книги / Современные проблемы биомеханики

костей (компактной ткани с остеонами как структурными элементами костей) в форме

где σ – напряжение, MПa; T – температура, °C; ρ – плотность,

г/см3; H , J , K , M – константы, определенные при данном циклическом нагружении, равные –7,789; –0,0206; 2,364 и 15,470 соответственно.

Из формулы (4.11) получаем

Окончательно

ω= Bσα.

4.4. ПЕРЕСТРОЙКА ПОВЕРХНОСТИ ДИАФИЗА КОСТИ ПРИ УМЕНЬШЕНИИ ВРАЩАТЕЛЬНОЙ НАГРУЗКИ

Из элементарной теории кручения касательное напряжение в окружном направлении в плоскости, перпендикулярной аксиальному направлению, при диаметре d равно

τ θ = T d ,

z 2 I

81

где Dp и De представляют периостальный (внешний) и эндо-

стальный (внутренний) диаметры. Их начальные значения в рассматриваемом примере равны 30 мм и 20 мм соответственно.

Если мгновенные значения эндостального и периостального диаметров равны De (t) и Dp (t) соответственно, то

Уравнение (4.16) показывает, что стимул перестройки зависит от начальной геометрии кости, так как и начальная геометрия, и функциональная нагрузка (в гомеостазе) определяют скорость восстановления повреждаемости в сечении диафиза. Выражение (4.16) для (ω− ωRE ) может быть подставлено в уравнение пере-

стройки (4.6) для определения выражений, определяющих скорость изменения Dp или De .

82

Например, скорость изменения Dp равна

dDp (t) = C (ω− ωRE )P =

dt

Аналогичное выражение может быть написано для скорости изменения эндостального диаметра De , что дает вместе

с выражением (4.17) систему двух связанных нелинейных дифференциальных уравнений. Эти уравнения не имеют прямого аналитического решения, но могут быть решены с помощью численных методов.

4.5. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для вычисления и сохранения значений накопленной повреждаемости поперечное сечение было разделено на 10,000

концентрических участков вокруг оси цилиндра. Использовались данные по усталости согласно формуле (4.11), где можно

вычислить усталостное поведение кости при температуре 37 °C и плотности 1,8 г/см3 ; значение момента – 25 Н·м для физиоло-

гической нагрузки, после чего вычислялась скорость повреждаемости под физиологической нагрузкой по поперечному сечению кости. Эти данные рассматривались как скорость восстановления повреждаемости (обозначенная как ωRE ) для дальнейших

вычислений, поэтому скорость восстановления повреждаемости затем использовалась для всего вычисления.

Выбранный крутящий момент создал уровень напряжений, который существует физиологически (приближенный мак-

83

симум напряжений равен 47 МПа). Приложенная нагрузка была затем уменьшена в два раза, что вызвало перестройку, такую что периостальная и эндостальная поверхности двигались, при этом сечение делалось тоньше.

Рис. 4.3. Перестройка сечения бедренной кости

Интегрирование дифференциальных уравнений для функций Dp (t) и De (t) производилось шаговым методом с исполь-

зованием аппроксимации Эйлера. Конечная картина кости после перестройки достигалась после 1000 шагов по времени.

Результаты вычислений показаны на рис. 4.3.

Контрольные вопросы

1.Что такое повреждаемость живой ткани?

2.Каковы причины повреждаемости?

3.Как объяснить накопление повреждений?

4.Чем в смысле повреждаемости отличаются живые и неживые системы?

5.Где, по вашему мнению, в организме человека особенно вредна повреждаемость?

6.Что такое трансплантат?

84

ГЛАВА 5. ПРОЧНОСТЬ И ДЕФОРМИРУЕМОСТЬ ЖИВЫХ ТКАНЕЙ И БИОМАТЕРИАЛОВ

5.1. ТВЕРДЫЕ ТКАНИ: ПОВРЕЖДАЕМОСТЬ (ХРУПКОЕ РАЗРУШЕНИЕ) БИОМАТЕРИАЛОВ, МАЛЫЕ ДЕФОРМАЦИИ

Биоматериалы используются для замены твердых и мягких живых тканей. Они, как и живые ткани, могут подвергаться стационарному и переменному нагружению.

Вводится понятие сплошности (Качанов, 1958), или коэффициента упаковки (см. формулу (4.2) и рис. 4.1).

ψ = F0 − F .

F0

Качановым были предложены кинетические уравнения, описывающие изменение величины ψ:

Физический смысл уравнений (5.1) заключается в том, что сплошность, описывающая накопление микротрещин в объеме материала, уменьшается только тогда, когда имеются растягивающие напряжения в объеме; при наличии только сжимающих напряжений – роста микротрещин и, соответственно, уменьшения сплошности не происходит.

Заметим, что в уравнениях (5.1) не учитывается явление залечивания материала, поэтому эти уравнения применимы не к живым тканям, а только к неживым биоматериалам.

85

86

5.2. МЯГКИЕ ТКАНИ: ПОЛЗУЧЕСТЬ (ВЯЗКОЕ РАЗРУШЕНИЕ), БОЛЬШИЕ ДЕФОРМАЦИИ

Вновь рассмотрим простой эксперимент на одноосное растяжение (см. рис. 4.1) и введем следующие обозначения:

σ= P – компонента тензора напряжений Коши;

F

87

Рис. 5.2. Диаграмма нагружения образца:

OA – упругопластическая (мгновенная) деформация; AB – неустановившаяся ползучесть; BC – установившаяся ползучесть; CD – вязкое разрешение при большой деформации

Из-за несжимаемости при ползучести (а также пластичности) имеем

88

89

90