книги / Современные проблемы биомеханики
..pdf
В результате перестройки полярный момент инерции возрастает в
I p1 = 3,23 раза.
I p0
Новая форма сечения изображена на рис. 2.30. Решение задачи:
S = π(R2 |
– r |
2 ) = |
π(R2 |
– r |
2 ), |
|
||||
|
0 |
0 |
|
|
1 |
1 |
|
|||
2MR |
|
|
|
|
4MR |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
τe+ = |
|
0 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
. |
4 |
|
4 |
) |
|
4 |
|
4 |
|||
|
π(R0 |
– r0 |
|
|
π(R1 |
– r1 ) |
|
|||
Контрольные вопросы
1.Что означают термины «рост» и «перестройка» живой
ткани?
2.Можете ли вы еще придумать примеры применения ростовых деформаций для лечения различных заболеваний?
3.Чем отличаются деформации позвоночника: сколиоз, кифоз и лордоз?
4.Объясните, как лечится волчья пасть с использованием ростовых деформаций.
5.Что такое некроз живой ткани? Чем он отличается от апоптоза?
6.Чем отличается теория ростовой деформации Хсю от теории упругости?
61
ГЛАВА 3. ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ПЕРЕСТРОЙКА
Остаточные напряжения имеются во всех органах и тканях человека (кости, сосуды, аорта, мозг, даже клетки эмбриона и т.д.). Можно ожидать, что без остаточных напряжений тело человека или животного как конструкция распалось бы на отдельные блоки (например, как конструкция из кубиков). Нарушение взаимодействия между различными органами и тканями ведет к появлению нежелательных остаточных напряжений и различным патологиям.
Остаточные напряжения имеются также в коже человека. Впервые, по-видимому, это обнаружил французский врач Дюпюитрен (Париж, 1836). Однажды его вызвали по поводу самоубийства студента, который ударил себя круглым кинжалом. Прибыв на место происшествия, он обнаружил, что рана была не круглая, а эллиптической формы (это было следствием анизотропно распределенных остаточных напряжений в коже).
Детальное исследование распределения остаточных напряжений в коже человека провел врач из Вены Карл Лангер (1861). С тех пор линии наибольших нормальных напряжений
вкоже называют линиями Лангера.
3.1.ПОСТАНОВКА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Остаточные напряжения в живой ткани – это самоуравновешенные напряжения, существующие в теле без действия ка- ких-либо сил (объемных и поверхностных).
62
S |
Краевая задача определения |
остаточных напряжений ρ всистеме |
|
|
(живой или неживой) имеет вид (для |
Vсравнения полезно посмотреть постановку задачи определения ростовых деформацийвпараграфе 2.2):
Рис. 3.1. Свободноетело |
|
|
|
ρ = 0, |
r V , |
|
|||||||||||
|
|
|
|
∂ρij |
|
|
|
||||||||||
состаточныминапряжениями |
или |
= 0, |
i = 1,2,3, |
(3.1) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂xj |
|
|
|||
|
|
n ρ = 0, |
r S, |
или njρji |
= 0, i = 1,2,3, |
(3.2) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ = C (ε− ε ), |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
ε = |
1 |
|
|
|
, |
|
(3 |
||||
|
|
|
|
|
|
( u + u ), r V |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ρij |
= |
∂ρix |
+ |
∂ρiy |
+ |
∂ρiz |
, njρji = nxρxi + ny |
ρyi + nzρzi |
, |
|||||||
|
∂xj |
∂x |
|
∂y |
|
∂z |
|||||||||||
т.е. повторяющийся индекс означает суммирование в диапазоне от 1 до 3, x1 = x, x2 = y, x3 = z.
В соотношении (3.3) ε , вообще говоря, означает любую неупругую (или собственную) деформацию (пластическую, температурную, ростовую, пьезоэлектрическую и др.).
В живых тканях, по-видимому, неупругие (или собственные) деформации совпадают с ростовыми деформациями.
Далее покажем, что причиной появления остаточных напряжений в живой системе является несовместность ростовых деформаций (в более общем случае – несовместность собственных деформаций).
63
Напомним, что деформация называется совместной, если она может быть выражена через перемещения, т.е. может быть реализована в реальном процессе деформирования. С математической точки зрения деформация совместна, если существует поле перемещений точек системы u(x1, x2 , x3 ) , такое что компо-
ненты тензора деформации можно выразить через перемещения. Другими словами, имеют место соотношения
εij = 1 |
|
∂ui |
+ |
∂u |
j |
|
|
||||
|
|
|
|||
2 |
|
∂xj |
|
∂xi |
|
|
|
||||
, r V .
Полные деформации ε всегда совместны, а ростовые деформации могут быть совместными или несовместными.
Итак, мы рассматриваем свободное твердое тело, имеющее ростовые деформации.
В соответствии с ранее изложенной теорией Хсю (Hsu) ростовых деформаций полная деформация есть сумма упругой деформации и ростовой деформации
εij = εije + εijg = Cijkl−1 σkl + εijg , r V .
Здесь индекс e означает упругие деформации; индекс g – ростовые деформации; Cijkl−1 – компоненты тензора податливо-
сти, обратного тензору упругости; Cijkl – компоненты тензора упругости; ρij – остаточные напряжения.
Еслиостаточныенапряженияравнынулю, ρij = 0, то εij = εijg .
Однако полные деформации, реализуемые в реальном процессе деформации, всегда совместны, т.е.
u(r) εij = 1 |
|
∂ui |
|
∂u |
j |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
, |
r V . |
|||||
|
|
|
||||||||
2 |
|
∂xj |
|
∂xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В результате получим
64
ρij = 0 |
g |
= |
1 |
|
∂ui |
+ |
∂u j |
εij |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
∂xj |
|
∂xi |
|
|
|
|
|
, r V .
Таким образом, при отсутствии в живой системе остаточных напряжений ростовые деформации совместны, а причиной появления остаточных напряжений является несовместимость ростовых деформаций.
Еще раз заметим, что согласно (3.5) полная деформация всегда совместна, но ее составляющие ростовые деформации
εijg и упругие деформации εije могут быть и несовместными, т.е.
в общем случае их нельзя выразить через перемещения по формулам Коши (3.6).
Примеры возникновения остаточных напряжений, вызванныхнесовместностьюнеупругихдеформаций, представленыниже.
Вэксперименте используются различные механические
инемеханические методы определения остаточных напряжений. Эти методы делятся на разрушающие и неразрушающие. Неразрушающие методы обычно связаны с различными электромагнитными полями (например, метод рентгеновских лучей).
Во многих случаях для экспериментального определения остаточных напряжений in vitro (т.е. на неживой ткани) применяются методыразрезания. Идея этихметодовзаключаетсяв следующем.
Пусть мы хотим экспериментально определить остаточные напряжения в сечении S тела (рис. 3.2).
II |
|
p |
|
pn |
|
S |
S |
pτ |
I |
|
I |
Рис. 3.2. Иллюстрацияк методу |
Рис. 3.3. Нижняячастьтела |
|
экспериментальногоопределения |
с остаточныминапряжениями |
|
остаточныхнапряжений |
|
|
65
Рассмотрим нижнюю часть I тела (см. рис. 3.2) после мысленного разрезания тела на две части I и II (см. рис. 3.3).
Сила р от части II на часть I действует в каждой точке поверхности S (под силой р понимается вектор напряжений, т.е. сила на единицу площади поверхности).
Далее пусть тело действительно разрезано на части I и II. В этом случае на поверхности S после разрезания p = Это0. эк-
вивалентно приложению к нижней части I силы ( −p ), что вызо-
вет некоторые деформации части I. Для вычислений более предпочтительно, если эта деформация является упругой.
Из решения соответствующей краевой задачи теории упругости можно найти соотношения между силой ( −p ) (ее компо-
ненты представляют нормальные pn и касательные pτ напряже-
ния в сечении S) и перемещениями точек сечения S, которые могут быть измерены экспериментально. Таким способом можно определить из эксперимента остаточные напряжения в сечении S. Имеются различные модификации описанного метода разрезания.
Как на пример аналогичных экспериментов в живых тканях сошлемся на результаты, полученные всемирно известным
биомеханикам Ю. Фангом [1]. |
(рис. 3.4) изображен |
|
Образец легочной |
артерии крысы |
|
в трех состояниях: а |
– при кровяном |
давлении р = 15 мм |
Hg = 2 кПa; б – состояние при отсутствии кровяного давления; в – состояние после поперечных разрезаний и удаления продольной силы в кольце для получения плоского сегмента (состояние без напряжений).
|
|
α |
а |
б |
в |
|
|
Рис. 3.4. Образец легочной артерии крысы
66
Измеряя угол α, возможно рассчитать окружные остаточные напряжения.
Аналогичные результаты были получены американским ученым Дж. Воссуги, измерившим остаточные напряжения в различных фруктах (например, в яблоках).
Заметим в заключение, что вместо ростовых деформаций остаточные напряжения могут быть вызваны деформациями перестройки.
Процессы роста и перестройки связаны с развитием остаточных напряжений. Возможно, и, наоборот, остаточные напряжения являются стимулом процессов перестройки. Это может касаться как внешней, так и внутренней перестройки. Вероятным критерием роста и перестройки является развитие остаточных напряжений, приводящих при нагружении к равнонапряженной системе.
3.2. ПЕРЕСТРОЙКА КОСТИ С УЧЕТОМ ОСТАТОЧНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ: ЭКСПЕРИМЕНТ И ТЕОРИЯ
3.2.1. Остаточные напряжения в большеберцовой и малоберцовой костях кролика (эксперимент)
Остаточные напряжения в данной структуре (рис. 3.5) были определены с помощью метода разрезания [10]. Деформации, возникающие при разрезании, были определены с использованием датчиков деформации, прикрепленных к боковой поверхности вдоль оси кости с помощью акрилового клея. Температура равнялась 26°C. Разрешение измерения составляло 1 микродеформацию, равную 10–6.
Система «большеберцовая кость – малоберцоваякость» вырезалась у 12 белых японских кроликов весом 2,5 ± 0,1 кг (среднее ± дисперсия). Данная система является статически неопределенной,
67
Рис. 3.5. Исследование остаточных напряжений в большеберцовой и малоберцовой костях
так как соединение костей осуществлено статически неопределенным образом (см. рис. 3.5). В связи с этим в структуре могут существовать остаточные напряжения, даже если все внешние силы отсутствуют. Три датчика деформации А, В и С прикреплены к поверхности большеберцовой кости вдоль продольного направления. Места расположения датчиков показаны на рис. 3.5, а крестиком. Малоберцовая кость отделена в положении, отмеченном стрелкой на рис. 3.5. Наблюдаемая деформация является положительной (деформация растяжения) на передневнешней стороне А и задневнешней стороне С, но она отрицательна (деформация сжатия) на внутренней стороне В (см. рис. 3.5, б). Эти результаты показывают, что внутренняя сторона растянута, поэтому напряжение растяжения ожидаетсяв малоберцовойкости.
3.2.2.Остаточные напряжения
вкопчиковых позвонках быка
Копчиковые позвонки вырезаются из хвоста быка в возрасте двух лет. Каждый позвонок имеет кортикальную кость во внешней части и трабекулярную кость внутри. Два датчика де-
68
формации R и L прикреплены вокруг средней точки, они отмечены крестиками на рис. 3.6, а вдоль направления от головы к хвосту. Сначала концевые пластинки удаляются с использованием ручной пилы, при этом удаляются черепная и хвостовая пластинки роста (см. рис. 3.6, а).
Рис. 3.6. Остаточные напряжения в копчиковых позвонках быка:
а – места датчиков и ростовые пластинки (вид сверху); б – вид
сголовы после удаления концевых пластинок; в – наблюдаемая деформация в направлении от головы к хвосту после удаления концевых пластинок и внутренней трабекулярной кости
Затем с помощью вращающейся дрели высверливается трабекулярная костная ткань внутри позвонка. Положительные (растягивающие) деформации возникают при этом в обоих датчиках R и L, установленных в местах, показанных на рис. 3.6, а. Эти деформации на правом и левом датчиках (для данного позвонка) примерно равны друг другу, и усредненная полная деформация равна 3410–6. Это означает, что существуют сжимающие напряжения во внешней кортикальной кости и растягивающие напряжения во внутренней трабекулярной кости в направлении «голова – хвост» как самоуравновешенные напряжения.
69
Рис. 3.7. Моделькопчикового позвонка
Копчиковый позвонок моделируется как сплошной цилиндр, заполненный в центральной части трабекулярной тканью (рис. 3.7). В организме сила Р действует вдоль оси цилиндра. Мы имеем статически неопределимую (избыточную) систему, состоящую из двух частей: 1 – трабекулярная кость, 2 – кортикальная кость.
Пусть упругие модули и площади поперечного сечения тканей равны E1 , E2 и A1 , A2 соответственно(рис. 3.8).
ε = ε*2 − εr < 0.
Можно заметить, что кортикальная кость 2 более жесткая, чем трабекулярная кость 1, и поэтому линии σ (ε) в кортикальной кости проходят более круто, чем в трабекулярной кости.
|
|
|
|
|
|
|
εr |
|
ε p |
, |
σp1, σp2 |
||
|
|
|
|
|
ρ > 0 |
ρ2 < 0 |
|
||||||
|
ε1* < ε*2 |
|
1 |
|
|
|
|
P |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P
1 2
Рис. 3.8. Схема образования остаточных напряжений в позвонке: 1 – трабекулярная кость; 2 – кортикальная кость
70