книги / Переработка полимеров

мации провода наматывать последний на приемный барабан. Затем он проходит электрический контроль, где происходит проверка толщины и целостности изоляции, скорости изолирования, а также фиксируется метраж, далее изделие поступает на тянущее устройство 10, оттуда – к приёмному устройству 11.

Скорость изолирования зависит от типа полимера и диаметра провода. При наложении первичной изоляции из ПЭНП и ПВХ на тонкие провода линейная скорость экструзии на современных зарубежных линиях достигает 1000–1500 м/мин. Линии для изоляции кабелей имеют аналогичную конструкцию, но работают при значительно меньших скоростях.

Основным элементом в технологической цепочке процесса наложения изоляции на провода и кабели является пластифицирующий экструдер. Для каждого конкретного провода с определённым диаметром и заданным материалом изоляции скорость нанесения изоляции будет определяться в значительной мере (на 90%) производительностью экструдера.

2. Физико-механические основы переработки полимеров. Явления переноса

Прикладная наука о транспортных явлениях рассматривает перенос массы, количества движения и энергии. Она включает в себя теоретические правила, с помощью которых решают задачи, связанные с течением жидкостей, теплопереносом и диффузией в различных средах и др.

Рассмотрим основные соотношения теории переноса:

закон сохранения массы;

закон сохранения количества движения;

закон сохранения энергии.

Используя математическую формулировку всех трех законов, получают определяющую систему дифференциальных уравнений в частных производных, отражающих указанные выше законы сохранения. Полученную систему уравнений за-

11

мыкают условиями однозначности, характеризующими конкретный рассматриваемый процесс, что, в свою очередь, позволяет разрабатывать математические модели процессов тепло-

с проблемами качества, интенсификации производства и т.п. Рассмотрим каждый из законов сохранения и выведем соот-

ветствующие уравнения.

2.1. Уравнение неразрывности

Простейшее из уравнений баланса – уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы.

Рассмотрим элементарный объем в декартовых координатах x, y, z, через который со скоростью (x, y, z, t) протекает однородная жидкость плотностью (x, y, z, t)* (рис. 2.1.).

Рис. 2.1. Элементарный объем в декартовой системе координат

* Плотность – это количество массы в единице объёма, кг/м3.

12

Принцип сохранения массы в фиксированном объеме пространства V = dxdydz может быть записан в виде

(скорость накопления массы в V) = (скорость подвода массы в V) + (скорость отвода массы из V).

Плотность среды в точке определяется пределом отношения

ρ lim m .

V 0 V

Разложим вектор скорости на компоненты по направлению осей координат.

x (x, y, z, t), y (x, y, z, t), z (x, y, z, t)

Рассмотрим произведение ρ x , представляющее собой рас-

ход материала на единицу площади (количество материала, проходящего через единицу площади в единицу времени в направ-

Тогда произведение, взятое в сечении x, – ρ x dydz x , опре-

деляется как количество материала, проходящего в единицу времени в направлении оси x через площадку dydz в сечении x,

êãñ .

ρ x dydz x dx – количество материала, протекающего в еди-

ницу времени через противоположную грань элементарного объема в сечении x+dx.

Для остальных направлений координат с соответствующими компонентами скорости подобные выражения могут быть получены аналогично.

Разность между расходами материалов для двух противоположных граней в трех различных направлениях определяет скорость накопления материала внутри выделенного элементарного объема V, что приводит к увеличению плотности внутри заданного объема.

13

ρ x x ρ x x dx dydz,

ρ y y ρ y y dy dxdz,

ρ z z ρ z z dz dxdy.

Если плотность внутри объёма , то изменение плотности во времени ρt , тогда скорость накопления массы (увеличение масса материала в единицу времени в данном объеме, êãñ ) равна

ρt V , что, в свою очередь, равно алгебраической сумме пото-

ков массы (входящих и выходящих) через шесть граней куба:

Каждая скобка в левой части уравнения (2.1) представляет собой чистый приток массы через три главные плоскости куба (диффузионные потоки через поверхность куба равны нулю, поскольку жидкость однородная).

Разделим каждый член уравнения (2.1) на элементарный объем dxdydz при условии, что размеры куба стремятся к нулю. Переходя к пределу, получим для направления x

Знак минус в полученной производной обусловлен геометрическим построением и выбранным направлением течения, при котором последующее значение функции вычитается из предыдущего.

* Геометрически сменили знак производной.

14

Таким образом, проделывая аналогичные операции для двух оставшихся направлений осей координат, преобразуем выраже-

ние (2.1).

Раскроем левую часть (2.2).

Уравнения (2.2) и (2.3) называют уравнениями неразрывности.

В случае если плотность материала не зависит от какихлибо параметров (давления, температуры) и слабо зависит от времени, т.е. не происходит накопления материала в объеме ( = const), уравнение неразрывности переходит в уравнение

–уравнение несжимаемости.

2.2.Силы в сплошной среде. Тензор напряжения

Вдинамике сплошных сред принято выделять два класса сил, действующих на частицы среды: объёмные (иногда их называют массовыми) и поверхностные силы. Под объёмными силами понимают такие, которые действуют на элементы объёма, например силы веса, притяжения, инерции, силы действия магнитного и электрического поля. К поверхностным относят силы, которые при принятом в механике сплошных сред макроскопическом подходе действуют на элементы поверхности, как, например, силы давления, силы реакции и т.д.

15

В отличие от динамики систем дискретных точек (теор. механика) в динамике сплошных сред имеют дело не с самими силами, а с плотностью их распределения в пространстве. Так, под объёмной силой FV в данной точке m среды понимают предел

отношения главного вектора R сил, приложенных к точкам малого объёма V, заключающего в себе точку m, к элементарному объему V, когда последний стремится к нулю, сохраняя внутри себя точку m, т.е.

В качестве примера можно указать, что в случае сил веса F = mg в механике сплошных сред распределенная сила определяется как Fm = g (массовая).

Аналогично поверхностные силы будут задаваться своей плотностью распределения, называемой напряжением.

где P' – главный вектор сил, приложенных со сторон среды к некоторой выделенной в среде малой площадке S.

Отметим основное различие между двумя векторами F и P: в то время как вектор F является однозначной векторной функцией точек пространства и времени, т.е. образует векторное поле, вектор P принимает в каждой точке пространства бесчисленное множество значений в зависимости от ориентировки площадки, к которой приложено напряжение, и, следовательно, векторное поле не образует.

Таким образом, возникает иллюзия, что существует бесконечное множество независимых способов описания напряжённого состояния среды. Для полного и однозначного описания напряжённого состояния в точке (и в целом в среде) определяют

тензор напряжений.

16

Рассмотрим вырезанный в среде элементарный тетраэдр OABC с вершиной в начале координат точке O, основанием в виде треугольника ABC, образованного пересечением наклонной плоскости с тремя координатными плоскостями, и боковыми гранями, расположенными вкоординатных плоскостях, рис. 2.2.

Рис. 2.2. Поверхностные силы, действующие на среду

Обозначим площадь ABC через SABC, а площади треугольников OBC, OAB, OAC, представляющие проекции ABC на координатные плоскости, SOAC, SOAB, SOBC.

Pn – уравновешенная поверхностная сила, действующая на среду; Px , Py , Pz – силы, действующие на соответствующие

площадки; n – вектор нормали к поверхности, ограниченной треугольником ABC.

Пренебрегая действием массовых сил в среде (в рассматриваемом объёме), составим выражение баланса сил.

17

Заметим, что

SOBC SABC cos nx SABC nx ,

SOAB SABC cos ny SABC ny ,

SOAC SABC cos nz SABC nz .

Подставив эти равенства в (2.5) и сократив на SABC, получим

При принятых обозначениях первый подстрочный индекс при напряжении P обозначает ось, перпендикулярно которой ориентирована площадка, второй индекс – ось, на которую спроектировано напряжение. Так, Pxz определяет проекцию на ось z напряжения, приложенного к площадке, имеющую нормаль ось x.

Величины с одинаковыми индексами Pxx, Pyy, Pzz, которые представляют проекции векторовPx , Py , Pz на нормали к соот-

ветствующим площадкам, называются нормальными напряжениями, а остальные – это касательные напряжения.

Система равенств (*) показывает, что проекции на оси координат напряжения, приложенного к любой наклонной площадке, выражаются линейно через проекции напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам, лежащим в координатных плоскостях. Совокупность этих компонент, лежащих в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, образуют тензор второго ранга, который и называется тензором напряжения.

18

Pxx Pyx Pzx

P Pxy Pyy Pzy

Pxz Pyz Pzz

В задачах механики жидких и твёрдых сред используется закон парности касательных напряжений: τxy τyx ; τxz τzx ; ,

τzy τyz , т.е. тензор напряжений является симметричным тензо-

ром. Таким образом, для полного описания напряжённого состояния в точке m необходимо знать только шесть независимых компонент тензора напряжений.

Таким образом, напряжённое состояние полностью определяется в точке M, если задать компоненты векторов напряжений на трёх взаимно перпендикулярных плоскостях, проходящих через точку M. Для полного описания напряжённого состояния необходимо знать девять компонент – по три для каждого вектора. Каждую компоненту можно описать двумя индексами i и j. Первый индекс указывает ориентацию площадки, второй – направление действия силы.

Компоненты тензора напряжений в пространстве располагаются следующим образом (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Пространственное представление тензора напряжения

19

2.3. Уравнение движения

Уравнения движения получают на основе закона сохранения главного вектора количества движения, который гласит сле-

дующее: изменение главного вектора количества движения ( K ) во времени в объеме dV равно сумме всех сил, приложенных

кэтому объему.

Вслучае материального тела, все точки которого имеют одну и ту же скорость перемещения, главный вектор количества движения представляет собой просто произведение массы тела на его скорость, а указанный закон сохранения выражается законом импульса тела.

F m K . t t

Для среды, каждая частичка которой имеет свое значение скорости, главный вектор количества движения представляет собой алгебраическую сумму произведений скоростей частицы среды на ее элементарную массу.

K dm .

m

В соответствии с законом, сформулированным выше, приравнивая индивидуальную производную по времени от главного вектора количества движения к главному к вектору внешних массовых и поверхностных сил (сумма всех действующих сил на среду), получим

20