книги / Переработка полимеров

Выражение слева представляет собой напряжение, которое определяется как сила, действующая на единицу площади в плоскости с нормалью y и в направлении z, т.е. yz.

Так как профиль скорости линеен, то выражение справа представляет собой градиент скорости, т.е. yz , следовательно,

yz ~ yz .

Коэффициентом пропорциональности в полученном выражении для простого течения является величина вязкости материала.

yz yz ,

где – динамическая вязкость*

материала.

Вследствие молекулярного взаимодействия в жидких средах возникают силы внутреннего трения, которые придают среде свойство, называемое вязкостью. Различают сдвиговую и объемную вязкость среды. Первая характеризует способность жидкости оказывать сопротивление движению ее слоев относительно друг друга. Динамическая вязкость µ имеет размерность в системе СИ – Па·с. Объемная вязкость жидкой среды проявляется во время объемной деформации среды с большими скоростями в том, что возрастает диссипация (рассеивание) механической энергии. Вязкость среды существенно зависит от ее физических особенностей, а также условий, в которых находится среда.

* Вязкость – характеристика, определяющая сопротивление среды при ее течении или сдвиге, [Па с].

31

Математическое выражение связи напряжений и скоростей деформаций для неньютоновских жидкостей различны, многообразны и получаемы обычно эмпирическим путём.

В кабельной промышленности, где для наложения изоляции или оболочки кабелей используются полимеры, расплавы которых ведут себя как псевдопластические жидкости, наиболее распространённым реологическим законом является степенной закон. В этом случае закон течения для нелинейных сред, подчиняющихся степенному закону, имеет вид

ij ý ij ,

где э – эффективная вязкость, определяемая степенным законом

здесь 0 – коэффициент консистенции, или начальная вязкость; I2 – второй инвариант тензора скоростей деформаций; n – показатель аномалии.

Инвариант тензора – это величина, не зависящая от выбора системы координат.

I1 11 22 33 – первый инвариант тензора скоростей деформаций;

I2 ij ji – второй инвариант тензора скоростей де-

i j

формаций.

В декартовой системе координат

I2 2 xx 2 yy 2 zz 2

yx xy 2 zy yz 2 zx xz 2 .

34

Кроме того, что вязкость для большинства полимерных материалов является функцией скорости сдвига, для всех материалов без исключения характерна её температурная зависимость, всегда ниспадающая, что можно видеть на рис. 2.9.

Рис. 2.9. Характерные зависимости вязкости полимеров от температуры: 1, 2, 3 – материалы с разной молекулярной массой, µ1 > µ2 > µ3

Математически эта зависимость может быть представлена двумя различными выражениями:

уравнением Аррениуса

U

A ekT ,

уравнением Рейнольдса

Be T B e T T0 ,

где A, B – характеристики материала; U – энергия активации; k – постоянная Больцмана; T – температура; – температурный коэффициент.

С учётом зависимости T имеем реологическое уравне-

ние, в общем случае описывающее поведение псевдопластичекого материала,

3.Постановка задачи

3.1.Уравнения Навье–Стокса.

Общая система дифференциальных уравнений

Для получения определяющей системы дифференциальных уравнений, описывающих течение линейной несжимаемой жидкости, рассмотрим уравнения движения в напряжениях.

Для компоненты скорости x

В правой части уравнения (3.1) вместо ij подставим уравнения (2.21), левую частьуравненияобозначим величинойА, получим

Поскольку жидкость – ньютоновская, = const, следовательно, µ можно вынести за знак производной.

36

3.2. Условия однозначности. Упрощающие предположения

Вышеприведённая система дифференциальных уравнений выведена на основе общих законов физики, то есть описывается процесс тепломассообмена в жидкой среде в общем случае. Поэтому можно сказать, что полученные уравнения описывают целый класс явлений или процессов. Чтобы из их бесконечного количества выделить единственно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к системе дифференциальных уравнений необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с системой дифференциальных уравнений дают полное математическое описание процесса движения и теплообмена, называются

условием однозначности или краевыми условиями. Условия однозначности включают в себя:

1)геометрические условия;

2)физические условия;

3)начальные (временные) условия;

4)граничные условия.

1.В геометрических условиях задаются форма и размер канала, в котором протекает процесс.

2.В физических условиях определяются теплофизические

(теплоемкость С, плотность , теплопроводность ) и реологические (коэффициент консистенции 0, показатель аномалии n, температурный коэффициент) характеристики материала. Может быть задан закон распределения внутренних источников тепла, закон зависимости характеристик материала от температуры и координат.

3. Начальные условия (НУ) необходимы при рассмотрении нестационарных (изменяющихся во времени) процессов, определяют значения функций процесса (температуры, скоростей, напряжений в материале и др.) в начальный момент времени. В общем случае начальные условия аналитически могут быть записаны следующим образом:

38

T x, y, z,0 f x, y, z ,

i x, y, z,0 fi x, y, z .

При равномерном распределении температуры в теле и в состоянии покоя (без движения) начальноеусловиеупрощается.

T x, y, z,0 T0 ,

i x, y, z,0 0.

4. Граничные условия (ГУ) характеризуют взаимодействие среды с границами или стенками канала. Задаются некоторые значения, определенные физической постановкой задачи искомой функции на границе. Граничные условия, как и начальные, могут быть заданы несколькими способами. Существуют граничные условия I, II, III и IV родов.

ГУ I рода: задаётся значение самой функции на границах для каждого момента времени:

Tг T x, y, z, ,

г x, y, z, .

В частном случае, когда искомая функция (величина ее) на границе остается постоянной в любой момент времени, ГУ упрощаются.

Tг Tв,

г в.

ГУ II рода: задаются значения производной функции, например:

39

ГУ III рода – условия, в которых задается комбинация

Такого рода граничные условия наиболее характерны для задач теплопроводности и выражают закон Ньютона–Римана:

ГУ IV рода возникают тогда, когда рассматриваются разнородные среды, например задается равенство потоков тепла на границе раздела сред.

В процессе наложения пластмассовой изоляции и при переработке полимеров методом экструзии возникают наиболее характерные условия на границе.

1.Условие прилипания – жидкость прилипает к любой твердой поверхности и имеет ту же скорость, что и твердая поверхность, т.е. относительной скорости не существует, она равна нулю. Следовательно, у неподвижной стенки скорость жидкости равна нулю, а на подвижной границе материал имеет то же значение скорости, что сама стенка. Такие ГУ свойственны обычным режимам течения при переработке полимеров.

Экспериментальное подтверждение отсутствия проскальзывания полимерных расплавов при низких скоростях течения было представлено английским ученым К. Оттером. В своем эксперименте он использовал для наблюдения некоторые частицы, введённые в расплав полиэтилена, и изучал условия течения расплава вблизи стенки.

2.Проскальзывание на границе возникает в случае повышенных скоростей движения и очень часто при деструкции материала. Суть в том, что близлежащие слои не приобретают ту

40