715

Таким образом, верхний пояс рассматриваемой фермы представляет собой стержень, который в возмущенном состоянии нагружен продольной распределенной нагрузкой g(х) и распределенной поперечной нагрузкой q(x) (рис. 2.109).

Задачу об устойчивости сжатого пояса открытого моста будем решать энергетическим методом (см. п. 2.2.2), смысл которого состоит в том, что в критическом состоянии изменение полной потенциальной энергии на возможных малых возмущениях системы равно нулю (см.

выражение (2.11)). Изменение упругой энергии деформирования системы складывается из двух слагаемых: энергия изгиба верхнего пояса и энергия деформирования упругого основания (см. п. 2.3 и формулы (2.16) и (2.17)).

При определении изменения потенциальной энергии необходимо учитывать, что сжимающая нагрузка приложена не на концах стержня, а непрерывно распределена вдоль пояса. По этой причине предварительно рассчитаем элементарную работу dП при взаимном сближении сечений пояса с координатами x и l − х (см. рис. 2.105), которую совершает сила (g(x) dx) на перемещении δ (см. соотношение (2.14)):

1l−x

δ= 2 ∫x (y′)2 dx .

Следовательно, с учетом равенства (2.103) изменение потенциальной энергии продольной нагрузки за счет сближения сечений x и l − х :

Тогда изменение потенциальной энергии продольной нагрузки, действующей на верхний пояс открытого моста, равно:

В итоге условие критического состояния (2.11), с учетом соотношений (2.16), (2.17), (2.104) и (2.105), приобретает вид:

В уравнении (2.106) кроме искомой силы Q неизвестна еще форма линии прогибов y(x), которой следует задаться. Отметим, что форма потери устойчивости в рассматриваемом случае будет более сложной, чем в ранее рассмотренных случаях (см. рис. 2.110).

111

Рис. 2.111. Расчетная схема стойки, эксцентрично нагруженной сжимающей силой

Тогда это уравнение можно переписать в виде:

получаем линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка: y′′ + n2 y = −n2e .

Его общий интеграл представляется как сумма общего решения однородного и частного реше-

Постоянные интегрирования определим из граничных условий:

х= 0: у(0) = 0,

х= l: у(l) = 0.

Откуда получаем систему линейных уравнений:

A 0 + B 1− e = 0

( )+ ( )− =

Asin nl Bcos nl e 0.

Заметим, что полученная система относится к классу неоднородных линейных уравнений. По этой причине (и в этом отличие от ранее рассмотренных идеальных случаев) эта система не имеет

Анализ решения (2.111) приводит к следующим выводам.

Во-первых. Если эксцентриситет не равен нулю, то при любом значении внешней нагрузки (параметра n см. равенство (2.109)) прогибы стойки (в отличие от идеального случая) не равны нулю.

что соответствует классическому решению Эйлера. Иными словами, когда сила, эксцентрично действующая на стержень, достигнет эйлеровой критической нагрузки, то прогибы этой стойки станут бесконечно большими.

Следовательно, идеализированная схема дает тот же результат, что и реальная схема. Отличие будет лишь в характере работы (изгиба) стержня. По этой причине для решения задачи устойчивости реального стержня правомочно рассматривать устойчивость идеализированной конструкции, в которой отсутствует эксцентриситет приложения внешней нагрузки, начальные прогибы и другие погрешности. На рис. 2.112 и 2.113 представлены расчетные схемы стоек, на которые действует нагрузка центрально и с некоторым эксцентриситетом, а на рис. 2.114 кривые прогибов, полученные для этих схем.

113

Рассмотрим равновесие узла D (см. рис. 2.115, б). В силу симметрии системы, продольные силы в стержнях фермы одинаковы. Запишем сумму проекций всех сил, действующих на узел, на вертикальную ось:

Определим теперь связь между деформацией стержней и перемещением . Отметим важное. Обычно при расчете конструкций используется линейная теория, которая утверждает, что внешние воздействия на конструкцию вызывают перемещения ее точек, которые малы по отношению к ее габаритным размерам. По этой причине изменения углов между элементами конструкции столь незначительны, что их обычно не учитывают, считая неизменными в процессе нагружения. В рассматриваемом случае эта гипотеза не может быть использована, поскольку при некоторых значениях угла α0 его изменение в процессе нагрузки не может быть настолько малым, что им можно

пренебречь. По этой причине нельзя использовать известный из курса сопротивления материалов прием определения удлинения стержня в процессе его растяжении или сжатии: из точки D опускают перпендикуляр на недеформированное положение стержня — отрезок АС (см. рис. 2.115, б).

Чтобы определить укорочение стержня фермы, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC (см. рис. 2.115, б). Здесь катет АВ = l , а гипотенуза AC есть длина стержня до нагружения. Тогда

Для дальнейшего анализа разложим синус и косинус угла α в степенной ряд:

sinα = α − α3 + α5 − ...

3! 5!

cosα = 1− α2 + α4 − ...

Известно, что абсолютное значение синуса и косинуса ограничено единицей. Удержим из их

разложения только те слагаемые, которые равны или больше α2 . Тогда в дальнейшем 2

2!

Конечно, при этом возникнет некоторая погрешность, значение которой можно оценить. Известно, что в сходящихся знакопеременных рядах сумма отброшенных слагаемых меньше первого

115

отброшенного члена. В рассматриваемом случае таковым является слагаемое α3 . Ограничим его 6

значением 0,01. Тогда:

разом, тригонометрические функции вычисляются с однопроцентной точностью, если выполняется неравенство:

f < 0,41. l

а равенство (2.114)

Ту же величину можно получить из соотношения (2.113) с учетом представления (2.115):

116

Из этого соотношения видно, что нулевому значению силы Р соответствуют три значения перемещения: 1 = 0 , 2 = f и 3 = 2 f . Первое значение соответствует недеформированному, а значит, ненагруженному состоянию конструкции. Второе — состоянию, когда при движении ферма проходит положение, при котором все три шарнира (опорные шарниры и шарнир D (см. рис. 2.115, б)) оказываются на одной прямой. Третье — состояние конструкции после потери устойчивости и снятия нагрузки.

Рис. 2.116. Диаграмма деформирования фермы Мизеса

На рис. 2.116 показана диаграмма деформирования фермы Мизеса. Ход диаграммы зависит от того, каким образом прикладывается нагрузка. Дело в том, что существует два способа нагружения сооружений. В одном случае системе задают перемещения. При этом в нагруженных элементах конструкции возникают усилия, соответствующие заданным перемещениям. Частным случаем такого воздействия является осадка опор. Такое нагружение называют жестким. Во втором случае задаются внешние силы. При этом система получает некоторые перемещения. Это воздействие можно создать, например, с помощью гирь. Такое нагружение называют мягким.

Поведение фермы Мизеса как раз и определяется способом приложения нагрузки. Если имеет место жесткое нагружение, то возникающая сила P сначала будет увеличиваться, потом, при некотором значении , она начнет уменьшаться, и при = f станет равной нулю. Последнее утверждение видно из суммы проекций сил на вертикальную ось (см. равенство (2.112)). При > f сила снова будет увеличиваться по величине, но изменит направление (будет отрицательной). Далее,

После этого, когда > 2 f , сила станет положительной и будет увеличиваться. Таким образом, состояние фермы последовательно пройдет по пути OABCED (см. рис. 2.116). При разгрузке, т.е. при уменьшении перемещения шарнира С до исходного состояния, пройдет обратный путь DECBAO.

Другая картина получится при мягком нагружении. В процессе увеличения силы P будет увеличиваться и перемещение . При некотором значении , когда будет достигнута точка А (см. рис. 2.116), сила должна уменьшаться, однако при мягком нагружении это невозможно. Поэтому система скачком перейдет в новое положение, из точки А в точку D, минуя B, C и E (рис. 2.116). Это и есть момент потери устойчивости. Действительно, в этом случае бесконечно малое приращение силы Р вызывает переход системы в качественно новое состояние. При разгрузке из точки D ферма перейдет в состояние, описываемое точкой E, и останется в этом положении. Для того чтобы вернуть конструкцию в исходное положение (точка О), необходимо не просто разгрузить ее, но и приложить отрицательную нагрузку (направленную вверх), способную задать перемещения, соответствующие точке С. При этом произойдет переход DECF (рис. 2.116). После этого ферма разгружается из точки F в начальное положение О.

В дальнейшем рассматривается только мягкое нагружение.

Найдем экстремумы функции (2.118), которые и определяют момент потери устойчивости фермы Мизеса. Для этого продифференцируем выражение (2.118) и приравняем эту производную нулю:

117

Подставим в выражение (2.118) первый и второй корень (2.119). Тогда критическая сила равна

Первое значение критической силы соответствует нагружению сооружения, при котором на рис. 2.116 его состояние описывается точкой А. Второе значение — случаю нагружения конструкции, в которой потеря устойчивости уже произошла, и ее нагружают в обратном направлении (точка С на рис. 2). Можно утверждать, что такое нагружение есть попытка «выправить» ферму, ранее потерявшую устойчивость.

Определим теперь положение системы после потери устойчивости. Для этого подставим в ра-

Решив это уравнение относительно y, найдем положение фермы после перехода из одного со-

Заметим, что любое алгебраическое уравнение axn + bxn−1 +...+ cx + d = 0

можно представить в виде

a(x − x1 )(x − x2 )...(x − xn )= 0 ,

где xi — корни этого уравнения.

Это означает, что если известен один корень уравнения, то, поделив исходное уравнение на (x − xi ) можно понизить его степень на единицу. При этом полином делится на двучлен без остат-

на рис. 2.116), а сейчас разыскивается величина перемещения после перехода в новое положение равновесия (точка D рис. 2.116), а в точке D сила также равна критической. Разложим уравнение

118

В этом уравнении либо первая скобка равна нулю, либо вторая. В первом случае получаем уже

Здесь интерес представляет последний корень. Он дает величину перемещения после потери устойчивости (точка D рис. 2.116). Корень y2 = y1 и поэтому интереса не представляет.

Рассмотрим пределы применимости изложенной теории.

Одно ограничение связано с тем, что при выводе всех соотношений предполагалось, что стрежни фермы работают линейно, а это означает, в том числе, что стержни не теряют устойчивости по Эйлеру (они всегда прямолинейны).

Найдем наибольшую продольную силу, возникающую в стержнях фермы. Продольная сила и удлинение связаны соотношением, известным из курса сопротивления материалов:

N = lEA .

l2l

инайдем максимальное значение продольной силы в зависимости от безразмерного параметра у (а

по сути — от перемещения ). Для этого возьмем производную от продольной силы и приравняем ее к нулю:

dN = EAf 2 (2 − 2y)= 0 .

dy 2l2

Отсюда следует, что продольная сила максимального значения достигнет при y =1, и она равна

Эта величина не должна превышать эйлеровой критической силы для стержня, т.е.

π2EJ > EAf 2 .

l2 2l2

Отсюда находим минимальный радиус инерции сечения, при котором продольная сила не превышает эйлерового значения:

Второе ограничение связано пределами применимости закона Гука. Это означает, что в процессе нагружения напряжения в стержнях фермы не должны превышать предела пропорциональности.

Отметим ряд особенностей потери устойчивости фермы Мизеса.

1.В отличие от потери устойчивости сжатого стержня, не возникает новых внутренних уси-

лий.

2.Отсутствует положение безразличного равновесия.

3.В момент потери устойчивости система не находится в состоянии равновесия — она движется с ускорением.

4.При снятии нагрузки система не возвращается в исходное состояние. Для возврата необходимо приложить такую же нагрузку, которая вызвала потерю устойчивости, но с обратным направлением (рис. 2.116).

119