книги / Переработка полимеров

Найдем С2.

Знак “–”указывает на то, что жидкость течёт в направлении уменьшения давления. Подставляя полученное выражение дляz в уравнение энергии, можем найти температуру.

Интегрируя, введем для удобства константу

51

4. Виды и режимы течения

Ранее были рассмотрены наиболее простые виды течений – между двумя параллельными пластинами и в трубе.

В общем случае различают два основных вида течений:

1)течение Куэтта: а) простое; б) обобщенное;

2)течение Пуазейля.

Оба этих течения наблюдаются как в трубах, так и в плоских каналах.

Простое течение Куэтта (рис. 4.1, а) – это такое течение вязкой жидкости, которое вызвано поступательным движением одной из поверхностей канала.

Это наиболее простой вид течения – безнапорное течение, при котором верхний слой жидкости увлекается движущей пластиной, а нижележащие слои приходят в движение за счёт наличия сил трения.

Обобщенное течение Куэтта (рис. 4.1, б) – течение напор-

ное, возникающее под действием двух возмущающих факторов: движения стенки с постоянной скоростью и перепада давления.

52

Рис. 4.1.Течение Куэтта: а – в плоской щели; б – в цилиндрическом зазоре

На рис. 4.2 приведены эпюры скоростей при действии градиентов давления разных знаков. Видно, что отрицательный градиент давления способствует течению материала в канале, увеличивая величину расхода.

Рис. 4.2. Обобщенное течение Куэтта при действии градиента давления разных знаков

Течение Пуазейля – чисто напорное течение, возникающее под действием только перепада давления (рис. 4.3). Градиент давления имеет отрицательное значение, поскольку величина давления на входе в канал больше величины давления на выходе из канала. В этом случае среда течет слева направо.

Течение Куэтта, как и течение Пуазейля, могут протекать при двух технологических режимах: 1) режиме заданного градиента давления; 2) режиме заданного расхода.

53

Рис. 4.3. Течение Пуазейля

Для первого случая течения в уравнении движения величина градиента давления задана и постоянна, а величина расхода определяется по уравнению расхода. Во втором случае градиент давления – неизвестная константа, которая находится тоже из уравнения для расхода.

Расход в случае одномерного течения определяется по известной формуле

рина канала.

Для цилиндрической системы координат, где элементарная площадка представляет собой развернутое на плоскость элементарное кольцо (рис. 4.4), выражение для расхода примет вид для одномерного течения, то есть когда функция скорости зависит только от одной переменной

Q 2 R z rdr .

0

Рис. 4.4. Эквивалентная площадь элементарного кольца

54

Поскольку при y = 0 скорость из граничных условий равна нулю, C2 = 0.

Из второго граничного условия найдем C1.

Тогда, подставив (4.3) в (4.2), получим выражение для скорости через неизвестный пока градиент давления.

Далее определяем значение градиента давления, подставив в уравнение для расхода выражение (4.4).

Проинтегрировав (4.5), получим

Далее определим неизвестное значение градиента давления через значение заданного расхода.

Тогда, подставив (4.6) в (4.4), получим окончательное выражение для скорости.

Пример 4.2. Течение Пуазейля (рис. 4.6).

Рассмотрим течение Пуазейля в плоском канале (расстояние между двумя бесконечными пластинами Н) в режиме заданного градиента давления. Ламинарное течение ньютоновской жидкости, стационарное, установившееся, изотермическое под дейст-

56

вием перепада давления. Уравнения движения и граничные условия для плоского канала в декартовой системе координат в заданной постановке примут вид

После интегрирования, проведенного аналогично предыдущим задачам, получим выражение для продольной скорости. Далее, используя граничные условия, определим константы интегрирования.

Выражение для скорости примет следующий вид:

z 1 P y H y . 2 z

Получим выражение для расхода

5. Определение реологических уравнений по экспериментальным данным

Для решения задач течения вязкой неньютоновской жидкости необходимо знать связь между тензором напряжений и тензором скоростей деформаций (реологические уравнения). Сущест-

57

вует множество законов, описывающих с разной степенью достоверности поведение среды, но все они основываются на экспериментально полученных данных. Чаще всего используют зависимости расхода материала от приложенного давления (для капиллярных вискозиметров) при различных температурах среды.

При проведении экспериментов на капиллярном вискозиметре особое внимание уделяют обеспечению однородности поля температур и исключению потерь на трение между поршнем и цилиндром. Поэтому будем считать, что эти условия выполнены, и задача может быть рассмотрена в изотермической постановке. Кроме того, поскольку длина капилляра много больше его радиуса, движение можно считать установившимся. Силы тяжести не учитываются, так как они значительно меньше вязкостных сил.

Рассмотрим капилляр радиусом R и длиной L, в котором под действием перепада давления P движется среда с вязкостью μэфф, расход которой Q замеряется экспериментально.

В качестве исходной точки для определения количествен-

движения (в цилиндрической СК).

Рис. 5.1. Схема течения в капиллярном вискозиметре

где L – длина капилляра, P – перепад давления;

58

Интегрируем уравнение (5.1), обозначим для простоты rz через , получим

Получив зависимость напряжения от радиуса и перепада давления, мы стремимся получить зависимость от , исполь-

Реологический закон выполняется для любой точки среды, следовательно, и на пристенном участке тоже, тогда

; w ýô ô w .

Из последнего уравнения следует, что если по экспериментальным данным удаётся определить величину w , то, исполь-

зуя выражение (5.3), можно установить зависимость вязкости от напряжения сдвига или от скорости сдвига.

Запишем выражение для объемного расхода Q для рассматриваемого случая течения.

Интеграл вправой частивыражения(5.4) возьмемпо частям*:

* UdV UV VdU

59