Экзаменационный вопрос № 28. Линейное программирование (задача планирования производства).
Источник: Электронный ресурс [URL]: http://booksee.org/book/479107 (дата обращения: 05.01.18)
Линейное программирование (задача планирования производства).
Задача планирования производства содержательно ставится следующим образом. Пусть имеется некоторый экономический объект (предприятие, цех, артель и т.п.). Необходимо спланировать производство n видов продукции, если известно:
1. на
производство всех видов продукции
используется m видов ресурсов, причем
запасы каждого из них ограничены, и
пусть
– это количество ресурса
вида, которое имеется в наличии;
2. известна
величина
–
количество
ресурса (
),
которое затрачивается на производство
одной единицы j-го продукта (j=1,2,…,n);
3. известна
стоимость
(
)
реализации одной единицы
продукта.
Требуется составить оптимальный план производства продукции, то есть такой план, который максимизирует суммарную прибыль от реализации всей произведенной продукции и при этом не происходит перерасхода ресурсов. Строим экономико-математическую модель задачи. 1. Выбираем управляемые переменные, то есть такие переменные, на которые вы можете воздействовать и значения которых собираетесь искать в вашей задаче. Имеющиеся данные, на значения которых вы не можете влиять, называются константами или параметрами.
Введем
переменную
(
)
– количество выпускаемой продукции
j-го вида.
2.Построим функцию
цели,
отражающую эффективность решения
задачи. Ее значения зависят от значений
управляющих переменных, и она дает
возможность сравнивать варианты решений
по эффективности.
В
нашем случае такой функцией является
суммарная прибыль
.
(1)
Мы
будем максимизировать функцию
цели.
3.Введем
ограничения на управляемые переменные
– количество ресурсов каждого вида
ограничено величиной
(
).
(2)
К
системе (2) также должны быть добавлены
естественные ограничения на
неотрицательность компонентов плана
производства:
,
(3)
Решить
задачу –
значит найти такой вектор
,который
будет удовлетворять всем ограничениям
(2), (3) и максимизировать функцию цели.
Легко
заметить, что функция
–
линейная, так как все переменные
используются в ней только в первой
степени. Ограничения (2) представляют
собой систему линейных неравенств, (3)
– также линейное неравенство. Такую
задачу называют задачей
линейного программирования (ЗЛП).
Линейное
программирование
– наука о методах исследования и
отыскания экстремальных (наибольших и
наименьших) значений линейной функции,
на неизвестные которой наложены линейные
ограничения. Эта линейная функция
называется целевой, а ограничения,
которые математически записываются в
виде уравнений или неравенств, называются
системой ограничений.
Оптимальным решением задачи линейного программирования называется решение системы ограничений, удовлетворяющее условию, при котором целевая функция принимает оптимальное (максимальное или минимальное) значение.
К основным задачам линейного программирования относятся:
- задача об использовании ресурсов (задача планирования производства),
- задача составления рациона (задача о диете, задача о смесях),
- задача об использовании мощностей (задача о загрузке оборудования),
- задача о раскрое материалов,
- транспортная задача и т.д.