715

Или, приняв во внимание, что δ11 — это перемещение по первому направлению от действия единичной силы, действующей по первому направлению, а δ13 — это перемещение по первому направлению от действия единичной силы, действующей по третьему направлению, это перемещение можно представить в следующем виде:

1Р = Р01δ11 + Р03δ13 = 8δ11 + 4δ13 .

Аналогично:

2Р = {Мст × М2}= 8δ21 + 4δ23 .

Определим коэффициенты δ13 и δ23.

δ13 = {М1 × М3}= {МР1 × М3}= {М1 × МР3}=

= 0 5l [− 0,027l 0 5l − 4 0,027l 0,25l]=

6EJст

= − 3,375 10−3l3 = −3,375 10−3.

EJст

δ23 = {М2 × М3}= {МР2 × М3}= {М2 × МР3}=

= 0 5l [0,571l 0 5l − 4 321l 0,25l]=

6EJст

= 50,542 10−3 l3 = 50,542 10−3.

EJст

Тогда искомые свободные члены в системе (3.29) имеют вид: 1Р = 8δ11 + 4δ13 = 8 0,0097 − 4 0,0034 = 0,064 ,

2Р = 8δ21 + 4δ23 = −8 0,0133 + 4 0,0505 = 0,0956 .

В итоге система уравнений (3.29) с учетом равенств (3.14)–(3.16) записывается в виде:

или

0,2403v1 + 0,0133v2 = 0,016

0,0133v1 + 0,1312v2 = 0,0239. Решение этой системы имеет вид:

v1 = 0,0568; v2 = 0,1764.

Теперь можно, используя соотношения (3.28), определить величину сил инерции:

Так как полученные знаки перемещений v1 и v2 положительны, то направления сил инерции должны совпадать с направлением единичных нагрузок, представленных на рис. 3.7. С учетом этих замечаний на рис. 3.26 представлена рама, загруженная амплитудными значениями возмущающих сил и сил инерции, а на рис. 3.27, эпюра изгибающих моментов (динамическая эпюра), построенная от этих сил по формуле:

Мдин = Мст + I1М1 + I2M2 .

Эпюры М1 и М2 берутся соответственно с рис. 3.11 и 3.14.

131

Константы a, b, c определяются из кинематических граничных условий. Таковых два: прогибы балки в точках х = 0 и x = l равны нулю:

v(0)= с = 0,

с = 0,

= −

b al.

Заметим, квадратная парабола имеет три константы. Кинематических граничнх условий только два. Одна константа (коэффициент при х2) осталась неопределенной:

Реализуем формулу (3.31). Балка — невесома. Поэтому m(x)= 0 . Изгибная жесткость по длине балки постоянна. По этой причине EJ вынесем из под интеграла. Найдем вторую производную от прогиба:

v′(x)= 2ax − al ,

v′′(x)= 2a .

Тогда интеграл в числителе формулы (3.31) принимает вид:

00

Рассчитаем знаменатель в формуле (3.31). Перемещения каждой массы с учетом равенства (3.32) составляют:

v1 = v(0,25l)= a 0,25l(0,25l − l)= −0,1875al2 , v2 = v(0 5l)= a 0 5l(0 5l − l)= −0,25al2 ,

v3 = v(0,75l)= a 0,75l(0,75l − l)= −0,1875al2 . С учетом этого

∑3 mivi2 = a2ml4 [(− 0,1875)2 + (− 0,25)2 + (− 0,1875)2 ]=

i=1

= 0,1328a2ml2 .

Теперь по формуле (3.31) определяем частоту свободных колебаний балки:

n

∫m(x)v2 (x)dx + ∑mivi2

0i=1

Сравнивая точное (см. равенство (3.30)) и приближенное (равенство (3.34)) решения, можно сделать вывод, что полученное решение на 11,4 % превышает точное. Решение (3.34) не может быть признано удовлетворительным для инженерной практики. Приняв в качестве истинного (или близкого к истине) результата полученное решение, инженер в качестве допустимой частоты вы-

EJ

нужденных колебаний должен выбрать значение меньшее 5,49 ml3 с риском получить резонанс

133

EJ

на частоте 4,93 ml3 . Таким образом, выполнение только статических граничных условий для

получения удовлетворительного результата явно недостаточно. Действительно, при любом нагружении шарнирно опертой балки (в том числе и силами инерции в результате свободных колебаний масс) изгибающий момент на опорах должен быть равным нулю. В рассмотренном случае (при выборе функции прогиба в виде квадратной параболы вида (3.32)) изгибающий момент по длине балки будет постоянен:

M (x)= EJv′′(x)= EJ2a .

Для балки, изображенной на рис. 3.28 и нагруженной в процессе свободных колебаний силами инерции в местах установки масс, очевидно, изгибающий момент по длине балки переменен, принимая нулевые значения на опорах.

Рассмотрим теперь другой вариант функции прогиба. Предположим, что это — синусоида: v(x)= asin(bx).

Константу b определим из граничных условий. Первое условие: прогиб на левом конце балки при х = 0 выполняется при любых значениях постоянных a и b. Выполним второе условие:

v(l)= asin(bl)= 0 .

Откуда:

bl = kπ, k =1, 2, 3, ....

Приняв, что колебания происходят по одной полуволне синусоиды (первая форма колебаний) k = 1, получаем значение константы b = πl . Следовательно, форма прогиба имеет вид:

Просчитаем далее знаменатель этой формулы. Прогибы масс:

В итоге первая формула Рэлея дает частоты свободных колебаний:

0i=1

134

Получено практически точное значение частоты свободных колебаний. Это объясняется тем обстоятельством, что функция прогибов в виде (3.35) удовлетворяет не только кинематическим (прогибы на опорах равны нулю), но и статическим граничным условиям. Действительно, для шарнирно опертой балки, нагруженной в пролете системой сосредоточенных сил, изгибающие моменты на опорах также равны нулю. Если функция прогибов имеет вид (3.35), то изгибающий

Легко убедиться, что М(0) = 0 и М (l)= 0.

Задача 6. Определение минимальной частоты свободных колебаний с использованием второй формулы Рэлея.

На невесомой шарнирно опертой балке длиной l , обладающей изгибной жесткостью EJ, с равным шагом установлено три одинаковых груза массой m (см. рис. 3.28).

Требуется, используя вторую формулу Рэлея, найти низшую частоту свободных колебаний.

Решение.

Чтобы получить частоту свободных колебаний с помощью первой формулы Рэлея, требуется заранее задать форму колебаний, которая по возможности была бы как можно ближе к действительной. Это обстоятельство требует от инженера достаточно большого опыта, а зачастую и интуиции. Применение второй формулы Рэлея позволяет, выполнив стандартные вычисления, получить результат с достаточной точностью. Платой за это является требование высокой квалификации инженера и громоздкость вычислений.

Вторая формула Релея (см. соотношение (1.67)) имеет вид:

0i=1

Для ее реализации необходимо убрать с исходной балки все массы и нагрузить ее внешней нагрузкой. При этом, если балка тяжелая, то ее следует загрузить распределенной нагрузкой. Если на балке установлены сосредоточенные массы, то в местах их расположения следует приложить сосредоточенные силы. При этом количество этих сил не обязательно должно совпадать с количеством сосредоточенных масс (рис. 3.29). Далее решается задача сопротивления материалов и определяется вид функции прогибов. Для этой цели запишем универсальную формулу упругой линии для этой балки:

Рис. 3.29. Шарнирно опертая балка, нагруженная силой в середине пролета

Записав условия равенства нулю прогибов на опорах балки, определяются начальные параметры:

135

EJv0 = 0,

EJθ0 = Pl2 , 16

после чего функцию прогибов можно записать в виде:

Полученная таким образом кривая будет удовлетворять не только кинематическим, но и статическим граничным условиям. Просчитаем числитель в формуле (3.36). Распределенная нагрузка на балке q(x) равна нулю. Прогиб в середине пролета (в точке приложения действия силы) определяется по стандартной формуле:

v = Pl3 . 48EJ

Следовательно

Чтобы найти знаменатель в формуле (3.36), прежде определим прогибы балки в точках размещения масс.

С учетом этих соотношений (принимая во внимание, что по условию задачи балка считается невесомой m(х) = 0)

mP2l6

=1184,39(EJ )2 .

Витоге частота свободных колебаний балки:

Следовательно:

136

Задача 7. Определение минимальной частоты свободных колебаний с использованием метода переноса масс.

На невесомой шарнирно опертой балке длиной l , обладающей изгибной жесткостью EJ, с равным шагом установлено три одинаковых груза массой m (см. рис. 3.28).

Требуется, используя метод переноса масс, найти низшую частоту свободных колебаний.

Решение.

Частота свободных колебаний в этом случае определяется из равенства (см. (1.68))

В нашем случае m1 = m2 = m3 = m, а коэффициенты δii определяются по стандартной процедуре, принятой в строительной механике. С балки удаляются все массы, по направлениям возможных перемещений масс последовательно прикладываются единичные силы, от их действия строятся эпюры изгибающих моментов, которые сопрягаются сами на себя. Реализуем эту процедуру (см. рис. (3.31)):

Значение (3.40) на 3,65 % меньше точного результата (3.30).

Метод переноса масс по сравнению с методом Релея имеет значительные преимущества.

137

Первое. Метод достаточно прост. В процессе его реализации необходимо следовать стандартной процедуре, известной из курса классической строительной механики. При этом от инженера не требуется квалификации исследователя или особой интуиции.

Второе. Полученный результат достаточно близок к точному значению.

Третье. Полученный результат всегда дает значение низшей собственной частоты меньше истинной. Это обстоятельство в данном случае идет в запас прочности.

Четвертое. Метод переноса масс может быть использован для определения собственных частот не только прямых балок, но и любых других строительных конструкций. В частности, для рамы, рассмотренной в задаче 2, приближенное значение низшей собственной частоты с учетом соотношений (3.14) и (3.16) составляет:

Полученный результат на 3,1 % ниже точного значения (см. формулу (3.21)). Использование метода Релея в этом случае невозможно.

3.2. Устойчивость сооружений

Задача 8. Статический метод при расчете на устойчивость шарнирно звеньевой системы.

На шарнирно звеньевую систему, состоящую из трех одинаковых абсолютно жестких стержней длиной l, соединенных между собой шарнирами (см. рис. 3.32), действует продольная сила Р. Верхний и нижний шарниры опираются на жесткий фундамент, два средних — на упругие элементы (пружины) жесткостью c.

Определить критическое значение нагрузки статическим методом.

Решение.

Идея статического метода решения задачи устойчивости заключается в том, что наряду с исходным (в данном случае прямолинейным) состоянием системы предполагается существование еще одного равновесного (возмущенного, непрямолинейного) состояния. Далее решается вопрос, может ли существовать это возмущенное состояние. Если получают положительный ответ, то сооружение находится в безразличном состоянии равновесия, а сила, действующая на нее принимается критической. Поэтапно реализуем эту схему.

Первое. Придадим заданной системе малые возмущения. Для этого прежде определим число степеней свободы. В данном случае это число равно двум: возможны только горизонтальные перемещения точек В(уВ) и С(уС), как это показано на рис. 3.33. Предположим, что это возмущенное состояние является равновесным.

Второе. Докажем, что данная система в возмущенном состоянии может быть равновесной. Для этого запишем уравнения статики.

∑Х ≡ 0 : − Р + Х А = 0,

138

∑М А ≡ 0 : RD 3l − RC 2l − RBl = 0,

∑МD ≡ 0 : − RA3l + RB 2l + RСl = 0. Откуда после преобразований получаем:

Этих уравнений явно недостаточно: в систему трех линейных уравнений входят пять неизвестных (четыре реакции связей и неизвестная сила Р). Дополнительные уравнения равновесия запишем чуть позже, а пока заметим, что реакции в упругих элементах (пружинах) связаны с перемещениями уВ и уС соотношениями:

Запишем теперь в дополнении к уравнениям (3.41), (3.43) и (3.44) еще два уравнения статики. Вполне очевидно, что, если вся система равновесна, то и любая ее часть так же должна находиться в равновесии. На рис. 3.34 представлено нижнее звено системы в возмущенном состоянии. Составим уравнение моментов сил, действующих на нее, относительно точки В′:

Аналогично, рассматривая равновесие верхнего звена в возмущенном состоянии и составив

Соотношения (3.45) и (3.46) образуют систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно перемещений уВ и уС. Заметим, что очевидно тривиальное (нулевое) решение (уВ = 0 и уС = 0). Это значит, что уравнения равновесия (3.41), (3.43)–(3.46) будут выполняться в невозмущенном состоянии. Однако поставлена задача об исследовании равновесия системы именно в возмущенном состоянии, когда уВ ≠ 0 и уС ≠ 0 . Чтобы система линейных однородных алгебраи-

139