715

В этой системе: δij — перемещение по i-му направлению от единичной силы, действующей по

j-му направлению; mi — величина i-й массы; vi — амплитудное перемещение i-й массы.

Система (1.36) состоит из n уравнений, в которое входят (n + 1) неизвестное: n перемещений vi плюс одно неизвестное λ. Решить эту систему можно по методу Крамера:

составленный из коэффициентов системы (1.36).

Так как система уравнений (1.36) представляет собой однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно амплитуд vi, то все вспомогательные определители i равны нулю. Следовательно, из (1.37) следует тривиальное решение: амплитудные значения перемещений масс vi равны нулю. Такое решение «утверждает»: в конструкции отсутствуют колебания. Этот результат не может быть удовлетворительным, поскольку реальная упругая система, будучи выведенной из состояния статического равновесия и предоставленной самой себе, будет совершать колебания с частотой ω. Остается единственный вариант решения (1.37): амплитуды vi (i = 1, 2, …, n) не будут равны нулю, если главный определитель системы линейных уравнений (1.36) будет равен нулю. В этом случае в решениях (1.37) получаем неопределенность типа «ноль делить на ноль». Но все же это — не нулевое решение:

Если развернуть определитель, то получается алгебраическое уравнение относительно λ, причем степень этого уравнения равна числу степеней свободы n:

где С1, С2, …, Сn — некоторые константы.

Уравнение (1.39) называют характеристическим или вековым. Его решение имеет n корней. Очевидно, чтобы получить вещественные значения собственных частот (см. выражение (1.35)), корни уравнения (1.39) должны быть вещественными и положительными. Расположим решения уравнения (1.39) в порядке убывания:

λ1 > λ2 > λ3 > … > λn.

Значение параметра λi напрямую связано с частотой свободных колебаний ωi (см выражение (1.35)). Если известны величины λi, то можно определить значения частот ωi:

i

λ i

Число собственных частот равно числу степеней свободы системы. Расположим их в порядке возрастания:

ω1 < ω2 < ω3 < ...< ωn.

Низшую частоту ω1 называют басовой. Высшие частоты — ω2, ω3, …, ωn — образуют обертона. Совокупность всех частот образует спектр собственных частот.

В систему линейных уравнений (1.36) в качестве неизвестных входят амплитудные значения прогибов vi (i = 1, 2, 3, …, n). Однако определить их значение невозможно. Дело в том, что равенство нулю главного определителя (1.38) означает, что система (1.36) содержит линейно зависимое уравнение. Линейно независимыми является любые (n – 1) уравнений, в которые после определения параметра λ вхо-

20

дят n неизвестных перемещений vi. В этом случае для определения неизвестных перемещений vi поступают следующим образом:

1.Из системы уравнений (1.36) исключается одно уравнение.

2.Выбирается одно из найденных значений собственных частот ωk (k = 1, 2, ..., n), для которого известна величина λk. Это значение подставляется в оставшиеся (n – 1) уравнения системы (1.36).

3.Одному из значений vi(k) , например v1(k) , присваивается какое-либо числовое значение. Чаще

—это единица.

4.Получаем систему (n – 1) уравнений, в которую теперь входит (n – 1) неизвестных vi(k) (i = 2,

3, …, n). Эта система решается, и определяются значения прогибов. Тем самым определяется k-я форма колебания системы с частотой ωk.

5. Процедура повторяется для других значений ωk, и определяются новые прогибы для других форм колебаний.

Таким образом, для каждого значения собственной частоты ωk находится вектор перемещения

Vk, компонентами которого являются перемещения vi(k) :

.......................................................

Таким образом, для системы с n степенями свободы существует n форм колебаний. И по каждой форме система колеблется со своей частотой. Рассмотрим в качестве примера собственные колебания балки, на которые с равным промежутком установлены три одинаковые массы (рис. 1.26). При колебании балки с низшей частотой ω1 все три массы движутся вниз, а через половину периода — вверх. Вторая форма колебаний с частотой ω2 характерна тем, что средняя масса остается на месте, а две другие движутся в противоход: первая — вниз, третья — вверх. По третьей форме колебаний с частотой ω3 первая и третья массы движутся вниз, в то время как вторая — вверх.

Рис. 1.26. Формы колебаний системы, имеющей три степени свободы

Вообще говоря, если вывести систему из равновесия произвольным образом, то свободные колебания конструкции будут описываться как суперпозиция трех форм колебаний

y(x)= b1v1 sin(ω1t + ϕ01 )+ b2v2 sin(ω2t + ϕ02 )+ b3v3 sin(ω3t + ϕ03 ),

где b1, b2, b3 — масштабные коэффициенты, которые определяют удельный вес каждой формы колебаний. При этом колебания уже не будут происходить по типу стоячей волны. Чтобы реализовать свободные колебания с частотой ωk, необходимо массам первоначально придать перемещения по k-й форме.

Обычно, в реальных условиях на массы в процессе колебаний действуют силы сопротивления Ri (t)= βy&i (t). Поэтому с течением времени колебания будут затухать. Заметим, чем выше частота сво-

21

бодных колебаний, тем с большей скоростью движутся массы. Поэтому сначала затухают высшие частоты. Последним затухает бас.

1.4.2. Ортогональность собственных форм колебаний

Следовательно, перемещения vi(k) и vi( j) не могут быть произвольными. К примеру, не существуют две различные формы колебаний, у каждой из которых все массы одновременно располагаются по одну сторону от положения статического равновесия (рис. 1.28).

Рис. 1.28. Невозможная комбинация форм свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы

1.4.3. Вынужденные колебания системы с конечным числом степеней свободы

Рассмотрим систему, имеющую n степеней свободы. Пусть на эту систему действует k возмущающих сил Pi(t), меняющихся по гармоническому закону (рис. 1.29). Примем следующие допущения.

Рис. 1.29. Заданная схема конструкции, имеющей n степеней свободы, нагруженной системой возмущающих сил

1. Все возмущающие силы меняются синхронно и синфазно. Первое утверждение означает, что все эти силы меняются с одной частотой θ. Второе означает, что амплитудного значения они достигают в один момент времени:

2. Частота возмущающей силы не совпадает ни с одной собственной частотой системы:

22

θ≠ ωi ; i = 1, 2, ..., n .

3.Силы трения Ri(t) достаточно малы, чтобы ими пренебречь. Однако, после того как возмущающие силы Pi(t) будут включены, за счет действия сил трения свободные колебания системы гасятся. И по прошествию некоторого (короткого) промежутка времени колебания балки устанавливаются и будут синхронны и синфазны по отношению к возмущающим нагрузкам.

Если бы частота возмущающей силы была бы небольшой, массы двигались медленно, ускорения и силы инерции по сравнению с амплитудными значениями возмущающих сил были бы пренебрежимо малыми, то поставленную задачу по расчету этой системы можно было свести к статическому расчету конструкции, загруженной только амплитудными значениями возмущающих сил и весами масс. В противном случае ускоренные движения масс приводят к возникновению сил инерции, которые будут дополнительно загружать конструкцию. Наша задача: определить значения сил инерции. Рассмотрим перемещение i-й массы (рис. 1.30). Для этого воспользуемся приемом, изложенным в п. 1.4.1, и представим это перемещение как сумму перемещений от всех сил инерции и возмущающих сил, действующих на конструкцию:

yi (t)= δi1I1(t)+ δi2I2 (t)+ ...+ δii Ii (t)+ ...δin In (t)+ iP (t). (1.45)

Рис. 1.30. Расчетная схема конструкции, имеющей n степеней свободы, нагруженной системой возмущающих сил и силами инерции

В последнем слагаемом iР(t) заключено действие всех возмущающих сил, имеющих вид (1.43). Следует учесть, что, суммируя перемещения от k возмущающих сил, множитель sin(θt) можно вынести за скобки, и тогда в скобках останется сумма прогибов по i-му направлению от действия амплитудных значений всех возмущающих сил: iР:

iP (t)= iP sin(θt).

Сила инерции i-й массы, колеблющейся с частотой θ, может быть записана в виде:

Записав последнее уравнение для всех степеней свободы, получим систему линейных алгебраических уравнений

23

содержащую n неизвестных амплитудных перемещений vi. Решив эту систему, например, используя метод Крамера (см. соотношения (1.37)), можно определить значения vi, а значит и величины сил инерции, максимальные значения которых достигают при амплитудном значении прогибов:

Напомним, что силы инерции всегда направлены в сторону, противоположную от положения статического равновесия.

Рассмотрим частный случай: n = 1. Тогда система (1.47) сводится к равенству:

(δ11m1 − λθ )v1 + θ12P = 0.

Ранее было показано (1.6), что δ11m1 =1ω2 . Тогда с учетом равенства (1.46) получим

Отсюда получаем выражение амплитуды колебаний:

Последнее соотношение совпадает с равенством (1.26), полученным ранее для случая вынужденных колебаний систем с одной степенью свободы при отсутствии сил трения.

1.4.4. Резонансы в системах с конечным числом степеней свободы

Решение системы линейных уравнений (1.47) с использованием метода Крамера можно записать в виде

дополнительный (вспомогательный) определитель, получаемый из главного заменой столбца коэффициентов при vi на столбец правой части системы уравнений (1.47).

Отметим, что амплитуда колебаний, занимая диапазон значений от нуля до бесконечности (0 < vi < ∞) — вещественное число. Заметим далее, что если в главном определителе круговую

частоту возмущающей силы θ заменить значением одной из собственных частот системы ωi (см. равенства (1.35) и (1.38)), то этот определитель совпадет с тем, который приравнивается нулю, чтобы определить величину частот свободных колебаний. Это значит, что если частота возмущающей силы совпадет с одной из собственных частот (θ = ωi), то главный определитель системы (θ) будет равен нулю. И как следствие этого амплитудные значения прогибов, а значит, и центробежные силы должны достигать бесконечных значений. Наступает явление резонанса. А поскольку система, имеющая n степеней свободы, имеет n собственных частот, такая система имеет

24

n резонансных состояний (рис. 1.30). Резонансные колебания системы с частотой (θ = ωi) будут осуществляться по той форме колебаний, которая соответствует собственной частоте ωi.

Рис. 1.30. Изменение амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от частоты возмущающей силы

При учете влияния сил вязкого трения, следует иметь в виду, что амплитудное значение прогибов по первой форме (θ = ω1) в абсолютном значении больше, чем те же прогибы по второй (θ = ω2) форме, которая, в свою очередь, больше прогибов по третьей (θ = = ω3) и т.д. формам. Это объясняется тем обстоятельством, что, с одной стороны, колебания по выс-

шим формам происходят с большим числом точек перегиба (см. рис. 1.26). Так изогнуть систему сложнее: она становится более жесткой. С другой стороны, колебания при втором, третьем и т.д. резонансах происходят с большей частотой, а, значит, и с большими скоростями движения масс. Следовательно, в этом случае силы вязкого трения больше: Ri (t)= mi y&i (t). Поэтому, с точки зрения прочно-

сти системы, резонанс по первой форме колебаний (θ = ω1) наиболее опасен, поскольку:

– во-первых, он наступает раньше других (при меньшем значении частоты возмущающей силы

θ);

– во-вторых, амплитудные значения прогибов (а значит, и сил инерции) при первом резонансе значительно больше, чем при втором, третьем и т.д.

Наступление явления резонанса характеризуется, прежде всего, резким возрастанием амплитудных значений перемещений масс vi. Это, в свою очередь, приводит к появлению значительных по величине сил инерции (см. равенство (1.48)), которые могут быть причиной разрушения конструкции. Представим, что на уже существующую конструкцию установлено устройство, при включении которого возникают значительные вибрации, которые явно указывают, что колебания сооружения происходит в резонансной зоне. Возникает необходимость простыми инженерными методами ликвидировать опасную ситуацию. В этой связи можно дать несколько общих рекомендаций.

1. Наиболее опасным является резонанс, при котором частота возмущающей силы совпадает с первой собственной частотой: θ ≈ ω1 . Следовательно, следует изменить характеристики конструкции таким образом, чтобы увеличить частоту свободных колебаний: ω1 > θ . Наиболее простым способом этого можно добиться, увеличив изгибную жесткость сооружения. Для этого можно просто приварить

ккаким-либо его элементам стальные листы.

2.Иногда достаточно передвинуть агрегат — источник вибрации, установленный на сооружение ближе к его опорным устройствам. В этом случае частота свободных колебаний также увеличивается, и резонансная зона смещается в сторону бо´льших частот.

3.Если по каким-либо причинам невозможно реализовать первые два пункта, можно искусственно увеличить колеблющуюся массу, добавив к ней балласт — некий груз. Недостаток этого метода заключается в том, что в этом случае частота свободных колебаний сооружения уменьшается, а резонансная зона смещается в сторону меньших частот. Эксплуатировать конструкцию в этом случае приходится в зарезонансной зоне. Чтобы туда попасть, следует очень быстро разгонять или тормозить двигатель, чтобы время нахождения сооружения в зоне резонанса было минимальным.

1.4.5. Антирезонанс

Невозможно представить, чтобы при статическом действии нагрузки, приложенной к упруго закрепленному грузу (рис. 1.31, а), он оставался бы на месте. Конечно, это также невозможно и в случае более сложной системы (рис. 1.31, б). Совершенно по-другому обстоит дело в динамических задачах. Если гармонически меняющаяся возмущающая сила P(t)= P0 sinθt приложена,

25

например, к массе m2, то при некоторых условиях точка приложения силы останется все время неподвижной. Правда, это возможно, если степеней свободы системы больше одной. Это явление иногда используется в практических целях.

Рис. 1.31. Консольная балка, имеющая одну (а) и две (б) степени свободы, нагруженная возмущающей силой

Разберем конкретный пример. Пусть имеется консольно защемленная упругая балка, имеющая жесткость на изгиб — EJ. На конце консоли установлена масса m (рис. 1.32, а). Практически этой массой может быть станок, имеющий электродвигатель с частотой вращения θ, при включении которого возникает возмущающая сила P(t)= P0 sinθt . Эта сила, безусловно, вызывает вибрацию массы, кото-

рую теоретически можно уменьшить до нуля, если устремить θ к бесконечности (см. п. 1.3.1 и равенство (1.26)).

Рис. 1.32. Расчетные схемы балок, имеющих одну (а) и две (б) степени свободы, нагруженных возмущающей силой

Возможен другой вариант. Установим на консоль дополнительную массу m2 (рис. 1.32, б). Для простоты примем m2 = m. Отметим, что это требование необязательно: чаще m2 << m. Получили систему с двумя степенями свободы, для которой система линейных уравнений (1.47) приобретает вид

Коэффициенты, входящие в эти уравнения, определяются по процедуре, известной из курса классической строительной механики (как это сделано в третьем разделе настоящего пособия в

Найдем теперь значение частоты возмущающей силы, при которой амплитуда колебания первой массы будет равной нулю. Для этого достаточно приравнять вспомогательный определитель

V1 нулю:

26

После преобразований, с учетом всех обозначений, получаем искомое значение частоты возмущающей силы

Состояние системы, когда амплитуда колебаний одной из масс равна нулю, в некоторых источниках называют антирезонансом. Отметим при этом, что амплитуда колебания второй массы не равна нулю. Возможность антирезонанса практически используется при устройстве динамических гасителей колебаний.

Пусть, например, имеется одномассовая система, к которой приложена гармоническая возмущающая сила. В этой конструкции колебания массы неизбежны при любых параметрах системы. Однако если ввести в конструкцию дополнительную массу, то в полученной системе с двумя степенями свободы колебания основного груза полностью исчезнут при надлежащем выборе введенной массы и жесткостных характеристик его крепления. Эта вторая масса играет роль виброгасителя. При его надлежащей настройке, когда исчезают колебания основной массы, дополнительный груз, как правило, вибрирует очень сильно.

Серьезным недостатком использования виброгасителя в реальных конструкциях является то обстоятельство, что он способен гасить колебания строго фиксированной частоты, на которую рассчитан. Диапазон эффективной работы виброгасителя чрезвычайно мал. Незначительное изменение частоты возмущающей силы (изменение напряжения электрической сети) может привести к тому, что условия работы основной системы не улучшатся, а ухудшатся. Если ввести в систему гасителя вязкое сопротивление, то можно несколько расширить диапазон частот, внутри которого происходит интенсивное гашение колебаний. Поэтому когда в колеблющуюся систему вводят гаситель, он обычно снабжается демпфирующим элементом.

1.5. Колебания систем с бесконечным числом степеней свободы

К таким системам относятся системы, лишенные сосредоточенных масс, или собственная масса которых соизмерима с массами грузов, установленных на этих конструкциях. Рассмотрим тяжелую шарнирно опертую балку (рис. 1.33). По длине балки масса распределена непрерывно по произвольному закону:

где ρ — плотность материала балки; А(х) — площадь поперечного сечения балки в сечении x.

В процессе изгибных колебаний на балку действует сила инерции, распределенная по всей ее длине (рис. 1.33). Интенсивность этой нагрузки, зависящая как от координаты x, так и от времени t, может быть представлена в виде:

27

Рис. 1.33. Тяжелая шарнирно опертая балка, испытывающая свободные колебания

Из курса сопротивления материалов известно дифференциальное соотношение, связывающее изгибающий момент в произвольном сечении балки с интенсивностью распределенной нагрузки:

Известна также связь между прогибом в произвольном сечении балки и изгибающим моментом, действующем в том же сечении:

С учетом условий (1.51) и (1.53), соотношение (1.52) может быть записано в виде:

Предположим, что свободные колебания рассматриваемой балки происходят по типу стоячей волны. В этом случае функция прогибов может быть представлена в виде:

где ω — некоторая константа, имеющая смысл круговой частоты свободных колебаний, подлежащая определению.

После подстановки представления (1.55) в соотношение (1.54), получаем обыкновенное дифференциальное уравнение:

Если рассматриваемая балка имеет постоянное поперечное сечение, то равенство (1.56) трансформируется к виду:

Уравнение (1.57) относится к классу однородных линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка с постоянными коэффициентами. Его решение существенно зависит от граничных условий. В частности, если рассматривается балка, закрепленная по концам на двух шарнирных опорах, то в концевых сечениях балки прогибы и изгибающие моменты равны нулю. Следовательно, граничные условия могут быть записаны в виде:

Общее решение дифференциального уравнения (1.57), удовлетворяющее граничным условиям (1.58), может быть представлено в виде:

28

Таким образом, система с непрерывным распределением массы имеет бесконечное количество собственных частот и, следовательно, форм свободных колебаний. Спектр собственных частот, как это следует из равенства (1.60), дискретный:

........................

На рис. 1.34 представлены первые три формы свободных колебаний, соответствующие первым трем частотам свободных колебаний, рассчитанным по формулам (1.61)–(1.62).

Рис. 1.34. Первые три формы свободных колебаний шарнирно опертой балки с равномерно распределенной массой

1.6. Приближенные методы определения частот свободных колебаний

Частоты свободных колебаний ωi находят из решения векового (частотного) уравнения n-го порядка (1.39). В общем случае, если система обладает достаточно большим числом степеней свободы (n > 3), нахождение корней этого уравнения превращается в сложную проблему. Не говоря о том, что для составления векового уравнения в этом случае необходимо раскрывать определители высоких порядков, что также имеет определенные вычислительные проблемы.

Поэтому для решения некоторых инженерных задач были разработаны приближенные методы определения собственных частот. Платой за простоту вычислений является погрешность в определении частоты свободных колебаний ωi. Часто необходимо знать не весь спектр собственных частот, а лишь низшую частоту ω1 или же диапазон частот: значения низшей и высшей частот. В этом разделе будут рассмотрены метод Рэлея и метод переноса масс, позволяющие определять приближенные значения собственных частот достаточно просто и с необходимой инженерной точностью.

1.6.1. Метод Рэлея

Метод позволяет определять частоты не только в случае систем с конечным, но и с бесконечным числом степеней свободы. Метод прост, но чтобы им пользоваться, необходимо уметь заранее правильно предсказать ту форму свободных колебаний, частоту которой требуется определить. Проще всего предсказать форму колебаний, соответствующую низшей частоте ω1.

Метод Рэлея применим только для консервативных систем. В таких системах отсутствует потеря или подкачка извне энергии, то есть выполняется закон сохранения энергии. Вывод формулы Рэлея покажем на простом примере. Рассматривается тяжелая шарнирно опертая балка длиной l, на которой установлено n сосредоточенных масс (рис. 1.35). В процессе колебаний балки, с одной стороны, каждая ее частица обладает кинетической энергией, с другой стороны, эта балка изгибается и в ней запасается упругая энергия деформирования. В промежуточном положении балки ее полную энергию П(t) можно рассматривать как сумму кинетической энергии масс К(t) и потенциальной энергии деформировании системы U(t). Так как система является консервативной, то полная энергия системы не изменяется:

29