715

Вметодике расчета зданий и сооружений на сейсмостойкость, принятой в СНиП II–7–81, вместо задачи исследования ускорения и сейсмических нагрузок во времени определяются их максимальные значения в зависимости от динамических характеристик сооружения и уровня сейсмической опасности района строительства. Эти исследования основаны на статистических данных наблюдения результатов предшествовавших землетрясений, которые представляются в укрупненном виде так, что расчет на сейсмостойкость напоминает детерминированную форму.

Вформуле (1.93) отношение Wk (t) заменяется его максимальным значением, которое в нормах

g

представляется в виде произведения коэффициентов

В результате выражение для сейсмических сосредоточенных нагрузок принимает вид:

Поясним назначение коэффициентов K, А, βk .

Коэффициент А определяется ожидаемой силой землетрясения, выраженной в баллах, в районе строительства. Значения его приведены в табл. 1.1

Таблица 1.1

Коэффициент K представляется в виде произведения трех коэффициентов:

K = K1K2Kψ .

Величина коэффициента К1 зависит от степени допускаемых в здании или сооружении повреждений. Его значения изменяются в диапазоне от 0,12 до 0,25 в зависимости от назначения здания, а в особых случаях К1 принимается равным единице.

Особенности конструктивного решения здания или сооружения (например, каркасные здания, крупноблочные, панельные, число этажей и т.п.) учитываются коэффициентом K2, который принимает значения от 0,5 до 1,5.

Коэффициентом Кψ учитываются пониженные характеристики демпфирования колебаний для

отдельных типов высотных сооружений (например, башни, мачты, дымовые трубы и т.д.). Его значения составляют от 1,0 до 1,5.

При расчете мостов произведение коэффициентов (K1А) в зависимости от расчетной сейсмичности 7, 8 и 9 баллов принимают значения 0,025; 0,05 и 0,1 соответственно.

Коэффициент βk выражает зависимость ускорений и сейсмических нагрузок от периода Тk соб-

ственных колебаний сооружения, поэтому его называют коэффициентом динамичности. В нормах, на основе статистических исследований спектральных кривых ускорений грунта реальных землетрясений, принята следующая зависимость β от периода колебаний Т, выраженного в секундах.

В формуле (1.96) значения α , βmax зависят от категории грунта, лежащего в основании сооруже-

ния. Полное описание разделения грунтов на категории содержится в нормах. Так, например, для грунтов первой категории (скальные невыветрелые и слабовыветрелые) указанные коэффициенты принимают значения:

αI =1 0; βmax = 3 0 .

Таким образом, по формуле (1.95) вычисляются максимальные значения составляющих сейсмической нагрузки для каждой формы собственных колебаний сооружения. Эту нагрузку принимают в качестве независимой статической нагрузки, от которой в расчетных сечениях сооружения определяют внутренние усилия (продольные, поперечные силы, изгибающие моменты и т.д.) Nk . Поскольку максимумы сейсмической нагрузки для каждой формы собственных колебаний дости-

51

гаются в различные несовпадающие моменты времени, то расчетные внутренние усилия в сооружении вычисляются по формуле среднеквадратического осреднения

p

Nрасч = ∑Nk2 , k=1

где р — число форм собственных колебаний сооружения, учитываемых в определении сейсмической нагрузки.

Опыт расчетов и проектирования сооружений на сейсмостойкость показывает, что основной вклад в суммарные расчетные усилия вносят несколько первых форм собственных колебаний. Как правило, учитывают 3–5 первых форм колебаний. Общая рекомендация сводится к следующему постулату: чем больше податливость (меньше жесткость) сооружения, тем большее количество форм колебаний необходимо учитывать в сейсмических расчетах.

52

ГЛАВА 2. ОСНОВЫ УСТОЙЧИВОСТИ ИСКУССТВЕННЫХ СООРУЖЕНИЙ

2.1.Введение в курс устойчивости сооружений

2.1.1.Понятие устойчивого и неустойчивого равновесия

Рассмотрим равновесное положение круглого шарика, помещенного на дно впадины (рис. 2.1, а). Чтобы выяснить, в каком состоянии (устойчивом или неустойчивом) он находится, необходимо вывести его из исходного положения, приложив малую возмущающую силу Q (рис. 2.1, б) и проследить за его последующим поведением. Устойчивое состояние равновесия характеризуется двумя признаками:

1.Отклонение от первоначального положения равновесия пропорционально величине возмущающей силы Q (рис. 2.1, б).

2.После снятия возмущающей силы Q шарик возвращается в исходное состояние (рис. 2.1, в).

Рис. 2.1. Устойчивое состояние равновесия шарика

Если шарик находится на вершине холма (рис. 2.2), то его положение является неустойчивым. Ни один из вышеперечисленных признаков в этом случае не будет наблюдаться. Малейшее боковое возмущение приведет к тому, что он скатится к подножью холма и после снятия нагрузки назад не вернется.

Различают еще одно состояние равновесия: безразличное, которое можно рассмотреть как промежуточное между устойчивым и неустойчивым состоянием. В качестве иллюстрации такого состояния равновесия можно привести положение шарика на плоскости (рис. 2.3, а). При воздействие на него возмущающей силой Q (рис. 2.3, б) он сместится по горизонтальной плоскости на некоторое расстояние, и после ее снятия останется в том положении, в которое его переместит сила Q (рис. 2.3, в).

Рис. 2.3. Безразличное состояние равновесия шарика

2.1.2.Виды потери устойчивости

Втехнике и строительстве рассматриваются следующие виды потери устойчивости. 1. Устойчивость положения.

Опрокидывание подъемного крана или подпорной стенки (рис. 2.4) можно рассматривать как

потерю устойчивости положения. Если равнодействующая внешних сил R (веса крана G и веса поднимаемого груза P или веса подпорной стенки «G» и силы давления P на боковую грань стенки):

• пересекает опорную площадку, то эти устройства находятся в устойчивом положении (рис. 2.4);

Рис. 2.4. Устойчивое положение подъемного крана или подпорной стенки

•выходит за границы опорной площадки, то произойдет опрокидывание (потеря устойчиво-

сти);

•пересекает край опорной площадки — положение критическое: незначительное увеличение веса груза или давления грунта приведет к опрокидыванию конструкции.

2. Устойчивость движения.

53

Этот вид потери устойчивости можно рассматривать как наступление резонанса при колебании масс. Наиболее яркие примеры: флаттер висячего моста или крыла самолета, шимми передней стойки самолета и т.п.

3. Устойчивость прямолинейной формы деформированного состояния сжатых стоек. Этому виду потери устойчивости посвящен настоящий курс. Рас-

смотрим стойку, жестко защемленную с одной стороны и нагруженную сжимающей силой P, как это показано на рис. 2.5, а. Чтобы проверить в каком положении равновесия находится эта стойка, ее следует нагрузить некоторой случайной малой возмущающей силой Q (рис. 2.5, б). Если при таком нагружении отклонение от первоначально прямолинейного положения будет пропорционально величине силы Q (рис. 2.5, б), а после ее снятия стойка вернется в исходное положение (рис. 2.5, в), то такое состояние называется устойчивым. В случае если сжимающая сила достаточно велика, то при минимальном случайном малом боковом воздействии на стойку, она потеряет устойчивость: изгибные деформации теоретически приобретут бес-

конечные значения, а практически больше тех, при которых стойка способна воспринимать изгибающие моменты: она разрушится от изгиба.

Особое значение в теории устойчивости сжатых стоек имеет безразличное состояние равновесия. Оно реализуется в случае, если после снятия боковой возмущающей нагрузки, стойка остается в том положении, в которое ее переместила сила Q (рис. 2.6). Особенностью этого состояния является то обстоятельство, что кроме прямолинейной формы равновесия (случай, когда стойка еще не подверглась действию возмущающей силы Q (рис. 2.6, а)) существуют смежные (искривленные) формы равновесия, когда действие возмущающей нагрузки Q было прекращено (рис. 2.6, в). Величина силы P, при достижении которой стойка находится в безразличном состоянии равновесия, называется

критической.

В курсе сопротивления материалов были получены значения критических нагрузок для некоторых случаев опирания стоек постоянной жесткости. В инженерной практике встречается целый ряд более сложных задач по сравнению с теми, что решаются в курсе сопротивления материалов. Отметим некоторые из них.

1.Учет веса стержня (рис. 2.7).

2.Стержни переменного сечения (рис. 2.8).

3.Податливое (упругое) защемление стержня (рис. 2.9).

4.Стержни, работающие в системе упругих стержней: рамы и т.п. (рис. 2.10).

5.Устойчивость кривых стержней: арок, очерченных по кривой давления (рис. 2.11).

6.Потеря плоской формы изгиба высокой балки (рис. 2.12). При некотором значении силы P, действующей в вертикальной плоскости, балка начинает скручиваться и изгибаться в горизонтальной плоскости.

54

2.2.1. Статический метод решения задач потери устойчивости

Суть метода заключается в том, что наряду с исходным (прямолинейным) состоянием равновесия предполагается существование смежного деформированного (искривленного) состояния равновесия конструкции. Затем решается вопрос, может ли существовать это искривленное состояние? Если получаем положительный ответ, то это состояние соответствует безразличному состоянию равновесия, а сила, действующая на конструкцию, является критической.

Проиллюстрируем это определение на простом примере. Пусть имеется абсолютно жесткий стержень длиной l. Нижний конец стержня шарнирно закреплен (точка А). Верхний — свободен. Стержень удерживается в вертикальном положении пружиной с коэффициентом жесткости c, которая установлена на расстоянии a от шарнира (точка С). Стержень нагружен силой Р в точке В, как это показано на рис. 2.14.

В исходном (невозмущенном) состоянии (рис. 2.14) стержень находится в равновесии, занимая строго вертикальное положение. Чтобы определить величину критической силы, согласно предложенному определению предположим, что наряду с исходным (вертикальным) существует возмущенное (наклонное) равновесное состояние (рис. 2.15). Для этого повернем стержень относительно точки А на бесконечно малый угол так, что верхняя точка В переместится в положение В1. При этом пружина растянется, и точка С займет положение С1. Теперь нужно ответить на вопрос: а будет ли стержень в этом возмущенном положении находиться в состоянии равновесия? Это возможно, если сумма моментов сил, действующих на стержень (рис. 2.16), относительно точки А будет равна нулю:

∑М А = РуВ − RC a = 0 .

Сила, возникающая в пружине при растяжении, пропорциональна расстоянию уС:

а

RC = суС = с l уВ .

Здесь учтено, что из геометрических построений (см. рис. 2.16) следует уС = ауВ l . С учетом такого представления реакции пружины уравнение равновесия приобретает вид:

Анализируя последнее равенство, можно сделать вывод, что оно будет выполняться в двух случаях. Первый: перемещение точки В равно нулю. То есть исключается возмущенное (наклонное) равновесное состояние стержня. Этот вариант рассматривать не будем, так как он противоречит определению. Второй — равенство нулю выражения в скобках. Отсюда получаем:

Подведем итог. Для решения задачи устойчивости стержня предполагалось, что наряду с исходным (вертикальным) состоянием равновесия стержня существует по крайней мере еще одно

56

возмущенное (смежное, наклонное) равновесное состояние. Затем решался вопрос: может ли существовать возмущенное равновесное состояние системы? Для этого было составлено уравнение статики (именно по этой причине метод называется статическим). Из решения уравнения равновесия было определено значение силы (равенство (2.1)), при достижении которой возможно существование наклонного положения стержня, которое можно рассматривать как его безразличное состояние равновесия. Силу Р, описываемую равенством (2.1), называют критической.

Рассмотрим далее вопрос об устойчивости прямолинейного, центрально сжатого, упруго деформируемого стержня на конкретном примере (рис. 2.17, а). Пусть сила P такова, что кроме прямолинейной существует искривленная (деформированная) форма равновесия. Существенно, что в этом состоянии стержень имеет малые деформации. Необходимо связать силу P с изогнутой формой стержня. Для этой цели воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой оси стержня, известным из курса сопротивления материалов:

Здесь (см. рис. 2.17, б):

M (x)= −Py + Q(l − x).

При записи уравнения моментов используем правило знаков, принятое в курсе сопротивления материалов: изгибающий момент считается положительным, если от его действия растягиваются нижние (правые) волокна. С учетом вышесказанного, уравнение (2.2) приобретает вид:

y′′ = − Py + Q(l − x) ,

Уравнение (2.3) относится к классу неоднородных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение такого уравнения складывается из двух слагаемых: общего решения однородного дифференциального уравнения у и частного

~

решения неоднородного дифференциального уравнения у :

В решение (2.5) входят три неизвестных постоянных: А, В и Q. Чтобы их найти, запишем граничные условия:

x = 0 : y(0)= 0, y′(0)= 0, x = l : y(l)= 0.

Имеем три уравнения для нахождения трех неизвестных: А, В и Q. Реализуем граничные условия:

57

Получили систему однородных линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных, которая имеет очевидное нулевое (тривиальное) решение: A = 0, B = 0, Q = 0, следовательно (см. решение (2.5)), у = 0, то есть стержень не изгибается (остается прямым). Это соответствует его состоянию до потери устойчивости. Однако нас интересует такое состояние, когда стержень находится в равновесном деформированном (искривленном) состоянии: у(х)≠ 0 . Нетривиальное

(ненулевое) решение дает равенство нулю главного определителя системы алгебраических уравнений подобно тому, как это было сделано в п. 1.4.1 (см. также условие (1.38)):

Уравнение (2.6) относится к классу трансцендентных, которое в данном случае имеет бесконечное множество корней. При решении реальных инженерных задач наибольший интерес представляет наименьший корень, которому соответствует наименьшее значение критической нагрузки. Решение трансцендентного уравнения (2.6) возможно численно или графически (рис. 2.18). На координатной плоскости по оси абсцисс откладывается аргумент ( nl ), а по оси ординат значения тангенсоиды (левая часть уравнения (2.6)) и линейной функции (правая часть уравнения (2.6)). Затем строятся эти графики (рис. 2.18). Определяются их точки пересечения. Минимальное значение аргумента ( nl ), отличное от нуля, является решением уравнения (2.6): nl = 4,493 . Подставляя его в равенство

Рис. 2.18. Графическое определение критического параметра

58

Таким образом, если Р = Ркр, то возможно существование деформированных (искривленных) форм равновесия, то есть стержень находится в безразличном состоянии равновесия. Отметим далее, что уравнение (2.6) имеет бесконечное множество корней (линейная функция и ветви тангенсоиды имеют бесконечное число пересечений (см. рис. 2.18)). Но другие решения дают бо´льшие значения критической силы, чем то, которое определяется формулой (2.7).

2.2.2.Энергетический метод решения задач устойчивости

Внекоторых случаях при решении задач устойчивости статическим методом не удается получить результат. Это объясняется тем обстоятельством, что сложно, а иногда и невозможно аналитически решить дифференциальное уравнение, описывающие состояние сооружения в возмущенном состоянии. В таком случае при исследовании устойчивости строительных конструкций целесообразнее применить другие приемы, в частности энергетический метод, при использовании которого можно обойтись без интегрирования.

Суть энергетического метода заключается в исследовании изменения полной потенциальной энергии Э упругой системы при ее переводе из исходного (недеформированного) состояния в смежное (искривленное, деформированное) состояние (рис. 2.19).

Э > 0 Э = 0 Э < 0

Рис. 2.19. Знак приращения потенциальной энергии шарика в устойчивом (а), безразличном (б), неустойчивом (в) положении

Проиллюстрируем, как изменяется потенциальная энергия системы, если она пребывает соответственно в устойчивом, безразличном и неустойчивом положении на известном из п. 2.1.1 примере: шарик находится во впадине (рис. 2.19, а), на плоскости (рис. 2.19, б) и на вершине (рис. 2.19, в). Очевидно, что если шарик находится в устойчивом положении, при его переводе в возмущенное состояние потенциальная энергия возрастает. Это отличается от случая неустойчивого положения шарика на вершине холма: при скатывании его потенциальная энергия уменьшается. В безразличном состоянии перевод шарика в возмущенное состояние не изменяет его потенциальной энергии. Подводя итог, отметим, что в устойчивом состоянии полная потенциальная энергия системы минимальна, в неустойчивом состоянии — максимальна.

Признак критического состояния системы, находящейся в безразличном положении равновесия: при переходе системы из исходного состояния в возмущенное приращение полной потенциальной энергии равно нулю.

Исследуем устойчивость абсолютно жесткого стержня, ранее рассмотренного в п. 2.2.1 (см. рис. 2.14), энергетическим методом. Силу Р в этом случае будем рассматривать как вес некоторого объекта, установленного в верхней точке стержня АВ (рис. 2.20). В отличие от статического метода, при реализации которого в процессе поворота стержня вертикальные перемещения точки В считаются малыми второго порядка и ими пренебрегают (см. рис. 2.15), при использования энергетического метода необходимо учитывать опускание точки приложения груза Р на некоторое малое расстояние δ (рис. 2.21). Потенциальная энергия в исходном состоянии определялась только положением груза. Пружина не растянута, поэтому ее потенциальная энергия равна нулю. При переводе системы в возмущенное положение (рис. 2.21) поворотом стержня на малый угол γ, с одной стороны, уменьшается энергия груза за счет его опускания, а с другой — происходит растяжение пружины, значит, увеличение ее потенциальной энергии. Запишем, как изменится общая потенциальная энергия системы в процессе ее перевода из исходного состояния в возмущенное. Уменьшение потенциальной энергии груза:

Знак «минус» в последнем равенстве поставлен по той причине, что при опускании груза про-

59