке пунктирной линией изображено положение арки в исходном (невозмущенном) состоянии, сплошной — в возмущенном состоянии.

С учетом этих соображений изгибающий момент в возмущенном состоянии равен

M = Nw = qrw ,

97

С учетом этих соображений, рассматривая прямоугольный треугольник А1В1В2, запишем:

Таки образом, длина элементарной дуги в возмущенном состоянии составляет:

а длина всей арки в возмущенном состоянии равна интегралу от последнего соотношения и (в силу гипотезы о несжимаемости) должна быть равна длине арки в исходном состоянии:

98

скольку в этом случае не выполняется условие несжимаемости (2.89). На рис. 2.82 представлена форма потери устойчивости, имеющая одну точку перегиба. В этом случае граничные условия (2.88) перепишутся в виде:

При этом условие несжимаемости (2.89) будет выполняться автоматически. В результате реализации граничных условий получаем систему однородных линейных алгебраических уравнений:

А 1+ В 0 = 0

cos( α)+ sin( α)= 0.

А n B n

Из первого уравнения системы следует, что константа А = 0, тогда второе уравнение примет вид:

Возможны крайние случаи.

Первый случай. α = π2: арка опирается на хорду, равную диаметру. Тогда получаем равенство

99