715

D ≠ 0 .

При этом если все свободные члены СЛАУ равны нулю (однородная система уравнений), то система (П1) имеет нулевое решение, т.е. xi = 0, i = 1 2, ..., n . Это следует из формулы Крамера, и свой-

ства 1 определителей. Такое решение называют тривиальным.

Если главный определитель равен нулю и хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система не имеет решения. Действительно, в этом случае вспомогательные определители ненулевые, и в формуле Крамера (см. формулу (П2)) получаем деление на ноль. Равенство нулю главного определителя — признак того, что система уравнений линейно зависима, т.е. существуют некоторые константы kj, такие, что при всех i выполняется условие:

k1a1i + k2a2i + ...+ kn−1an−1i + knani = 0 .

Если нулю равны и главный определитель, и все свободные члены, то система имеет бесконечное множество решений. Действительно, при этом вспомогательные определители также обраща-

одно из решений однородной системы уравнений очевидно — все неизвестные равны нулю (тривиальное решение). Для получения ненулевого (нетривиального) решения обычно задаются произвольным значением одного из неизвестных и получают неоднородную систему n линейно зависимых уравнений, в которой (n – 1) неизвестное. Затем отбрасывают одно из уравнений, и получают систему линейно независимых уравнений порядка (n – 1). Далее вновь образованная система уравнений решается обычным порядком.

Пример 2.

Рассмотрим однородную систему уравнений:

Запишем главный определитель системы:

−1 −18 0

=5 10 0 + 3 (− 4) (−18)+ 2 (− 2) (−1)−

−(− 4) 10(−1)− 3 2 0 − 5(− 2)(−18)= 0 + 216 + 4 − 40 −180 = 0.

Этот определитель системы равен нулю, поэтому система имеет бесконечно много решений и ее уравнения линейно зависимы. Действительно, если второе уравнение умножить на (− 2) и сложить с первым, то получим третье уравнение исходной системы.

Отбросим второе уравнение. Положим x1 = 1. Получим неоднородную СЛАУ:

Найдем ее решение. Вычислим главный определитель:

Находим неизвестные:

160

Окончательно получаем, что исходная система удовлетворяется при x1 =1, x2 = −0,0556, x3 =1,222 .

Нетрудно убедиться, что, умножив это решение на 2, получим x1 = 2, x2 = −0,1112, x3 = 2,444 ,

которые тоже удовлетворяют исходной системе.

П1.2. Собственные числа и собственные вектора

Задачи динамического расчета и расчета устойчивости сооружений часто сводятся к анализу

В этой системе неизвестными являются значения xi и λ, причем нулевое (тривиальное) решение обычно интереса не представляет из физического смысла задачи. Ненулевое решение возможно тогда, когда главный определитель системы равен нулю:

Раскрывая этот определитель, получаем алгебраическое уравнение степени n относительно параметра λ:

где pi — известные коэффициенты.

Уравнение вида (П9) называют вековым. Значения λi, удовлетворяющие этому уравнению, называются собственными числами системы (П8). Очевидно, что их количество равно n. Каждому

значению λi соответствует решение системы (П8) x(ji) . Решения системы (П8) называют собствен-

ными векторами. Очевидно, что каждому собственному числу соответствует свой собственный вектор.

Свойство ортогональности собственных векторов заключается в том, что

∑xi(k) xi(m) = 0 ,

где k, m — индексы собственных векторов.

Это соотношение может использоваться для оценки погрешности при вычислении собственных чисел и собственных векторов.

Пример 3.

Найти ненулевые решения системы:

(8 − λ)x1 + 2x2 = 02x1 + (5 − λ)x2 = 0

Приравняем к нулю главный определитель:

= λ2 −13λ + 36 = 0.

161

Вычислим корни этого уравнения:

λ1 2 = 13 ± 132 − 4 1 36 = 13 ± 5 ; 2 2

λ1 = 9; λ2 = 4 .

Собственные числа найдены. Найдем теперь собственные векторы. При λ = λ1 получаем систему уравнений

Это система линейно зависимых уравнений. Действительно, умножив первое уравнение на

(− 2), получим второе. Положим x1(1) = 2 и отбросим второе уравнение. Тогда первое уравнение приобретает вид:

− 2 + 2x2(1) = 0 ,

откуда найдем x2(1) =1.

Аналогично для λ = λ2 получаем систему уравнений

Положим x1(2) =1 и отбросим первое уравнение. Получим:

2 + x2(2) = 0 ,

откуда найдем x2(2) = −2 .

Проверим ортогональность найденных собственных векторов:

x1(1) x1(2) + x2(1) x2(2) = 2 1+1 (− 2)= 0 .

Окончательно имеем собственные числа и соответствующие им собственные вектора:

λ = 4 , x1(1) = 2 , x2(1) =1

и

λ = 9 , x1(2) =1, x2(2) = −2 .

Основная трудность нахождения собственных чисел связана с раскрытием главного определителя при большом порядке системы уравнений и решением полученного алгебраического уравнения. Как известно, корни уравнений не выше 4-й степени можно выразить через коэффициенты этого уравнения, а уравнения высших степеней решаются численно. Даже система 5-го порядка оказывается практически непосильной для ручного расчета и требует применения вычислительной техники.

П1.3. Метод Гаусса

Рассмотренный выше метод Крамера решения системы уравнений имеет существенный недостаток — необходимо вычислить n + 1 определитель порядка n, что требует большого количества арифметических операций. Более простым в применении является метод Гаусса. Он заключается в том, что исходная система уравнений преобразуется в равносильную систему n уравнений, в каждом из которых одно неизвестное. Преобразование производится за n шагов. Рассмотрим использование этого метода на конкретном примере.

Дана система уравнений

5x1 + 2x2 − 5x3 = 0

2x1 − 5x2 + x3 = 10

− x1 + 2x2 = 0.

Шаг 1. Разделим 1-е уравнение на 5. Получим

162

x1 + 0 4x2 − x3 = 0 .

Умножим полученное уравнение на (− 2) и сложим со вторым, а также сложим с третьим. Получим систему

Шаг 2. Разделим 2-е уравнение на (− 5 8). Получим

x2 − 0,5172x3 = −1,724 .

Умножим полученное уравнение на (− 0,4) и сложим с первым, а также умножим на (− 2 4) и сложим с третьим. Получим систему

Шаг 3. Разделим 3-е уравнение на 0,241. Получим x3 =17,17 .

Умножим полученное уравнение на 0,793 и сложим с первым, а также умножим на 0,5172 и сложим со вторым. Получим систему

x1 = 14,31x2 = 7,156x3 = 17,17.

Это и есть решение системы:

x1 = 14,31; x1 = 7,156; x1 = 17,17.

П2. Понятие о комплексных числах

Мнимой единицей называется число i = −1 . Комплексным числом называется число вида

z = a + bi ,

где a и b — действительные числа.

Константа a называется действительной частью комплексного числа, b — мнимой частью комплексного числа. Если b = 0, то число является действительным, если a = 0, то число является мнимым.

Функции Re(z) = a и Im(z) = b обозначают действительную и мнимую части комплексного числа соответственно.

Два комплексных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i равны тогда, когда равны их действительные и

мнимые части: a1 = a2 и b1 = b2 . Сопряженные числа

Два комплексных числа z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i являются сопряженными, если a1 = a2 и b1 = −b2 . Для обозначения комплексно-сопряженного числа над ним ставят черту: z2 = z1 . Это

означает: число z1 является комплексно-сопряженным по отношению к числу z2. Сложение комплексных чисел

Число z = a + bi называется суммой чисел z1 = a1 + b1i и z2 = a2 + b2i , если a = a1 + a2 и b = b1 + b2 .

Пример:

z1 =1+ 2i , z2 = −5 − 3i ,

z1 + z2 = (1− 5)+ (2 − 3)i = −4 −1i .

163

Сумма сопряженных чисел есть число действительное. Разность сопряженных чисел есть число

Произведение сопряженных чисел есть число действительное. Деление комплексных чисел

Деление комплексных чисел осуществляется умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное знаменателю. При этом в знаменателе имеем действительное число.

Справедливость этой формулы можно видеть, если заменить показательную и тригонометрические функции их разложением в ряд Маклорена.

Умножение и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме. Формула Муавра.

При перемножении комплексных чисел в тригонометрической форме достаточно перемножить их модули и сложить аргументы, т.е.

r1(cosϕ1 + isinϕ1)r2(cosϕ2 + isinϕ2) = = r1r2[cos(ϕ1 + ϕ2) + isin(ϕ1 + ϕ2 )],

(r(cos ϕ + isin ϕ))n = rn (cos nϕ + isin nϕ) .

Формула справедлива и при дробном значении n (корень степени n). Корень степени n из любого числа (в том числе и действительного) имеет n значений. Вычислим, например, 416 ( n = 14 ). Здесь r =16, ϕ = 2πk (k — любое целое число).

164

Очевидно, что только ограниченный набор значений k дает различные значения корней. В данном случае различные значения дает величина k равная 0, 1, 2 и 3. Значение k = 4 дает то же число, что и k = 0 ввиду периодичности тригонометрических функций. Таким образом, имеем 4 значения:

Вычислим так же 3− 27 ( n = 13 , r = 27 , ϕ = π + 2πk ). Здесь k может принимать значения 0, 1 и

2.

Для этого выражения имеем три значения:

П3. Гиперболические функции

Гиперболическим косинусом называется функция

ch(x) = ex + e−x , 2

гиперболическим синусом — функция

sh(x) = ex − e−x . 2

Гиперболический косинус — четная функция, гиперболический синус — нечетная. Для них справедливы следующие соотношения:

П4. Линейное дифференциальное уравнение

П4.1. Линейное однородное дифференциальное уравнение

Уравнение вида

165

называется линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами. Его решением является функция

где Ci — постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий; Ki — корни характеристического полинома:

Проверим, что функция

f (x) = CeKi x

является решением уравнения. Действительно, производные функции равны

Подставим их в исходное уравнение:

CKineKi x + A1CKin−1eKi x + ...+ An−1CKieKi x + AnCeKi x = 0 .

Если разделить теперь полученное равенство на CeKi x , то получим характеристическое уравнение (П13).

Поскольку алгебраическое уравнение степени n имеет n корней (среди них могут быть комплексные и кратные), то существует n различных решений дифференциального уравнения, сумма которых тоже является решением. Последнее утверждение следует из правила дифференцирования суммы функций.

В общем случае, Ci и Ki — комплексные величины. Однако в задачах расчета сооружений исходные данные и результаты расчета (размеры, характеристики сечений элементов конструкции, внешняя нагрузка, внутренние усилия, перемещения и т.д.) суть величины действительные, поэтому, введением надлежащей замены постоянных интегрирования, решение уравнения можно записать, используя только действительные числа.

Постоянные интегрирования определяются из граничных условий. Очевидно, что количество граничных условий должно быть равно порядку уравнения.

Пример 4.

Найти решение уравнения

d 2 f + π2 f = 0 , dx2

удовлетворяющее граничным условиям f (0) = 2, f (0,5) = 4. Характеристическое уравнение имеет вид:

K 2 + π2 = 0 .

Это уравнение имеет мнимые корни K = ±iπ . Искомая функция может быть записана в виде

f (x) = C1eiπx + C2e−iπx . Воспользуемся формулой Эйлера (П10):

f (x) = C1 cos(πx) + iC1 sin(πx) + C2 cos(πx) − iC2 sin(πx) = = (C1 + C2)cos(πx) + i(C1 − C2)sin(πx).

Очевидно, что постоянные C1 и C2 являются комплексно-сопряженными числами. Действительно, если результат должен быть действительным числом, то сумма постоянных C1 и C2 должна быть числом действительным, а их разность — мнимым. Это возможно только тогда, когда C1 и C2 комплексносопряженные. Введем замену

B1 = C1 + C2 , B2 = i(C1 − C2 ) . Тогда решение может быть представлено в виде:

f (x) = B1 cos(πx) + B2 sin(πx) .

Подставим граничные условия:

166

или

B1 1+ B2 0 = 2

B1 0 + B2 1 = 4.

Решив эту систему, получаем значения постоянных интегрирования

B1 = 2, B2 = 4,

тогда окончательно решение исходного дифференциального уравнения имеет вид: f (x) = 2cos(πx) + 4sin(πx) .

Пример 5.

Найти решение уравнения:

d 4 f − a4 f = 0 , dx4

удовлетворяющее граничным условиям

Граничные условия такого типа называют однородными.

Характеристическое уравнение исходного дифференциального уравнения имеет вид:

K 4 − a4 = 0.

Это уравнение имеет два действительных и два мнимых корня: K1 = a , K2 = −a , K3 = ai ,

K4 = −ai .

Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения может быть записано в виде

A4 = (C3 − C4 )i , это решение может быть переписано в виде: f (x) = A1 ch(ax) + A2 sh(ax) + A3 cos(ax) + A4 sin(ax) .

Производная общего решения уравнения

Подставим граничные условия:

A1ch(0) + A2 sh(0) + A3 cos(0) + A4 sin(0) = 0aA1 sh(0) + aA2 ch(0) − aA3 sin(0) + aA4 cos(0) = 0A1 ch(2a) + A2 sh(2a) + A3 cos(2a) + A4 sin(2a) = 0

aA1 sh(2a) + aA2 ch(2a) − aA3 sin(2a) + aA4 cos(2a) = 0.

Получаем систему однородных линейных уравнений. Из первого и второго уравнений следует, что A1 = −A3 , и A2 = −A4 . Тогда последние два уравнения преобразуются к виду

A3(cos(2a) − ch(2a))+ A4(sin(2a) − sh(2a))= 0A3(− sin(2a) − sh(2a))+ A4(cos(2a) − ch(2a))= 0.

Очевидно, что A3 = 0 и A4 = 0 удовлетворяют граничным условиям. Проверим наличие либо отсутствие других решений. Для этого вычислим главный определитель

167

−(sin(2a) − sh(2a))(− sin(2a) − sh(2a))=

=cos2 (2a) − 2ch(2a)cos(2a) + ch2(2a) +

+sin2 (2a) − sh2 (2a) = 2 − 2ch(2a)cos(2a).

Ненулевые решения системы возможны, если этот определитель равен нулю, т.е. ch(2a)cos(2a) =1.

Получили трансцендентное уравнение. Его решение невозможно выразить через элементарные функции. Приведем первые 4 решения уравнения, найденные численно:

Этому уравнению удовлетворяют любые значения A3 и A4 . При a = 2,36

A3(cos(2 2,36) − ch(2 2,36))+ A4 (sin(2 2,36) − sh(2 2,36))=

= −56,08A3 − 57,08A4 = 0.

Пусть A3 = A. Тогда A4 = −0,982A и окончательно получим решение исходного уравнения

f(x) = −Ach(2,36x) + 0,982Ash(2,36x) +

+Acos(2,36x) − 0,982Asin(2,36x),

где A — любое число.

Аналогично можно найти постоянные интегрирования и для других значений a. Заметим, что при однородных граничных условиях постоянные интегрирования определяются с точностью до постоянного множителя.

П4.2. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение

Уравнение вида

d

+ An−1 dx f (x) + An f (x) = g(x)

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. Его решение записывается в виде суммы двух функций, одна из которых является общим решением однородного уравнения, а другая — частным решением неоднородного. Наиболее просто частное решение находится, если правая часть имеет специальный вид. Так, например, если правая часть уравнения (П14) имеет вид

где Rk (x) — многочлен степени k, то частное решение уравнения (П14) следует искать в виде

где Qk (x) — многочлен степени k с неопределенными коэффициентами. Показатель степени a равен нулю, если m не является корнем характеристического уравнения (П13). Если m является корнем (П13), то число a равно кратности этого корня.

Если правая часть имеет вид

g(x) = Rk (x)emx sin nx ,

либо

g(x) = Rk (x)emx cosnx ,

168

то частное решение следует искать в виде

f (x) = xaQk (x)emx sin nx + xaSk (x)emx cosnx ,

где Sk (x) — многочлен степени k с неопределенными коэффициентами. В этом случае с корнями (П13) сравнивается m ± in .

Для нахождения неизвестных многочленов Qk (x) и Sk (x) необходимо подставить функцию g(x) в исходное уравнение. При этом получается алгебраическое уравнение относительно коэффициентов этих многочленов. Решая это уравнение, находят неизвестные коэффициенты.

Пример 6. Дано уравнение

d 2 f + π2 f = 3cos(2πx) dx2

и граничные условия f (0) = –2, f (0,5) = 2.

Общее решение однородного уравнения нами уже найдено (см. пример 4) f1(x) = B1 cos(πx) + B2 sin(πx) .

Поскольку ± 2πi не является корнем характеристического уравнения, то a = 0 , и частное решение будем искать в виде

f2 (x) = B3 cos(2πx) + B4 sin(2πx) . Найдем вторую производную

иподставим в исходное уравнение:

−4π2B3 cos(2πx) + π2B3 cos(2πx) −

− 4π2B4 sin(2πx) + π2B4 sin(2πx) = 3cos(2πx),

или

(− 4π2B3 + π2B3 − 3)cos(2πx)+ (− 4π2B4 + π2B4 )sin(2πx)= 0 .

Поскольку это уравнение должно выполняться при любом значении аргумента, то следует приравнять к нулю выражения, стоящие в скобках:

−4π2B3 + π2B3 − 3 = 0 ,

−4π2B4 + π2B4 = 0 .

Отсюда находим

1

B3 = − π2 , B4 = 0 .

Таким образом, общее решение неоднородного уравнения получим в виде

1

f (x) = f1(x) + f2 (x) = B1 cos(πx) + B2 sin(πx) − π2 cos(2πx) .

Подставим граничные условия:

1

f (0) = B1 cos(0) + B2 sin(0) − π2 cos(0) = −2,

или

169