715

Таким образом, для пологой арки при вычислении критической нагрузки можно пользоваться формулой Эйлера, полагая, что она работает как шарнирно опертый стержень длиной, равной половине длины арки. Отметим, что при (f l)= 5 погрешность формулы (2.91) составляет 6,2 %.

2.6.3. Устойчивость круговой бесшарнирной арки, нагруженной гидростатическим давлением

Рассмотрим круговую бесшарнирную арку радиусом r, с углом раствора 2α и пролетом l. Арка нагружена гидростатическим давлением интенсивностью q, как это показано на рис. 2.85.

Исходя из условия несжимаемости арки, предположим, что потеря устойчивости будет происходить по кососимметричной форме (см. рис. 2.86). Дифференциальное уравнение изогнутой оси в возмущенном состоянии имеет вид (2.81). Запишем значение изгибающего момента в произвольном сечении θ. Для этого в пяты арки введем шарниры, а влияние заделки заменим действием опорных моментов М0 (рис. 2.87). В этом случае (см. п. 2.6.2)

M (θ)= qrw + Mθ′ ,

где Mθ′ — дополнительный изгибающий момент в рассматриваемом сечении от действия моментов М0.

Рис. 2.87. Эпюра изгибающих моментов в арке от действия только опорных моментов М0

Знак «–» в последнее соотношение введен потому, что момент М0 увеличивает кривизну арки. С учетом этого запишем полное выражение изгибающего момента в сечении θ:

100

Тогда дифференциальное уравнение (2.81) принимает вид:

Уравнение относится к классу линейных дифференциальных уравнений второго порядка с правой частью. Его общее решение имеет вид:

Для определения величин постоянных интегрирования запишем граничные условия:

Реализация граничных условий дает систему линейных однородных алгебраических уравнений:

Ненулевое решение этой системы возможно, если

Раскрыв определитель, после преобразований получаем трансцендентное уравнение:

Решив любым способом это уравнение (численно, графически, методом последовательных приближений и т.п.), находят значение параметра n, затем из равенства (2.93) определяется значение критической нагрузки qкр.

101

2.6.4. Устойчивость круговой бесшарнирной арки с упруго закрепленными пятами, нагруженной гидростатическим давлением

После раскрытия определителя получаем характеристическое уравнение в виде:

Численно решая это уравнение, определяем значение параметра n, после чего из (2.93) находим значение критической нагрузки qкр. Заметим, что если заделка абсолютно жесткая ( ϕ = 0 ), то получаем решение (2.94).

2.6.5. Устойчивость круговой трехшарнирной арки под действием гидростатического давления

102

На практике чаще встречаются арки, очерченные по параболе или другим кривым. Они решаются по таким же схемам, но дифференциальное уравнение стержня произвольной кривизны будет отличаться от уравнения (2.81).

2.7. Устойчивость плоской формы изгиба

Рассмотрим изгиб консольно защемленной балки, которая нагружена сосредоточенной силой Р. При изгибе балки в плоскости меньшей жесткости плоский изгиб — устойчив (рис. 2.90): при действии силы вдоль оси y перемещения сечений балки происходят вдоль той же оси. Характер изгиба балки существенно меняется, если изгиб балки осуществляется в плоскости большей жесткости (рис 2.91). В этом случае существует некоторое значение внешней нагрузки Ркр, и, если Р > Ркр, то изгиб балки происходит относительно обеих осей: z и y, а также возникает кручение балки.

Рис. 2.90. Изгиб балки в плоскости меньшей жесткости — устойчив

Явление потери устойчивости плоской формы изгиба рассмотрим на примере шарнирно опертой прямоугольной балки, находящейся в состоянии чистого изгиба (рис. 2.92).

При М = Мкр кроме плоского равновесного состояния (изгиб в плоскости хОу) существует еще смежная неплоская форма равновесия: изгиб в плоскости хОу, изгиб в плоскости хОz и кручение. В результате верхний край балки выгнется больше, чем нижний. На рис. 2.92 представлено положение произвольного сечения балки, имеющей координату x в возмущенном и невозмущенном состоянии.

Обозначим (см. рис. 2.92 и 2.93): v(х) — прогиб балки в плоскости хОz; у(х) — прогиб балки в плоскости хОу;

ϕ(х) — угол поворота сечения балки в плоскости уОz.

Рис. 2.92. Изгиб высокой шарнирно опертой балки в плоскости большей жесткости

103

Рассмотрим силовые факторы, действующие в сечении x. Но сначала определим опорные реакции. Так как внешняя нагрузка — это пара сил, действующая в плоскости хОу, то все опорные реакции отсутствуют. В дальнейшем рассматривается векторное представление изгибающих и крутящих моментов. С учетом этого в исходном состоянии на балку действует только два момента, которые ее изгибают (рис. 2.94). В смежном (неплоском) состоянии на балку действуют те же моменты. Зафиксируем произвольное сечение x (рис. 2.95). Рассечем балку и отбросим ее левую часть. В этом сечении действует момент, равный внешнему моменту M, который свою очередь можно разложить на две составляющие: крутящий М1(х) и изгибающий М2(х) моменты. В свою очередь, изгибающий момент раскладывается на две составляющие (рис. 2.96): изгибающие моменты относительно осей z и y:

Рис. 2.94. Силовые факторы, действующие на балку в невозмущенном состоянии

Рис. 2.95. Силовые факторы, действующие на балку в возмущенном состоянии

Рис. 2.96. Внутренние силовые факторы, действующие

впроизвольном поперечном сечении балки

ввозмущенном состоянии

Здесь учтено, что углы поворота произвольного сечения высокой балки в возмущенном состоянии очень малы. Поэтому cos(ϕ) 1, cos(γ) 1, sin(ϕ) ϕ , sin(γ) γ .

Запишем с учетом условий (2.95) дифференциальные уравнения, связывающие перемещения и внутренние силовые факторы. Прогибы в горизонтальной плоскости и изгибающие моменты как обычно связаны между собой дифференциальным уравнением:

или

104

Из курса сопротивления материалов известно соотношение, связывающее угол поворота вала и величину крутящего момента:

dϕ = M x (x), dx GJk

где: G — модуль сдвига; Jk — момент инерции некруглого вала при кручении.

Эта геометрическая характеристика для различных видов сечений задается в справочниках. Например, для узкого прямоугольного сечения (высотой h и шириной b):

Знак «–» в равенстве (2.97) объясняется тем обстоятельством, что в рассматриваемом сечении балки с увеличением координаты x растет угол ϕ, то есть v′(x)> 0 , но в принятой системе координат v′(x)< 0 (см. рис. 2.97).

Рис. 2.97. Знак угла поворота произвольного сечения балки в произвольном сечении

Таким образом, объединяя равенства (2.96) и (2.97), получаем систему дифференциальных уравнений:

EJyv′′(x)= Mϕ(x)GJkϕ′(x)= −Mv′(x),

или

v′′(x)=

v′′(x)= − GJk ϕ′′(x).

M

имеем решение однородного дифференциального уравнения (2.98) в виде

ϕ(x)= Acos(nx)+ Bsin(nx).

Постоянные А и B находим из граничных условий: x = 0: ϕ(0)= 0,

x = l : ϕ(l)= 0.

Из первого условия константа А = 0, второе условие, таким образом, приобретает вид:

Bsin(nl)= 0 .

105

Решение этого тригонометрического уравнения имеет вид: nl = πm (m — целое число).

Тогда из равенства (2.99) получаем критическое значение внешнего момента (при m = 1):

n2 = π2m2 .

l2

Откуда, используя равенство (2.99), получаем критическое значение внешнего момента:

В справочной литературе приводятся решения для часто встречающихся в инженерной практике случаев. Приведем два примера: высокая шарнирно опертая балка, нагруженная силой в середине пролета (рис. 2.98) и защемленная консольная балка, нагруженная силой в концевом сечении (рис. 2.99).

Рис. 2.98. Высокая шарнирно опертая балка, нагруженная силой в середине пролета на верхней кромке

Рис. 2.99. Консольная балка, нагруженная силой

в концевом сечении на расстоянии a от продольной оси

Отметим существенное: при нагружении высокой балки сосредоточенной силой величина критической силы зависит от расстояния a. В частности, этот размер в формулу (2.100) следует подставлять со своим знаком: вверх — плюс, вниз — минус. Таким образом, минимального значения критическая сила достигает, если она приложена на верхней кромке балки. Максимального — на нижней.

2.8. Метод Папковича

Ранее, рассматривая действие на конструкцию системы нескольких сил, предполагалось, что эти силы образовывали однопараметрическую систему (см. п. 2.5.2). Сейчас рассмотрим случай, когда силы не подчиняются зависимости (2.48). То есть задача состоит в том, чтобы определить, в каком состоянии равновесия (устойчивом, неустойчивом, безразличном) находится сооружение, нагруженное заданной системой сил.

Пусть для начала некоторая конструкция нагружена всего двумя произвольными силами Р1 и Р2 (рис. 2.100). В инженерной практике такая ситуация может возникнуть, когда на силовую часть конструкции (раму) необходимо поставить два станка известным весом. При этом возникает проблема: будет ли эта конструкция устойчива. Для решения этой задачи введем систему координат, по оси абсцисс которой будем откладывать значение силы Р2, по оси ординат — значение силы Р1.

106

Любое сочетание сил Р1 и Р2, соответствующих безразличному состоянию равновесия, на этой плоскости отображается точкой.

Предположим вначале, что силы Р1 и Р2 таковы, что их сумма равна некоторому неизменному значению Р (см. также рис. 2.27 и 2.28 в п. 2.4.1):

Р1 + Р2 = Р .

Пронормировав последнее равенство по параметру Р, получаем:

α1 + α2 =1, где: α1 = Р1 , и α2 = Р2 .

Р Р

Следовательно, в этом случае силы Р1 и Р2 образуют однопараметрическую систему (см. равенства (2.48)):

P1 = α1P

P2 = α2P (2.101)

α1 + α2 = 1.

Изменяя значения констант α1 и α2, можно получить спектр всех возможных комбинаций сил Р1 и Р2, в том числе и крайние случаи: P1 = Р1 , Р2 = 0 и Р1 = 0, P2 = Р2 . Ранее уже рассматривался алгоритм расчета критического параметра однопараметрической системы сил (см. п. 2.4). Таким образом, решив множество раз задачу об устойчивости рамы для любой комбинации констант α1 и α2, можно получить множество значений критических нагрузок Р1 и Р2, которые на введенной координатной плоскости образуют линию, разделяющую ее на две части (рис. 2.103):

–область устойчивых соотношений внешних сил (она примыкает к началу координат);

–область неустойчивых соотношений внешних сил.

Рис. 2.103. Кривая критических состояний Рис. 2.104. Идеализация кривой критических состояний

Имея эту кривую, возвращаясь к задаче о нагружении рамы системой двух независимых сил, можно достаточно просто определить, находится ли сооружение в устойчивом состоянии равновесия. Для этого следует на координатных осях отложить величины сил Р1 и Р2. а затем, считая эти значения проекциями некоторой точки, определить ее положение. Если эта точка будет располагаться ниже пограничной кривой, как это показано на рис. 2.103, то состояние рамы будет устойчивым, выше кривой — неустойчивым.

Существенным недостатком этого метода является трудоемкость построения пограничной кривой. Приходится много раз решать задачу об устойчивости рамы с разным сочетанием внешней нагрузки Р1 и Р2. Чтобы снизить трудоемкость процедуры, П.Ф. Папкович предложил просчитать пограничную кривую только в двух точках: P1 = Р1 , Р2 = 0 и Р1 = 0, P2 = Р2 (см. рис. 2.101 и 2.102);

107

найти величины критических нагрузок Р1кр , Р2кр . Он доказал теорему, согласно которой пограничная кривая всегда обращена выпуклостью в сторону неустойчивых соотношений. Уравнение этой кривой

неизвестно, но известны две точки: Р1кр и Р2кр . Для упрощения заменим пограничную кривую хор-

дой (рис. 2.105). Такое допущение правомерно, так как идет в запас устойчивости, поскольку получаемые при этом критические значения нагрузок меньше действительных. Уравнение хорды запишем как уравнение прямой, проходящей через две точки:

Условие (2.102) связывает между собой значения сил Р1 и Р2, соответствующих критическому состоянию рассматриваемой конструкции. В случае, если силы Р1 и Р2 образуют однопараметрическую систему, подчиняющуюся соотношению (2.101), то имеет место быть равенство:

или

Р1 = tg(α)P2 .

где tg(α)= α1 — известная величина.

α2

Найдем теперь точку пересечения двух прямых (2.101) и (2.102). Координаты этой точки и дадут значение Ркр. В уравнение (2.102) подставим соотношения (2.101). В результате получаем выражение

α1 + α2 = 1 ,

Р1кр Р2кр Ркр

из которого значение критического параметра силы равно:

Если при этом, например, рассматриваемая однопараметрическая система сил действует на прямую жестко защемленную стойку (см. рис. 2.41) и, принимая в расчет значение критической силы

π2EJ

Piкр = 4l2i ,

получим формулу Коробова (2.48). И поскольку, в результате идеализации, прямая (2.102) всегда лежит ниже реальной кривой критических состояний (см. рис. 2.105), то метод Коробова всегда дает заниженное значение критической силы.

Если на конструкцию действуют три независимые силы, тогда следует рассматривать трехмерное пространство Р1 – Р2 – Р3, в котором границей устойчивого и неустойчивого состояния уже будет являться некоторая выпуклая в сторону неустойчивых соотношений поверхность. Эту поверхность заменяют секущей плоскостью, уравнение которой можно записать в виде:

Р1 + Р2 + Р3 = 1.

Р1кр Р2кр Р3кр

Для определения значений Р1кр , Р2кр , Р3кр следует последовательно загрузить заданную кон-

струкцию силами Р1, Р2, Р3 и трижды решить задачу об устойчивости заданной системы. При произвольном числе внешних сил Р1, Р2, …, Рn уравнение пограничного состояния, записанное в n-мерном пространстве, можно представить в виде:

108

2.9. Устойчивость сжатого пояса открытого моста (задача Ясинского)

Рассматривается работа мостового перехода с открытым верхним поясом (рис. 2.105). Мост состоит из двух ферм; езда подвижного состава производится понизу, а так как фермы невысокие, соединить их верхними связями нельзя. Мостовой переход нагружен распределенной нагрузкой q0, приходящуюся на одну ферму. Под действием этой нагрузки верхний пояс мостовой фермы, очевидно, будет сжат и поэтому возможна потеря устойчивости фермы (пунктирная линия на рис. 2.105). Требуется найти критическое значение нагрузки q0.

Рис. 2.105. Расчетная схема моста с открытым верхним поясом

Рассмотрим нагрузки, действующие на верхний пояс фермы. С этой целью рассечем ферму в сечении x и рассмотрим равновесие левой части (рис. 2.106). Очевидно, значение поперечной силы Q(x) в этом сечении равно

где Q = q0l — равнодействующая внешней распределенной нагрузки q0. Поперечная сила Q(x) воспринимается только раскосом, усилие в кото-

ром определяется соотношением:

Q(x) sin(ϕ) .

Проецируя усилие в раскосе на горизонтальную ось, определяем значение приращения продольной силы N(x), при переходе координаты x через шарнир верхнего пояса:

Конечно, в пределах панели значение этой силы остается неизменным и скачком изменяется при переходе к следующей панели. Между тем, будем считать, что приращение продольной силы по длине фермы меняется непрерывно. Введем понятие интенсивности сжимающей нагрузки, приходящуюся на одну панель g(x):

Эпюра интенсивности сжимающих напряжений g(x) представлена на рис. 2.107. На этом же рисунке показана эпюра продольных сил N, действующих в верхнем поясе и построенная в предположении, что он нагружен распределенной нагрузкой g(x):

109