книги / Современные проблемы биомеханики

2.3. ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ИЗОТРОПНОГО РАСТУЩЕГО УПРУГОГО ТЕЛА

Предположим, что ростовые деформации развиваются в рассматриваемой области изотропно, т.е. компоненты тензоров A и B не зависят от вращения (и отражения) декартовой ортогональной системы координат.

В этом случае тензоры называются изотропными, их компоненты по определению не зависят от вращения (и отражения) осей координат. Другими словами, эти компоненты не зависят от ортогонального преобразования базисных векторов.

Известно [5], что среди тензоров второго ранга имеется только один линейно независимый изотропный тензор

Здесь и далее применяется правило суммирования А. Эйнштейна: повторяющийся индекс означает суммирование при изменении данного индекса от 1 до 3.

21

22

Очевидно, что соотношения (2.12) и (2.15) довольно похожи друг на друга. Кроме члена с тензором A и заменой напряжений на скорости изменения напряжений можно отметить следующее различие формул (2.12) и (2.15).

Из второго начала термодинамики следует, что в формуле (2.15) G ≥ 0 и K ≥ 0 , что ведет к ограничениям

−1≤ν ≤ 12.

В соотношении (2.12) для ростовых деформаций такие ог-

раничения отсутствуют.

Соотношение(2.12) можетбытьнаписановтензорнойформе

где g – метрический тензор; s – тензор-девиатор напряжений.

Далее приведем определяющее соотношение для ростовой деформации в другой форме.

Допустим, что в соотношении (А) заложены дополнительные условия λ = 0, 2μ = B (новое обозначение).

Тогда в соответствии с формулой (2.10)

(B σ)ij = Bσij .

Соотношение (А) примет вид

ξijg = Aδij + Bσij

или в тензорной форме

ξg = Ag + Bσ.

Для одноосного напряженного состояния получим

ξg = A + Bσ.

Жизнь каждого человека проходит стадии эволюции (усложнения структуры и функций органов и тканей) и инволюции

23

(обратный процесс упрощения структуры и функций органов и тканей). На стадии эволюции нужно предположить, что A > 0 ; напротив, на стадии инволюции предполагается, что A < 0.

Предположим также, что в соотношении (2.21) B > 0. При таком предположении растяжение будет стимулировать рост ткани, а сжатие, наоборот, подавлять рост (закон Хютера– Фолькмана, Германия, XIX в.).

В настоящее время всемирно известен компрессионнодистракционный метод для лечения различных патологий костной ткани, в частности при переломах и недоразвитии конечностей (акад. Г.А. Илизаров, Курган, Россия). В данном случае управление ростовыми деформациями позволяет достичь удлинения конечностей, доходящего до 50 см. Например, на этом основано лечение ахондроплазии (нарушение роста кости, приводящее к недостаточному росту конечностей при нормальных размерах туловища).

Заметим также, что если в соотношении (2.21) положить A = 0 , то получим определяющее соотношение линейно-вязкой (или ньютоновской) жидкости.

В заключение этого параграфа отметим, что соотношение (2.22) помогает анализировать сколиоз – заболевание позвоночника, заключающеесяв егоискривлении во фронтальной плоскости.

24

напряжения, стимулирующие рост, а на вогнутой стороне – сжимающие напряжения, подавляющие рост. В связи с этим начальная кривизна вследствие изгиба будет увеличиваться, что происходит при интенсивных процессах роста, характерных для молодого организма.

Можно прийти к выводу, что прямолинейное состояние позвоночника неустойчиво по отношению к малым возмущениям из-за наличия деформаций роста.

Вопрос к читателю: что можно предложить для лечения искривления позвоночника (сколиоза) с помощью биомеханических методов?

2.4. МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ СКОЛИОЗА

При решении поставленной проблемы необходимо учесть не только ростовую деформацию позвоночника, но и действие скелетно-мышечной системы.

Дадим следующую постановку рассматриваемой проблемы. Пусть ребенок имеет ахондроплазию, приведшее к различной длине ног. В результате позвоночник наклонен на угол α к горизонту. Усилия мышц представляются парой сил с моментом М, удерживающей голову в вертикальном по-

ложении (рис. 2.3).

По-видимому, это условие отражает стремление к вертикальному положению головы человека. Механизм этого управления связан с деятельностью центральной нервной системы.

Рис. 2.3. Изгибпозвоночника Далее рассмотрим решение сле- при ахондроплазии дующеймодельной задачи.

25

26

Внашем случае имеем k = 0 .

Витоге получаем дифференциальное уравнение относительно искомой функции M (t)

M (t) = EI tgα e− EB t .

L

27

Каковы должны быть допустимые силы F1(t) и F2 (t), создающие одинаковые длины стержней?

l1 (t) = l2 (t), или ξ1 (t) = ξ2 (t), t.

В данной задаче скорость деформации имеет вид

Считаем, что S1, S2 – const.

Из определяющего соотношения (2.27) для обоих стержней имеем

Уравнение (2.28) дает соотношение между силами F1 и F2 ,

но оно недостаточно для нахождения этих сил. Для их определения нужна дополнительная информация. Например, пусть известно, что F2 (t) = 0.

Тогда из (2.28) можно получить

d F1 + E1 B1 F1 = ( A2 − A1 )E1S1 . dt

Общее решение дифференциального уравнения (2.29) имеет вид

F1 (t) = Ce− E1B1t + (A2 − A1 ) S1 . B1

Постоянная интегрирования C может быть найдена из условия, что начальнаядеформация равнанулю, т.е. при t = 0 F1 = 0.

29