книги / Современные проблемы биомеханики

mar = f + (−mae ) + (−mac ).

Полученное соотношение (6.5) индифферентно и верно

влюбой системе отсчета.

6.8.ОБЪЕКТИВНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

ВМОДЕЛИ МАКСВЕЛЛА

ξ = Aσ+ Bσ,

Скажем несколько слов об определяющем соотношении (6.6). Для одноосного случая соответствующий структурный элемент показан на рис. 6.4.

101

ξxx = ξx ' x ' cos2 ωt = A P cos2 ωt.

S

Далее решим эту задачу с точки зрения неподвижного наблюдателя. В этом случае имеем

В результате получим соотношения (6.9) и (6.10), которые противоречат друг другу. Однако скорости деформации, вычисленные в двух системах отсчета, отличающихся движением твердого тела, должны быть одинаковыми.

В чем же заключается ошибка наших рассуждений? Естественно предположить, что определяющее соотноше-

ние (6.6) верно в подвижной системе отсчета, вращающейся вместе со стержнем, и производная по времени вычисляется подвижным наблюдателем. Тогда решение (6.9) верно. В нашем решении неподвижный наблюдатель «забыл», что σ в (6.6) не есть производная по времени относительно неподвижной системы отсчета, это производная по времени относительно подвижной системы. Соответствующие производные по времени относительно подвижной системы являются коротационными, или объективными, производными. Можно заметить, что тензор σ всегда является индифферентным, и тензор ξ также является индифферентным,

если различные системы отсчета движутся относительно друг другу как жесткие тела.

Чаще всего предполагается, что определяющее соотношение верно в системе отсчета, вращающейся вместе с представи-

103

тельным объемом с угловой скоростью ω = 0,5rot v (в соответствии с теоремой Коши–Гельмгольца о разложении движения бесконечно малого элемента сплошной среды). Тогда, решая краевую задачу в неподвижной системе отсчета, мы должны ввести соответствующую коротационную производную.

В механике существует ряд таких производных в зависимости от того, в какой подвижной системе отсчета мы считаем верным определяющее соотношение. Если такой системой является подвижная система, вращающаяся с угловой скоростью ω = 0,5rot v , то мы получим производную Яуманна–Нолла (Jaumann–Noll). Эта производная была первоначально введена австрийским ученым Яуманном в 1911 г. и опубликована в Вене. Затем она была введена в механику сплошной среды американским ученым Ноллом (1951).

Сначала найдем производную Яуманна–Нолла для вектора. Напомним, что эта производная есть производная по времени для наблюдателя, вращающегося с угловой скоростью ω = 0,5rot v относительно неподвижной системы отсчета. Доказательство вполне аналогично теореме сложения скоростей в классическом курсе теоретической механики.

Пусть мы имеем произвольный вектор a = ak ek (напомним, что по повторяющемуся индексу k проводится суммирование от 1 до 3), где ek – базисные векторы декартовой (для про-

стоты доказательства) системы координат в движущейся вращающейся системе отсчета.

Тогда a = ak ek + ak ek .

Здесь слагаемое ak ek есть относительная скорость вектора a (производная Яуманна–Нолла для вектора, обозначаемая как a ),

иek можетбытьнайденопоформулеПуассона ek = ω× ek .

Врезультате получим

104

Из тензорного анализа известно, что для каждого псевдовектора ω имеется ассоциированный тензор W второго ранга в соответствии с формулой

где e1,e2 ,e3 – орты декартовой ортогональной системы коорди-

нат. Понятия вектора и псевдовектора возникают при переходе к новой декартовой ортогональной системе, т.е. при операциях поворота и отражения исходной системы координат. Компоненты вектора при переходе от системы Ох1х2х3 к системе Ох′1х′2х′3 преобразуются согласно формуле ai′ = αik ak (сумма по k от 1 до 3),

где αik – косинусугла между «новой» осью xi′ и «старой» осью xk

(i, k = 1, 2, 3). Компоненты псевдовектора при повороте системы координат преобразуются так же, а при отражении они приобретают обратный знак.

105

106

T = Tij eie j + W T − T W,

где было использовано соотношение

здесь W – тензор транспонированный к W , а так как в данном случае W тензор антисимметричный, то W = −W .

Окончательный результат для производной Яуманна–Нолла тензоравторогоранга

В заключение еще раз укажем, что существуют различные возможности выбрать подвижную систему отсчета (причем сис-

107

есть производная Яуманна–Нолла с тензором W .

W = 12 (v − v) − тензорвихря.

Подставляя (6.20) в (6.19), мы получаем правильное определяющее соотношение

ξ = Aσ+ B (σ− W σ+ σ W).

В данной задаче мы имеем

Вектор скорости точки

v = ω× r,

vx = ωy z − ωz y = −ωy, vy = ωz x − ωx z = ωx,

Wxy = 12 (−ω− ω) = −ω.

108

ГЛАВА 7. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ

Дадим определение определяющего соотношения в общем случае. Отметим еще раз, что построение определяющих соотношений является наиболее важным и сложным вопросом в механике и особенно в биомеханике.

Пусть мы имеем некоторую систему А (рис. 7.1).

«Черный ящик»

Рис. 7.1. Система А с входными

ивыходными параметрами

Х– входные параметры, описывающие внешнее воздействие на систему; Y – выходные параметры системы. Х и Y – тензоры некоторого ранга.

Вобщем случае определяющее соотношение для системы А есть соотношение между Х и Y.

Y = Φ(X),

где функциональная зависимость Φ определяется процессами, проходящими в системе.

В простейшем случае пусть A – частица (материальная точка). Тогда X = f есть сила, действующая на эту частицу, величина Y должна описывать движение этой частицы как результат действия силы. В соответствии со вторым законом Ньютона

110