715

70

Продолжение табл. 2.2

2.4.3. Метод перемещений при расчете рамных систем

Рассмотрим плоскую раму, нагруженную узловой нагрузкой, как это показано на рис. 2.32, а. Эта рама трижды кинематически неопределима. По методу перемещений для ее расчета необходимо наложить три дополнительные связи: две угловые и одну линейную (рис. 2.32, б).

Для исследования смежной формы равновесия дадим системе возможные перемещения (z1, z2, z3) по направлению наложенных связей (рис. 2.32, в). В результате этого в наложенных связях возникнут реакции R1Р, R2Р, R3Р. Как и в классическом методе перемещений, эти реакции могут быть выражены соотношениями:

R1P = r11(P)z1 + r12 (P)z2 + r13(P)z3,

R2P = r21(P)z1 + r22 (P)z2 + r23(P)z3,

R3P = r31(P)z1 + r32 (P)z2 + r33(P)z3,

где rij (P) — это реакция в i-й наложенной связи от единичного перемещения j-й связи с учетом влияния сжимающей силы.

71

Таким образом, найденное значение критической силы для исходной рамы располагается внутри ранее установленного диапазона: Ркр,min < Ркр < Ркр,max . При этом среднее значение

отличается от точной величины на 2,32 %.

2.5.Расчет прямолинейных стержней

2.5.1.Действие системы сил

Рассмотрим прямолинейный стержень постоянной жесткости и нагруженный двумя силами Р1 и Р2, как это показано на рис. 2.41. Задачу будем решать статическим методом. Рассмотрим возмущенное состояние стержня (рис. 2.42). Стержень имеет два участка. Для каждого участка запишем дифференциальное уравнение упругой линии.

M1 = P1(δ1 − y1 )+ P2 (δ2 − y1 ),

74

получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

y1′′+ n12 y1 = P1δ1 + P2δ2 ,

EJ

решение которого записывается в виде:

Второй участок (l1 ≤ х ≤ l). Выражение изгибающих моментов на этом участке может быть представлено в виде:

M2 = P2 (δ2 − y2 ).

Дифференциальное уравнение для этого участка сводится к виду

Решение последнего неоднородного дифференциального уравнения имеет вид:

В решения (2.38) и (2.40) входят шесть неизвестных (А1, А2, В1, В2, δ1, δ2), для определения которых запишем шесть граничных условий:

Из условия (2.42) следует, что В1 = 0, с учетом этого факта записаны уравнения (2.44)–(2.46). Заметим, что система уравнений (2.43), (2.45), (2.46) образует замкнутую систему линейных однородных уравнений, в которую входят три неизвестные: А1, А2, В2:

Ненулевое решение этой системы возможно, если ее главный определитель равен нулю:

75

После раскрытия определителя получаем одно уравнение критического состояния, в которое входят (см. равенства (2.37) и (2.47)) два неизвестных Р1 и Р2:

Обращаем внимание, что решить уравнение (2.47), если силы Р1 и Р2 не связаны друг с другом, невозможно.

Пример.

Рассмотрим частный случай. Пусть P1 = P2 = P, l1 = l 2 = l2 . С учетом этого

Окончательно значение критической силы равно:

2,065EJ

Pкр = l2 .

2.5.2. Метод Коробова

Увеличение количества сил на стержне значительно усложняет расчет. Каждая дополнительная сила, приложенная к стержню, изображенному на рис. (2.41), добавляет еще один участок, что приводит к добавлению еще трех неизвестных, для определения которых необходимо раскрывать определитель пятого (седьмого, девятого и т.д.) порядка. По этой причине актуальным является разработка метода расчета стержня, на котором располагается система из n сил (рис. 2.43). Пусть эти силы образуют однопараметрическую систему сил, для которой справедливы следующие равенства:

...................

Pn = αn P,

где α2, α3, …, αn — известные константы; Р — неизвестный параметр — сила, подлежащая определению.

Рассмотрим для начала стойку с постоянной жесткостью, которая нагружена первоначально силой Р1 (рис. 2.44), а затем силой Р* (рис. 2.45). Критические значения этих сил известны из курса сопротивления материалов:

76

Метод Коробова может быть эффективно использован для случая расчета на устойчивость стоек при действии на нее распределенной сжимающей нагрузки. К такого рода нагрузкам, в частности, относятся, действие собственного веса на высокую мачту, воздействие центробежных сил при вращательном или поступательном движении конструкции и т.п. В зависимости от типа сооружения и характера нагружения распределенная нагрузка может быть постоянной или переменной по длине стержня (рис. 2.46). Выделим бесконечно малый элемент стержня dx, определим нагрузку, действующую на этот элемент: q (x) dx, и воспользуемся приемом Коробова для записи уравнения критического состояния:

Q(x)= −(l − x)qsin(θ) −(l − x)qy′ .

С учетом этого обстоятельства получаем дифференциальное уравнение третьего порядка с переменными коэффициентами

EJy′′′ = −(l − x)qy′ ,

которое сводится к уравнению Бесселя. Точное его решение приведено в третьем томе справочника «Прочность, устойчивость, колебания» [9]:

Таким образом, приближенная формула по отношению к точному значению дает погрешность 5,9 %.

Метод Коробова может быть также использован при комбинации сосредоточенных и распределенных сил.

78

2.5.3. Устойчивость стержней переменного профиля

Возможно два типа стержней, имеющих по длине переменную жесткость:

–ступенчатые или телескопические (рис. 2.48); применяются при строительстве промышленных зданий, мостов и т.д.; бывают полые и сплошные; выполняются из камня, железобетона, металла;

–стержни с непрерывным изменением жесткости (рис. 2.49); используются в качестве опор виадуков, колонн промышленных зданий, труб, телебашен и т.п.

получим неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Второй участок (l1 ≤ х ≤ l). Дифференциальное уравнение изогнутой оси на этом участке имеет вид:

Общие интегралы дифференциальных уравнений (2.55) и (2.56) могут быть записаны в виде:

y1(x) = A1 cos(n1x)+ B1 sin(n1x)+ P1δ1 + P2δ2 , P1 + P2

y2 (x) = A2 cos(n2 x)+ B2 sin(n2 x)+ δ2.

В эти решения входят шесть неизвестных констант (А1, А2, В1, В2, δ1, δ2), для определения которых ищем шесть граничных условий:

79