книги / Современные проблемы биомеханики

a = f , m

где a – ускорение частицы; m – масса частицы. В этом случае Y = a.

Другие простые примеры – система материальных точек и абсолютно твердое тело, где закон Ньютона должен быть написан для каждой частицы системы.

В механике континуума (сплошной среды) в качестве системы обычно берется представительный объем сплошной среды. Этот объем является бесконечно малым (в смысле механики сплошной среды), но содержит достаточное количество элементарных частиц. Тогда определяющее соотношение связывает тензоры напряжений и деформаций (и/или скоростей деформаций) в этом объеме, а также, возможно, другие параметры (температура, плотность, структурные параметры и др.).

Общее выражение определяющего соотношения для континуальной системы имеет вид

σ(R,t) = Φ(ε, θ, ρ, ck , ...) t−∞ ,

где θ – температура; ρ – плотность; ck – структурные параметры.

В общем случае для системы с памятью параметры в правой части соотношения (7.3) должны быть известны в точке R (лагранжевы координаты данной частицы) в течение периода времени (−∞; t] и, возможно, в других точках тела.

Соотношение (7.3) может быть определено из эксперимента и с помощью теоретических рассмотрений.

Микроскопические методы (рис. 7.2) означают рассмотрение взаимодействий элементарных частиц (атомов, молекул и др.) и постепенный переход к макроскопическому определяющему соотношению (7.3). Этот способ кажется наиболее логичным и перспективным. Однако появление многих неизвестных функций и параметров делает это приближение пока малореальным.

111

Движение в этом направлении (благодаря развитию современных компьютеров) продолжается и обещает будущие успехи.

Теоретические рассмотрения

Мезоскопические методы

Рис. 7.2. Подходы к построению определяющих соотношений

В настоящее время, как правило, определяющие соотношения в механике сплошной среды определяются с помощью макроскопическогометодавместе снаправленными экспериментами.

Мезомеханика занимает промежуточное место между микромеханикой и макромеханикой. Это означает рассмотрение сплошной среды как совокупности структурных элементов, отражающих реальную структуру системы. Такой подход кажется перспективным для более корректного определения макроскопических определяющих соотношений, отражающих структуру системы.

7.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ ЮНГА (МОДУЛЯ УПРУГОСТИ) ТРАБЕКУЛЯРНОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ

В этом параграфе мы применим приближения макромеханики и мезомеханики, чтобы связать упругий модуль (модуль Юнга) E трабекулярной ткани с ее эффективной плотностью. Известно, что трабекулярная (или спонгиозная) костная ткань локализуется вблизи суставов. Эффективная плотность трабекулярной костной ткани определяется методами денситометрии (как правило, это делается путем проникновения электромагнитных или ультразвуковых полей внутрь кости.) Определение

112

модуля Юнга индивидуального пациента важно для разработки методов, ориентированных на пациента, при диагностике и лечении болезней костных тканей.

7.1.1. Макроскопическая модель

Эффективные характеристики костной ткани могут быть найдены с помощью континуальной (макроскопической) модели. В этом случае структура кости не рассматривается. Кость моделируется как континуальная структура (в нашем случае как изотропная ткань).

Предполагается, что имеет место плоское напряженное состояние

σiz = 0, i = x, y, z.

Пренебрегая объемными силами и силами инерции, имеем уравнение равновесия в виде

σ = 0,

или

лу. Заполнение ячеек отсутствует. Трабекулы имеют жесткие соединения в узлах.

Геометрические параметры модели: l – длина каждой балки (трабекулы); t – толщина; θ – угол наклона. Число рядов и столбцов очень велико. Весом трабекул пренебрегаем. Нагружение дискретизированосилами F (рис. 7.4, а).

Цель вычисления – найти соотношение между силой F (или напряжением σ ) и деформацией данной структуры ε. Тогда эффективный упругий модуль

Результат должен быть выражен через эффективную плотность.

7.1.3. Трабекула как балка

Каждая трабекула моделируется как балка. В двумерном случае балка имеет 6 степеней свободы (4 координаты концевых точек и 2 угла поворота в этих точках). Деформация считается малой. Элементарная теория Бернулли–Эйлера может быть применена (пренебрегая растяжением-сжатием балок). Также из-за симметрии бесконечной структуры относительно оси L (рис. 7.4, б) каждая вертикально ориентированная балка не имеет деформации изгиба (сжатие всех балок не рассматривается). Заметим, что каждая вертикальная балка сжимается силой F / 2 , так как силовое поле однородно по структуре.

Из-за однородности деформации по структуре возможно рассматриватьдеформациюиндивидуальногобалочного элемента.

Рассмотрим балку АВ. Рис. 7.5 иллюстрирует процесс деформации.

Применяя теорию изгиба, получаем

τ(x) = a = const,

115

где Es означает модуль упругости индивидуальной трабекулы;

I – момент инерции поперечного сечения относительно нейтральнойосисечения(котораяперпендикулярнаплоскости(см. рис. 7.4)).

Рис. 7.4. Схематическая структура трабекулярной кости: а – структура в целом; б – представительный элемент

Рис. 7.5. Деформация индивидуального элемента: а – схема деформации элемента; б – перемещения точек нейтрального слоя балки. Вертикальное перемещение

точки А относительно точки В обозначено как δ

116

Коэффициенты a , b , c , d можно найти из граничных условий

τ(0)sin θ+ η(0)cosθ = 0,

−τ( )cosθ+ η( )sinθ = 0,

l l

η′(0) = 0, η′( ) = 0.

l

В самом деле, величина η′ равна углу поворота попереч-

ного сечения (или оси балки). Для жесткой рамы угол между балками, соединенными в точке А (см. рис. 7.5, б), не изменяется: вертикальная и наклонная балки не вращаются. В связи с этим величина η′ равна нулю на концах наклонной балки.

Далее решаем систему уравнений (7.12)

117

Наконец, перемещение δ может быть найдено в виде

δ = −τ(l)sinθ− η(l)cosθ,

Тогда деформация достаточно большой структуры может быть выражена в виде

кплоскости, изображенной на рис. 7.4.

Врезультате получим

Предположим, что поперечное сечение есть прямоуголь-

ник, тогда I = 121 t3d . Далее получим

После этого найдем соотношение между геометрическими параметрами и эффективной плотностью ρ.

118

7.1.4. Модель из квадратных элементов

119

120