книги / Современные проблемы биомеханики

Уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид

F есть подынтегральная функция функционала J

F = 14 ρ4 − λ2 ρ2 .

Из уравнения Эйлера–Лагранжа имеем

ρ3 − λρ = 0 ρ(ρ2 − λ) = 0 .

Имеем три корня последнего уравнения:

ρ1 = 0 (не удовлетворяет ограничению),

ρ22, 3 = λ .

Значение λ может быть найдено из ограничения задачи

Окончательно

ρ(φ) = λ = Sπ .

Далее покажем, что профиль в виде круга дает абсолютный минимум полярного момента инерции. Возникает также задача

51

нахождения профиля поперечного сечения, дающего абсолютный максимум полярного момента инерции при заданной площади.

Для простоты предположим, что профили поперечных се-

чений кости должны иметь форму правильного многоугольника с данной площадью S (рис. 2.20).

Таким образом, учтем, что биологическая природа должна иметь определенную симметрию поперечных сечений.

Известно, что полярный момент инерции правильного многоугольника выражается формулой

где n – число углов многоугольника (рис. 2.21).

2

Формула (2.48) может быть получена непосредственным интегрированием.

Очевидно, что полярные моменты инерции правильных

Можно доказать, что производная d I p < 0 и функция I p (n) dn

являетсяубывающей функцией от n (рис. 2.22).

52

ное сечение) и стремится к инфимуму (наименьшее значение) при n → ∞ (круг).

53

Γ1

S1

S2

Γ2

В результате приходим к выводу, что задача (2.50) имеет решение при n1 = 3, а задача (2.51) – при n2 = ∞. Таким образом,

решение проблемы (2.49) дается профилем поперечного сечения кости в виде правильного треугольника на внешнем контуре

икругом – внутри (рис. 2.24).

2.8.4.Выводы

1.На основании полученных результатов можно заключить следующее:

а) трубчатые кости, имеющие профили с правильным треугольником снаружи и кругом внутри, оптимально адаптирова-

54

ны к крутящим моментам, так как они имеют максимальную крутильную жесткость;

б) наоборот, кости с внешним круглым контуром не адаптированы к кручению.

Следовательно, в первом случае кости в процессе эволюции были подвержены в основном крутильным нагрузкам, а во втором случае ситуация была другой.

2. С точки зрения анатомии человека можно заключить, что бедренная кость человека (практически круглая в поперечном сечении) подвергается при ходьбе, беге, прыжках и других активных движениях в основном изгибу и сжимающим нагрузкам. В то же время большеберцовая и малоберцовая кости имеют поперечное сечение, по форме близкое к треугольнику. Этот факт говорит о крутильном характере воздействий на них. Данные результаты связаны с формой суставов этих костей: головка бедренной кости представляет собой почти идеальную сферу, что не позволяет передавать крутящие моменты к бедренной кости через тазобедренный сустав, в то же время форма коленного сустава аналогична одноосному шарниру, который позволяет передачу закручивающих усилий, но не изгиб костей.

В результате две кости при минимуме костного материала адаптированы природой для передачи различных нагрузок от скелета человека к нижним конечностям.

2.9.ПЕРИОСТАЛЬНОЕ (НАДКОСТНИЧНОЕ)

ИЭНДОСТАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕСТРОЙКОЙ КОСТИ ПРИ КРУТИЛЬНОМ НАГРУЖЕНИИ

Излагаемая в данном разделе модель позволяет описать изменение формы кости, имеющее место в средней части диафиза длинных костей при адаптивной перестройке, вызванной увеличением или уменьшением крутящего момента [9]. В этой модели средний диафиз длинной кости представляется как по-

55

лый толстостенный правильный круглый цилиндр. Будет показано, что модель перестройки зависит от того, что является стимулом перестройки – периостальная или эндостальная поверхность? Также предполагается, что имеется конечный интервал изменения напряжений, где перестройка не происходит («ленивая зона»). В данном решении рассматривается только статика, но не динамика перестройки, т.е. рассматривается не ход перестройки со временем, а лишь конечная форма кости после окончания перестройки.

2.9.1. Описание теоретической модели

Геометрическая модель области диафиза длинной кости есть полый правильный круговой цилиндр (рис. 2.25).

y

R ρ (ρ,θ)

θ

r x

M P

Периост (надкостница)

Эндост (подкостница)

M P

Рис. 2.25. Геометрическая модель диафиза трубчатой кости

56

Механическое нагружение цилиндра и возникающие напряжения могут быть исследованы методами сопротивления материалов. Цилиндр подвержен сжатию аксиальной силой Р и кручению крутящим моментом М.

Аксиальное напряжение σ, производимое силой Р, равно

где ρ – переменная радиальная координата, r ≤ ρ ≤ R .

Формулировка периостального (или эндостального) управления перестройкой связана с предельными значениями напря-

жений (2.52) и (2.53).

Мы предполагаем, что деформация в некотором месте кости управляет процессом перестройки в окрестности этого места в соответствии с законом Вольфа. Это деформационное управление в процессе перестройки кости аналогично управлению в термостате путем нагрева-охлаждения (холодильник). Предполагается, что существует конечная область деформации, связанная с равновесием перестройки, где перестройка отсутствует. Аналогично работает термостат: при превышении верхней предельной температуры включается система охлаждения, при уменьшении температуры ниже нижней предельной температуры включается система нагрева.

Другими словами, в упругой кости имеется зона напряжений (или деформаций), где перестройка отсутствует («ленивая зона», lazy zone).

Диапазон аксиальных нормальных напряжений σ в периосте и эндосте в равновесии перестройки

57

σ−p ≤ σp ≤ σ+p , σe− ≤ σe ≤ σe+ .

Также для касательных напряжений τ имеем

τ−p ≤ τp ≤ τ+p , τe− ≤ τe ≤ τe+ ,

здесь индексы p и e относятся к периосту и эндосту; «+ » и « − » означают верхние и нижние предельные значения.

Заметим, что нормальные напряжения σ однородны по сечению, а касательные напряжения τ изменяются линейно по координате ρ.

Из формулы (2.53) видно, что отношение касательных напряжений на эндостальной и периостальной поверхностях равно

На рис. 2.26 показаны линейное распределение касательных напряжений и область напряжений при равновесии перестройки на периостальной и эндостальной поверхностях.

Здесь фактор времени не учитывается, а значения сил соответствуют усреднению по достаточно большому промежутку времени.

Рис. 2.26. Распределение касательных напряжений при равновесии перестройки

58

Допустим теперь, что одно из касательных напряжений (τe или τp) или нормальное напряжение σ выходит за пределы интервала, образованного предельными значениями (или, другими словами, за пределы lazy zone). В результате конфигурация области (в данном случае радиусы цилиндра) меняются таким образом, чтобы все напряжения (σ, τe, τp) оказались внутри области равновесия перестройки (внутри lazy zone).

Если σ или τ превышают заданное предельное значение на периостальной (или эндостальной) поверхности, то поверхность становится активной поверхностью. Ниже приведем иллюстрации (рис. 2.27, 2.28)периостального и эндостального управления, даваемого касательными напряжениями.

Рис. 2.28. Напряжения при эндостальном управлении перестройкой

59

Линейное распределение касательных напряжений показано стрелками. На рис. 2.27 периост есть активная поверхность. На рис. 2.28 эндост является активной поверхностью.

2.9.2. Численный пример

щий момент приложен к этой кости. После этого крутящий момент увеличивается в два раза, т.е. M1 = 2M0 , где M1 – конеч-

ный крутящий момент, соответствующий новому состоянию равновесия кости после перестройки. Площадь поперечного сечения предполагается постоянной (т.е. в данном случае нет изменения нормальных напряжений). Начальный полярный момент инерции равен I p0 = 63813,60 мм4 . Это значение соответ-

ствует начальной форме сечения ( R0 =15 мм, r0 =10 мм, толщина δ0 = 5 мм, среднийрадиус R0m =12,5 мм).

Увеличение крутящего момента в два раза при условии возвращения касательных напряжений в интервал равновесия пере-

60