книги / Современные проблемы биомеханики

Предположим, что каждая ткань имеет ростовую деформацию ε1* и ε*2 . Можно считать, что каждая часть позвонка как

стержень имеет первоначально одинаковую длину, но после ростовой деформации длины этих стержней различны.

Соотношение σ – ε для каждого стержня имеет вид

Эти стержни соединяются пластинами и имеют одинаковую длину. Деформация в этом состоянии может быть названа остаточной деформацией εr . Напряжения в этом состоянии –

самоуравновешенные остаточные напряжения ρ1 и ρ2 . Наконец, сила Р сжимает эти стержни и создает дополнительную сжимающую деформацию, величина которой обозначена как . Напряжения в этом состоянии равны σp1 и σp2 .

Для вычисления мы должны ввести коэффициенты Ar1 и Ar 2 – коэффициенты заполнения костной ткани. Эти коэффициенты учитывают существование пор в костной ткани, 0 ≤ Ar1 ≤ 1. Из экспериментов на образцах известно, что для трабекулярной кости Ar1 ≈ 0,28 ; для кортикальной кости Ar 2 ≈ 1 .

Также из эксперимента известно, что модуль Юнга кортикальной ткани равен E2 = 20 ГПа = 2 104 MПa.

Тогда для трабекулярной костной ткани согласно экспериментальному закону

71

Остаточные напряжения в позвонке можно найти из экспериментальных данных: деформация после удаления трабекулярной ткани равна ε = 34 10−6 . Как видно из рис. 3.9,

2

Рис. 3.9. Диаграмма остаточных напряжений

72

Напомним, что решаемая задача является статически неопределенной, поэтому требуется добавить еще дополнительное условие. На основании закона Вольфа сформулируем дополнительное условие: в оптимальной конструкции истинные напряжения должны быть равны, т.е. конструкция должна быть равнонапряженной.

σp2 = −3,57σp1 = −1,28 MПa.

Окончательно

P = σp1 A1 + σp2 A2 = −72,5 Н.

Это аксиальная сила, сжимающая копчиковый позвонок быка.

73

Контрольные вопросы

1.Что такое остаточные напряжения?

2.Какова роль остаточных напряжений в развитии и функционировании живых систем (в частности, человека)?

3.Можете ли вы привести примеры появления остаточных напряжений в неживых тканях?

4.Могут ли остаточные напряжения быть полезными, или это невозможно?

5.Где в вашем организме существуют остаточные напря-

жения?

74

ГЛАВА 4. ПОВРЕЖДАЕМОСТЬ

ИПЕРЕСТРОЙКА КОСТИ

4.1.НАКОПЛЕНИЕ ПОВРЕЖДЕНИЙ

Понятие повреждаемости (damage) применяется при описании накопления микроповреждений, в частности микротрещин, имеющиx место при многих периодических процессах в живых и неживых системах.

Применительно к живым тканям понятие повреждаемости впервые применили P. Prendergast и J. Taylor [11]. При описании этого процесса ими были предложены следующие гипотезы.

Первая гипотеза. Существует повреждаемость (накопление внутренних микротрещин) в живой системе (в частности, кости) даже при равновесии перестройки. Эта величина обозначается как ωRE .

Например, в простейшем опыте растяжения стержня силой Р (рис. 4.1)

означает, что трещины отсутству-

75

ют; ω = 1 означает, что трещины заполняют весь объем). Понятие повреждаемости ω ввел Ю.Н. Работнов (1959).

В механике известно также другое, близкое по смыслу по-

т.е. это отношение несущей нагрузку площади поперечного сечения к номинальной площади.

Стимулом перестройки можно считать изменение повреждаемости, отсчитываемое от состояния равновесия перестройки. Если изменение в накопленной повреждаемости обозначить ω, то тогда имеем

ω= ω− ωRE ,

где ω означает актуальную повреждаемость в микроструктуре. Аргументы, доказывающие наличие повреждаемости при

равновесии перестройки:

1)в структуре имеются микротрещины, которые можно увидеть с помощью электронного микроскопа;

2)наличие природных зон концентраторов напряжений

вкости;

3)масштабный эффект в кости (зависимость прочности от размеров образца, а именно уменьшение прочности для меньших образцов кости).

Вторая гипотеза. Известно, что костная ткань является материалом, который обладает свойством восстановления после повреждаемости. Вторая гипотеза состоит в том, что скорость восстановления повреждаемости зависит от гомеостатических напряжений и не изменяется в процессе перестройки.

76

Тогда для здорового организма, а также пренебрегая эффектом старения, можно записать уравнение

где ω – скорость повреждаемости при данных напряжениях, температуре и плотности кости; ωRE – скорость восстановления.

В равновесии перестройки имеем

Тот факт, что скорость восстановления ωRE есть констан-

та, не зависящая от процесса перестройки, подтверждается следующим фактом.

Скорость транспорта к данному месту в кости веществ, формирующих кость, не изменяется непосредственно при изменении напряжений, т.е. эта скорость не зависит от накопленной повреждаемости.

При равновесии перестройки имеется динамическое равновесие

ω= ωRE

между образованием повреждаемости и скоростью восстановления, так что повреждаемость в равновесии перестройки не аккумулируется.

Используя Х для обозначения геометрического параметра репозиции или резорбции кости, можно написать закон перестройки

77

Согласно формуле (4.7) для предсказания временного хода адаптации нужно вычислить скорость накопления повреждений, но не саму повреждаемость.

В формулах (4.6), (4.7) Х есть геометрический параметр репозиции или резорбции кости, например радиус трубчатой кости. Параметр С, вообще говоря, зависит от положения в кости.

Замечание. Уравнение (4.4) вводит изменение накопленной повреждаемости (стимул перестройки) как разность между скоростью образования повреждаемости и скоростью восстановления повреждаемости. При этом нужно указать, что скорость образования повреждаемости определяется скоростью цикла нагружения, в то время как скорость восстановления определяется физиологией кости (скоростью вовлечения клеток и транспортом минералов). Многие авторы считают, что необходимо усреднять все функции времени в течение одного дня. Другими словами, мгновенная реакцияорганизма наизменениеусловий невозможна.

4.2. ПРИЛОЖЕНИЕ МОДЕЛИ

Модель перестройки при накоплении повреждений будет проиллюстрирована с использованием простого примера – перестройки диафиза кости при уменьшении вращательной нагрузки. Диафиз кости моделируется как твердый круговой цилиндр. Эта структурная модель использовалась многими исследователями ввиду ее простоты для описания диафиза длинных костей.

4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ

Повреждаемость может быть определена как локальная потеря механической целостности или состояние локального трещинообразования (Качанов, 1958). Механика повреждаемости используется для предсказания постепенного разрушения инженерных структур (Леметр, Шабоше, 1990). Повреждае-

78

мость определяется рядом способов в зависимости от используемого анализа. Имеется много практических мер повреждаемости и математических форм переменных повреждаемости (Крайсинович, 1981). Например, остаточная прочность или уменьшение модуля упругости при усталости, что может быть измерено (Картер, Хейес, 1977) в кортикальной кости, могут быть включены в число переменных повреждаемости.

Здесь мы используем как переменную состояния остаточную жизнь при переменных нагрузках.

В частном случае усталости, имеющей место при амплитуде напряжений, равной σi , мы можем написать, что увели-

чение повреждаемости есть функция от ni / Ni , где Ni есть число циклов до разрушения при амплитуде циклических напряже-

Следовательно, повреждаемость увеличивается линейно с увеличением ni от нуля (неповрежденное состояние) до 1 (со-

стояние разрушения).

Таким образом, скорость увеличения повреждаемости предполагается не зависящей от уровня повреждаемости. При истории нагружения, включающей несколько значений σi , мы можем написать

ω= m ni , i=1 Ni

где m – число ступеней нагружения. Соотношение (4.9) отра-

жает так называемый «принцип линейного суммирования повреждений» (Робертсон, 1952).

79