715

П5. Численное решение дифференциальных уравнений методом конечных разностей

Часто трудно аналитически получить решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным граничным условиям. В этом случае можно использовать численное решение методом конечных разностей. Суть метода заключается в том, что искомую аналитическую функцию заменяют табличной. При этом производные в дифференциальном уравнении заменяют их конечноразностными аналогами. Таким образом, задачу решения дифференциального уравнения с граничными условиями сводят к решению системы линейных алгебраических уравнений.

Для того чтобы решить уравнение методом конечных разностей, исследуемый интервал разбивают точками, в которых находят значение функции. Эти точки называют узлами. При решении заданного дифференциального уравнения для каждого узла, находящегося внутри исследуемого интервала, следует записать линейное алгебраическое уравнение, которое получается при подстановке в исходное дифференциальное уравнение вместо аналитических производных их конечно-разностные аналоги. При этом получается система линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются значения искомой функции в узлах. Как правило, количество неизвестных превышает количество уравнений за счет узлов, лежащих на границе интервала и за его пределами. Чтобы получить недостающие уравнения, следует использовать граничные условия. После подстановки граничных условий получается система уравнений, в которой количество уравнений равно количеству неизвестных. Далее следует решить систему уравнений и получить значение функции в узлах.

лить. С некоторой долей погрешности будем считать эту величину первой производной функции:

Поскольку точка, для которой найдена производная, лежит между точками, через которые проведена секущая, то эту производную называют центральной. Иногда секущую проводят через точки i – 1 и i, такую производную называют левой. Если же секущая проведена через точки i и i + 1, то производную называют правой.

Чтобы получить вторую производную, найдем первые центральные производные в точках, лежащих между точками i – 1 и i, а также между точками i и i+1 (обозначим эти точки i – 1/2 и i + 1/2):

170

Теперь, для того чтобы получить вторую производную, продифференцируем первую производную:

Аналогично рассуждая, можно получить третью производную:

Ясно, что метод конечных разностей является приближенным. Действительно, вместо аналитической функции получается набор значений этой функции в отдельных точках. Очевидно, что для увеличения точности получаемого результата следует выбирать шаг разбиения возможно более мелким, т.е. x → 0 . Однако при этом возрастает количество узлов, и, как следствие, трудоемкость расчета. На практике принимается компромиссное решение, при котором погрешность достаточно мала для того, чтобы ею пренебрегать, а вычислительные трудности не слишком велики.

Пример 7.

Найти решение уравнения

d 2 f + π2 f = 0 dx2

в интервале 0 ≤ x ≤ 0 5 с граничными условиями f (0) = 2, f (0,5) = 4.

Примем шаг сетки x = 0,125 . Таким образом, исследуемый интервал разделим на 4 части. При этом получаем 3 узла внутри интервала, и 2 узла на его границах (см. рис. П3). Для внутренних узлов запишем дифференциальное уравнение в конечных разностях. Так, для узла № 2 получим

Таким образом, для нахождения пяти неизвестных имеем пять уравнений (П19–П23). Решая эту систему, получим

f1 = 2, f2 = −3,394, f3 = 4,265, f4 = 4,4784 , f5 = 4.

Точное решение этой задачи нам уже известно (см. пример 4). Оценка погрешности приведена в таблице.

171

Примем шаг разбиения x = 0 5 , т.е. исследуемый интервал разделим на 4 части. При этом получаем 3 узла внутри интервала (№ 2, 3, 4), 2 узла на его границах (№ 1 и 5) и 2 узла за его грани-

Как известно, такая система уравнений имеет нулевое (тривиальное) решение. Чтобы получить ненулевое решение, следует главный определитель системы приравнять нулю:

1− 4 6 − 0,25a2

=(6 − 0,25a2 )3 + (−4) (−4) 1+ (−4)(−4) 1−

−1 1(6 − 0,25a2 )− (−4)(−4)(6 − 0,25a2 )− (−4)(−4)(6 − 0,25a2 )=

=63 − 3 62 0,25a2 + 3 6 0,252 a4 − 0,253 a6 +16 +

+16 − 6 + 0,25a2 − 96 + 4a2 − 96 + 4a2 =

=−0,01563a6 +1,125a4 −18,75a2 + 50 = 0.

Это уравнение имеет шесть действительных корней a = ±1,81, a = ±4,47 и a = ±6,98.

172

Ясно, что корни разных знаков дают одинаковое решение. При этом a = ±1,81 соответствует решение

прерывная на отрезке x1, x2 ). Тогда очевидно, что решение уравнения лежит между x1 и x2 x1 < x0 < x2 . Поделим интервал пополам: x3 = 0 5(x1 + x2 ), и найдем значение функции в середине интервала (в точке x3). Если f (x3 ) > 0 , то ясно, что решение уравнения лежит между x3 и x2. Если f (x3 ) < 0 , то решение лежит между x1 и x3.

Далее повторим этот процесс. На каждом шаге интервал, в котором лежит решение уравнения, уменьшается в два раза. Процесс решения можно считать законченным, когда величина интервала становится меньше требуемой погрешности решения.

Преимущество этого метода заключается в его простоте. К недостаткам можно отнести довольно длительный процесс вычислений и необходимость определять интервал, в котором находится решение. Для нахождения интервала можно найти экстремумы функции. Очевидно, что если уравнение имеет решение, то оно лежит между максимумом и минимумом (или между экстремумом и бесконечностью).

Пример 9.

Найти решение уравнения

f (x) = x3 − 5x2 + 2x −11= 0 .

Найдем производную и приравняем ее к нулю:

f ′(x) = 3x2 −10x + 2 = 0 .

Это уравнение имеет корни

x1 = 0,214 и x2 = 3,12. Значения экстремумов

f (0,214) = −10,76 < 0 и f (3,12) = −23,06 < 0 .

Кроме того,

lim f (x) = ∞ > 0 и lim f (x) = −∞ < 0 .

x→∞ x→−∞

Из этого следует, что решение исходного уравнения находится между x1 = 3,12 и x2 = ∞ . Нижняя граница интервала известна точно, а верхнюю придется искать, задаваясь произвольными значениями. Проверим, например, в качестве верхней границы x2 = 8 . Получаем f (8) =197 > 0.

Ясно, что решение лежит между значениями x1 = 3 и x3 = 5 5. Второе приближение.

x = 3+ 5 5 = 4,25 . f (4,25) = −16,05 . 2

x = 4,25 + 5 5 = 4,88 . f (,4,88) = −4,098 . 2

173

x = 4,88 + 5 5 = 5,19 . f (5,19) = 4,498. 2

x = 4,88 + 5,19 = 5,035. f (5,035) = −0,043. 2

x = 5,035 + 5,19 = 5,113 . f (5,113) = 2,18 . 2

x = 5,035 + 5,113 = 5,074 . f (5,074) =1,053. 2

x = 5,035 + 5,074 = 5,054. f (5,054) = 0,487 . 2

Как видим, на седьмом и восьмом шагах значения x отличаются друг от друга менее, чем на 1 %. В качестве решения примем

x = 5,035 + 5,054 = 5,045. 2

Пример 10. Задано уравнение

f (x) = tg(x) − x = 0 .

Графически решение этого уравнения можно интерпретировать как точку пересечения графиков функций y = tg(x) и y = x (см. рис. П5).

Одно решение этого уравнения очевидно: x = 0. Заметим, что тангенс — функция разрывная. Точки разрыва:

x = 0 5π(2k −1), k — целое.

Рис. П5. Графическое решение

Кроме того, тангенс — монотонная периодическая функция. Это трансцендентного уравнения означает, что в пределах 0 5πk < x < 0 5π(k +1) есть только одно реше-

ние исходного уравнения (см. рис. П5). Найдем корень уравнения, лежащий в интервале 0 5π < x <15π . Очевидно, что

Таким образом, первое приближение есть

x = 0 5π +15π = π . f (π) = −3,142. 2

Второе приближение:

x = π +1 5π =1,25π . f (1,25π) = −2,93. 2

x= 1,25π +15π =1,375π. f (1,375π) = −1,905 . 2

x= 1,375π +15π =1,438π . f (1,438π) = 0,551. 2

x = 1,375π +1,438π =1,406π. f (1,406π) = −1,130 . 2

x = 1,406π +1,438π =1,422π . f (1,422π) = −0,468 . 2

x = 1,422π +1,438π =1,430π . f (1,43π) = −0,019 . 2

174

x = 1,43π +1,438π =1,434π . f (1,434π) = 0,249 . 2

x = 1,43π +1,434π =1,432π . f (1,432π) = 0,111. 2

Таким образом, можно принять в качестве решения уравнения

x = 1,43π +1,432π =1,431π = 4,496 . 2

П6.2. Метод Ньютона

Пусть задана аналитическая непрерывная функция f (x) . Требуется найти решение уравнения

f(x) = 0 .

Впроизвольной точке x к графику функции проведем касательную. Далее найдем точку пересечения касательной с осью x. Эта точка является исходной точкой для следующего шага итерации. Из треугольника ABC (рис. П6) найдем:

AC = ABctg(α) ,

AC = xi+1 − xi , AB = f (xi ), tg(α) = f ′(xi ) ,

Преимущества метода заключаются в том, что метод Ньютона сходится быстрее, чем метод деления отрезка пополам. Кроме того, не требуется определять интервал, в котором находится решение уравнения. К недостаткам метода относится затруднения, связанные с немонотонностью функции f (x) и наличием разрывов. В этом случае возможен переход на другую ветвь и удаление от искомого решения уравнения. На рис. П7 показан пример перехода процесса решения на другую ветвь графика функции.

Пример 11.

Найти корень уравнения

f (x) = x3 − 5x2 + 2x −11= 0 . Вычислим производную:

f′(x) = 3x2 −10x + 2 .

Вкачестве первого приближения произвольно принимаем

175

Как видим, уже на четвертом шаге получено достаточно точное решение.

176

Литература

Основная

1.Киселев В.А. Строительная механика: Спец. курс. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1980.

616 с.

2.Строительная механика: Динамика и устойчивость сооружений / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников. М.: Стройиздат, 1984. 415 с.

Дополнительная

3.Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978. 312 с.

4.Бишоп Р. Колебания / Пер. с англ. М.: Наука, 1986. 192 с.

5.Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Физматгиз, 1959. 608 с.

6.Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Пер. с нем. М.: Наука, 1976. 576 с.

7.Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш. шк., 1983.

8.Писаренко Г.С., Яковлев А.П., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова думка, 1988. 736 с.

9.Прочность, устойчивость, колебания: Справочник. Т. 3 / Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. М.: Машиностроение, 1968. 567 с.

10.Рокар И. Неустойчивость в механике / Пер. с фр. М.: ИЛ, 1959. 287 с.

11.СНиП II-7-81. Строительство в сейсмических районах. Госстрой СССР. М.: Стройиздат, 1982. 48 с.

12.Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. 2-е изд. М.-Л.: ОГИЗ, 1963. 735 с.

177

Содержание

178