книги / Современные проблемы биомеханики

Граничные условия задачи иллюстрируются на рис. 2.13. На части границы Sv в точке О заданы условия закрепления Vx = Vy = 0 , в остальных точках оси Оу граничное условие имеет

вид Vx = 0 , τxy = 0 . В области контакта фрагмента и ортопедической пластины Sσ длиной l заданы компоненты вектора напря-

жений Р. Остальная часть границы фрагмента свободна от напряжений (свободная граница).

Построенная математическая модель фрагмента твердого неба была использована для изучения влияния величины контактного давления и величины контактной зоны на изменение конфигурации фрагмента [7]. Влияние механических сил на поведение фрагментов было исследовано в течение времени роста, равного шести месяцам. Проблема ставится как задача теории упругости с ростовыми деформациями в условиях плоско-дефор- мированного состояния. Решение было проведено с помощью метода конечных элементов.

Параметры ростовой деформации А и В были определены с помощью гипсовых отпечатков растущей челюсти ребенка, как было описано ранее. Из литературных данных были взяты значения модуля упругости растущего фрагмента Е = 500 000г/мм2 и коэффициент Пуассона ν = 0,3.

На рис. 2.14 и 2.15 показаны перемещения ux и uy точ-

ки А (см. рис. 2.13) для различных значений длины области контакта l и величины силы Р на контактной площадке.

Горизонтальное перемещение ux характеризует зазор расщелины, а вертикальное перемещение uy не влияет на величину

расщелины. Точки на рис. 2.14 и 2.15 показывают вычисленные значения, а сплошные линии получены с помощью метода наименьших квадратов. Из анализа полученных результатов видно, что наибольшее сближение фрагментов имеет место при длине зоны контакта l = 2 мм.

42

Ограничение на максимальное значение силы Р = 20г соответствует максимально возможному напряжению, которое может выдержать живая ткань без наступления некроза.

Полученные результаты позволяют объяснить изгиб фрагмента в направлении сближения отростков, наблюдаемый на практике. В области контакта под действием ортопедической пластинки возникают сжимающие напряжения, которые подавляют рост волокон материала, поэтому рост в направлении оси Ох в этой области замедляется. Волокна материала выше области контакта имеют растягивающие напряжения, которые ускоряют рост волокон. Вследствие этого возникает изгиб фрагмента, который совпадает с клиническими результатами и объясняет этот феномен с позиций теории ростовых деформаций.

Из вычислений можно также проанализировать влияние направления контактного давления на поведение фрагментов. Для расчета было принято, что значение силы Р = 8 г (см. рис. 2.16).

а б в

Рис. 2.16. Три различных направления давления в контактной зоне длиной l = 2 мм: а – P = Py (сила направлена вдоль оси Оу);

б – P = Pn (сила перпендикулярна контактной зоне); в – P = Px (сила направлена в отрицательном направлении оси Ох)

Рис. 2.17 иллюстрирует перемещения u точки А для трех различных направленных давления в зоне контакта к концу времени лечения. Видно, что влияние локальной силы сжатия Рх на изгиб фрагмента больше, чем при нормально направленной силе Рn. Это объясняется тем, что в зонедействия сжимающей силыРх рост

44

2.7. ЗАКОНВОЛЬФАОПЕРЕСТРОЙКЕКОСТНОЙТКАНИ

В 1892 г. немецкий ученый, хирург Берлинского университета Юлиус Вольф на основе наблюдений за изменением костной ткани после переломов сформулировал закон о перестройке костной ткани [8].

Закон Вольфа имеет качественный характер и может быть сформулирован в двух формах:

1.Каждая кость приспосабливает свою форму и внутреннюю структуру соответственно механическим нагрузкам, действующим на кость.

2.Кость есть оптимальная структура, приспосабливающая свою форму и внутреннюю структуру соответственно механическим нагрузкам, действующим на кость.

Математическая формулировка закона Вольфа была предложена различными авторами и изменялась несколько раз. В данном законе мы имеем дело и с внешней, и с внутренней перестройкой. Что является стимулом перестройки? Однозначного ответа на этот вопрос пока нет. По-видимому, для различных костных тканей (а возможно, и для различных частей одной кости), имеющих различныефункции, имеются различные стимулыперестройки.

Закон Вольфа можно рассматривать как частный случай общего закона естественного отбора (Чарльз Дарвин, 1859). Его можно также рассматривать как биомеханическую реализацию философского закона о «непреднамеренной целесообразности», характерной для живых организмов (независимо от их мыслительной способности). Другими словами, органический мир может реагировать на внешние факторы без участия сознания (вирусы, микробы и др.). Таково свойство живой природы.

С исторической точки зрения полезно вспомнить, что

в1843 г. всемирно известный русский хирург Николай Пирогов

всвоей книге «Полный курс прикладной анатомии человеческого тела» писал: «Внешний вид каждой кости есть реализованная идея функций этой кости».

46

Далее рассмотрим два примера применения закона Вольфа

кнекоторым проблемам.

2.8.ЗАДАЧА О ПОИСКЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ФОРМЫ

БОЛЬШЕБЕРЦОВОЙ КОСТИ

Сформулируем закон Вольфа для специального случая трубчатых костей. Наша цель – найти форму кости как оптимальную структуру. Такой анализ может оценить механическую нагрузку на кость в зависимости от формы кости.

от его полярного момента инерции. Таким образом, рассмотрим следующую задачу: найти форму поперечного сечения, дающего минимум или максимум угла закручивания при данной затрате материала и данном крутящем моменте. Другие формы нагруже- ния(растяжение-сжатие), изгиб здесьне рассматриваются.

2.8.1.Математическая постановка задачи

Вкачестве модели трубчатой кости рассматривается твердый стержень постоянного по длине поперечного сечения. Длина стержня гораздо больше его характерного поперечного раз-

47

мера. С обоих концов стержень закручивается крутящими моментами М (см. рис. 2.18).

Для определения напряжений, возникающих при кручении стержня, принимаются традиционные гипотезы:

1.При кручении стержня поперечные сечения остаются плоскими.

2.Радиальные оси поперечного сечения после приложения силы остаются прямыми и поворачиваются на одинаковый угол.

3.Расстояние между двумя поперечными сечениями не

изменяется Как известно из теории упругости, эти гипотезы выпол-

няются совершенно точно для стержней с круглым поперечным сечением и с достаточной точностью для поперечных сечений, близких к круговому сечению.

При данных предположениях решение задачи о кручении стержня дает следующую формулу для угла закручивания:

φ = M L , G I p

где ϕ – угол закручивания; М – крутящий момент; L – длина стержня; Iр – полярный момент инерции сечения.

Угол закручивания, зависящий от некоторых параметров системы, является количественной мерой жесткости стержня на кручение. Таким образом, чтобы минимизировать или максимизировать жесткость стержня, нужно, соответственно, максимизировать или минимизировать угол закручивания:

Другими словами, проблема оптимизации сводится к проблеме оптимизации полярного момента инерции, который является функционалом контура поперечного сечения.

48

перечного сечения, Γ = ρ(φ); r – радиус элементарного участка

площади ds.

Как видно из формулы (2.43), контур поперечного сечения Γ есть параметр оптимизации

I p (Γ ) → max(min) Γ = ?

2.8.2. Формулировка ограничений

Решение нужно искать среди функций, задающих контур Г при данной площади поперечного сечения,

S = ds = const ,

S

где S – заданная величина площади поперечного сечения. Смысл этого ограничения заключается в том, что количе-

ство костного материала должно быть задано.

Таким образом, контур поперечного сечения ищется как функция ρ(φ) в полярных координатах, где ρ есть радиус, описы-

вающий контур Г (рис. 2.19). В результате проблема может быть записана следующимобразом:

49