715

где l — длина балки.

Потенциальная энергия изгиба бесконечно малого элемента балки известна из курсов сопротивления материалов и строительной механики:

dU = 1 Mdθ = 1 M Mdx = 1 M 2dx .

2 2 EJ 2 EJ

С другой стороны,

M EJ d 2 y = EJy′′ , dx2

тогда, с учетом (1.64),

=EJ [v′′(x)]2 sin2 (ωt)dx . 2

Максимального значения потенциальная энергии система достигает, если sin(ωt) = 1:

0i=1

Отметим три позиции, связанные с использованием формулы (1.66).

1. В рамках принятых допущений (справедливость технической теории изгиба стержней, отсутствие неупругих сопротивлений) первая формула Рэлея точная, если функция прогибов v(x) — истинная форма колебаний. Однако функция прогибов заранее неизвестна. Практическое значение формулы Рэлея состоит в том, что с ее помощью можно найти значение частоты свободных колебаний системы, задаваясь формой колебаний v(x). При этом в решение вносится бо´льшая или меньшая погрешность. По этой причине формулу Рэлея называют приближенной, хотя приближенность (правда, всегда неизбежная) связана не с самой формулой, а с проблемами ее реализации.

При исследовании изгиба упругой системы различают два вида граничных условий: кинематические и статические. Кинематические граничные условия связаны с линией прогибов и ее видом на опорных устройствах. В частности, в заделке прогиб и угол поворота равны нулю: v = 0, v′ = 0 ; на шарнирной опоре — прогиб равен нулю: v = 0. Статические граничные условия определяют значение внутренних силовых факторов (изгибающих моментов и поперечных сил) в концевых сечениях балки. Если балка концевыми сечениями опираются на шарнирные опоры (как это показано, например, на рис. 1.35), то изгибающий момент в этих сечениях, очевидно, равен нулю: М (0)= 0 и М (l)= 0 . Так как изгибающие моменты и прогибы связаны между собой дифференциальной зависимостью, известной из курса сопротивления материалов,

31

v′′(x)= M (x), EJ

то отсутствие изгибающих моментов на опорах шарнирно опертой балки означает равенство нулю вторых производных:

v′′(0)= 0 и v′′(l)= 0 .

Если из каких-либо соображений известно, что в каком-либо сечении балки поперечная сила Q (x) равна нулю (например, незагруженный край консольно защемленной балки), то из дифференциального соотношения

Q(x)= dM (x) = EJv′′′(x) dx

следует, что в этом сечении

v′′′(x)= 0.

Рассмотрим пример. Пусть на упругой консольно защемленной невесомой (m(x) = 0) балке установлено две одинаковые массы, как это показано на рис. 1.37. Известно точное значение основной частоты свободных колебаний (см. равенство (3.6)):

EJ ma3 .

Рис. 1.37. Невесомая балка с двумя степенями свободы

Зададим функцию прогибов в виде квадратной параболы: v(x)= cx2 , где c — некоторая константа. Эта функция в полной мере удовлетворяет кинематическим граничным условиям:

знаменатель формулы (1.66) равен

2

∑mivi2 = mc2a4 +16mc2a4 =17mc2a4 .

i=1

Получаем значение частоты свободных колебаний

Сравнивая полученный результат с точным решением (3.6), можно сделать следующие выводы:

–на результат не влияет значение константы c;

–полученное значение собственной частоты больше истинного;

–погрешность в определении частоты составляет 17,6 %.

Столь высокая погрешность объясняется выбором функции v(x), которая удовлетворяет кинематическим, но не соответствует статическим граничным условиям. Действительно, при х = 2а (на свободном конце балки, которая в процессе колебаний загружена только силами инерции) изгибающий момент М(2а) = 0. Но, с другой стороны, если линия прогибов описывается квадратной параболой, M (x)= EJv′′(x)= 2cEJ ≠ 0 .

32

2. Рэлею принадлежит не только вывод формулы (1.66), но и доказательство очень важной теоремы: при любом выборе формы колебаний v(x), удовлетворяющей кинематическим граничным условиям задачи, формула (1.66) дает значение основной (минимальной) собственной частоты ω = ω1 всегда более высокое, чем ее точное значение.

Это положение только что было проиллюстрировано в предыдущем примере. Чтобы увеличить точность определения низшей собственной частоты, следует придерживаться следующих рекомендаций.

–функция прогибов обязательно должна удовлетворять кинематическим граничным условиям;

–желательно, чтобы функция прогибов удовлетворяла статическим граничным условиям;

–функция прогибов должна иметь минимальное количество точек перегиба.

Иногда можно задаться несколькими видами функции прогибов, удовлетворяющих кинематическим граничным условиям, затем для каждой из них по формуле (1.66) определить свою величину собственных частот. И потом из них окончательно выбрать ту, которая имеет минимальное значение, как более близкое к истинному значению.

3. Если кроме кинематических функция прогибов удовлетворяет еще и статическим граничным условиям, то полученная величина частоты свободных колебаний будет значительно ближе к точному значению. В этой связи первая формула Рэлея может быть модифицирована, исходя из следующих соображений. Следует задаваться не функцией прогибов v(x), а некоторой фиктивной нагрузкой q(x) и (или) системой k сосредоточенных сил Pj. Кривая прогибов, вызываемая этой нагрузкой, и подставляется в формулу (1.66). При таком подходе все граничные условия (статические и кинематические) выполняются автоматически. В этом случае потенциальная энергия упругих деформаций равна работе сил, создающих эти деформации

Абсолютная величина в этой формуле появилась по той причине, что работа, совершаемая силой на своих перемещениях, всегда положительна. Тогда формула Рэлея (1.66) может быть представлена в виде:

0i=1

Равенство (1.67) называют второй формулой Рэлея. При ее использовании следует придерживаться следующих рекомендаций:

–фиктивные силы в виде распределенной нагрузки q(x) следует использовать, если рассматривается тяжелая балка, обладающая распределенной массой m(x);

–если балка невесомая, фиктивную нагрузку следует выбирать в виде сосредоточенных сил;

–чтобы уменьшить объем вычислений, количество фиктивных сил следует минимизировать, лучше, если это будет одна.

Рис. 1.38. Консольная балка, нагруженная фиктивной нагрузкой

Отметим, что вторая формула Рэлея может дать точное значение собственной частоты, если задаться такой системой фиктивной нагрузки, которая с точностью постоянного множителя будет совпадать со значением сил инерции, действующих на конструкцию в процессе собственных колебаний.

Решим еще раз рассмотренный выше пример, но уже с использованием второй формулы Рэлея. Приложим на конец консоли некоторую силу Р и определим линию прогибов по методу начальных параметров в виде, известного из курса сопротивления материалов:

33

EJv(x)= 2Pax2 − Px3 .

2! 3!

Соответствующие прогибы в местах установки масс и приложения фиктивной нагрузки:

v(a)= 5Pa3 , v(2a)= 16Pa3 . 6EJ 6EJ

С учетом этого, формула (1.67) запишется так:

Откуда основная частота свободных колебаний равна значению

EJ

ω1 = 0,585 ma3 ,

которое практически совпало с точным решением (см. равенство (3.6)).

1.6.2. Метод переноса масс

Рассмотрим невесомую балку, на которую установлено n масс m1, m2, …, mn (рис. 1.39, а). Такая система имеет n собственных частот. Заменим все массы одной. Для этого перенесем их в одну точку на балке (рис. 1.39, б).

Рис. 1.39. Исходная балка, имеющая n степеней свободы (а), и фиктивная балка, имеющая одну степень свободы (б)

Получим фиктивную систему с одной массой m, имеющей одну степень свободы. Такая система имеет одну собственную частоту. Подберем значение массы m таким образом, чтобы низшая частота свободных колебаний заданной системы ω1 и частота свободных колебаний балки с одной массой совпадали. Для этого запишем равенство

m = k1m1 + k2m2 + ...+ kimi + ...+ knmn ,

где k1, k2… kn — некоторые константы, подбором которых и будет выполняться требование о равенстве частот этих двух балок.

Определим эти коэффициенты. Для этого осуществим «перенос» i-й массы. Рассмотрим балку, на которую помещена только одна масса (рис. 1.40, а). Это — система с одной степенью свободы, собственная частота которой может быть определена из условия (см. равенство (1.6)):

ωi2 = δ 1 .

iimi

34

mi*

Рис. 1.40. Определение перемещений от единичной нагрузки: а — в заданной балке; б — в фиктивной балке

Перенесем эту массу в новое положение и определим собственную частоту такой балки:

или

mδ* δ11m1 + δ22m2 + ...+ δiimi + ...+ δnnmn , но частота колебаний системы с одной массой

ω2 == 1 , δ*m

тогда окончательно получаем:

Отметим, что полученная формула дает приближенный результат потому, что при последовательном переносе масс не учитывается влияние на частоту свободных колебаний еще не перенесенных масс. Полученное значение собственной частоты колебаний в отличие от метода Рэлея всегда дает заниженный результат.

Вновь вернемся к уже рассмотренному примеру: свободным колебаниям невесомой балки, на которой с равным шагом установлены две одинаковые массы (рис. 1.41). В задаче 1 (см. п. 3.1.1 равенства (3.2)) получены соотношения для перемещений

С учетом этого обстоятельства формула (1.68) дает

Откуда

35

Рис. 1.41. Нагружение невесомой балки (а), имеющей две одинаковые массы, единичными силами по первому (б) и второму (в) направлениям

Таким образом, погрешность в определении частоты свободных колебаний, вычисленной по методу переноса масс, при сравнении с точным решением (см. (3.6)) составляет 1,20 %.

1.7. Параметрические колебания

Рассмотрим свободные колебания системы, показанной на рис. 1.42. Система представляет собой массу, находящуюся на конце упругого стержня, шарнирно закрепленного к горизонтальной опоре. Кроме этого, стержень удерживается при помощи втулки, имеющей возможность скользить вдоль его оси. Расчетная схема стержня представлена на рис. 1.43. Запишем дифференциальное движение массы без учета влияния сил трения (см. уравнение (1.7)):

&y& + ω2 y = 0 .

Решая задачу о частоте свободных колебаний этой системы аналогично тому, как это сделано в задаче 1 (см. п. 3.1.1 и рис. 1.43), получаем:

Таким образом, дифференциальное уравнение (1.7) приобретает вид:

Рис. 1.42. Невесомая балка, имеющая одну степень сво-

Рис. 1.43. Расчетная схема

боды, с подвижной опорой

балки с подвижной опорой

Если расстояние s = const , то уравнение (1.69) описывает свободные колебания массы около положения статического равновесия. Допустим теперь, опора скользит вдоль стержня, следуя закону:

s(t)= s0 − Acos(θt),

36

то есть совершает гармонические колебания с амплитудой A и круговой частотой θ. Здесь: s0 — среднее расстояние от верхнего шарнира до втулки. В этом случае уравнение (1.69) приобретает вид:

которое относится к классу линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Такие колебания уже нельзя назвать свободными, так как они происходят при заданном во времени периодическом воздействии. По сути можно говорить, что во времени меняется жесткость системы. С другой стороны, такие колебания нельзя называть вынужденными, так как внешнее воздействие представляет не возмущающую силу, а входит в левую часть уравнения движения.

Колебания подобного рода, происходящие при заданном изменении параметров системы (в данном случае — жесткости) называются параметрически вынужденными, или проще — параметрическими.

Отметим важное. При некоторых значениях частоты θ , амплитуда колебаний может возрастать до бесконечности. Наступает параметрический резонанс. В определенном смысле он опаснее «обычного» резонанса, который наступает при фиксированных значениях частот возмущающих сил. Резонансные явления при параметрических колебаниях возникают, когда частота изменения параметра системы θ занимает некоторый диапазон значений.

Рассмотрим коэффициент, входящий в уравнение (1.70), который после разложения в степенной ряд преобразуется к виду:

Таким образом, дифференциальное уравнение (1.70) можно представить в виде:

С учетом этого последнее дифференциальное уравнение запишется:

37

которое в курсе высшей математики называется уравнением Матье. Решение этого уравнения имеет колебательный характер. В одних случаях, комбинация параметров a и q соответствует устойчивому решению (рис. 1.44): в процессе колебаний амплитуда хоть и меняется, но остается конечной величиной. В других случаях, решение — неустойчиво (рис. 1.45): амплитуда колебаний неограниченно возрастает.

Рис. 1.44. Устойчивый процесс параметрических колебаний

Рис. 1.45. Неограниченное возрастание амплитуды колебаний при параметрическом резонансе

Результаты исследования решений уравнения Матье для различных комбинаций a и q обычно представляют в виде диаграммы Айнса-Стретта (рис. 1.46), которая приводится в справочниках.

В качестве примера возникновения параметрического резонанса можно привести случай из практики. При работе шахтного подъемника (рис. 1.47) в процессе движения клети при некоторых скоростях

Рис. 1.48. Шарнирно опертая балка, по которой перемещается равномерно распределенная нагрузка

Эта система находится в квазистатическом состоянии, которому соответствует неизменная во времени изогнутая линия, вид которой зависит от скорости движения нагрузки. Одновременно с

38

этим линия прогиба является траекторией движения груза (рис. 1.49). Поэтому, кроме нагрузки q, веса балки (mg), на бесконечно малый элемент балки будет действовать сила инерции. Определим величину внешней нагрузки, действующей на бесконечно малый элемент балки dx (рис. 1.50):

С другой стороны, из курса сопротивления материалов известны следующие дифференциальные соотношения:

Если принять начало координат на левом конце балки, то решение дифференциального уравне-

При этом наибольший прогиб, очевидно, наблюдается в середине балки при x = l2 :

Как видно из равенства (1.75), с ростом скорости движения нагрузки стрела прогиба увеличивается и стремится к бесконечности при u → π . Следовательно (см. выражение (1.74)):

откуда скорость движения равномерно распределенной нагрузки, равная

является критической. При этом, в идеале, максимальный прогиб шарнирно опертой балки становится бесконечным, и, таким образом, балка разрушится.

39