книги / Современные проблемы биомеханики

вращения стопы. Данныео прочности сухожилий, хрящей и костей имеются в классической монографии [2].

Рис. 1.1. Кость и сухожилия стопы [1]

Предположим, что вес человека равен 68 кг, размеры его стопы (в дюймах, 1 дюйм = 2,54 см) показаны на рис. 1.1. Обозначим натяжение ахиллова сухожилия как Т (см. рис. 1.1). Предположим также, что человек встал на носки, готовясь к прыжку, но остается в состоянии покоя. Тогда из уравнения моментов сил относительно сустава между большеберцовой

итаранной костями имеем

Т1,5 = 34 6,

откуда получаем значение натяжения в ахилловом сухожилии Т = 136 кг. Если поперечное сечение ахиллова сухожилия равно 1,6 см2, то растягивающее напряжение

σ = 1361,6 = 85 кг/см2 .

11

но равна 0,3 с. Примем это значение. Тогда при весе P = 68 кг по-

При прыжке на двух ногах общая сила, действующая на каждую стопу, равна (68 + 80)/2 = 74 кг. Соответственно, натяжение ахиллова сухожилия равно 74 · (6 : 1,5) = 296кг. Тогда напряжение при площадипоперечногосечения1,6 см2 равно 185 кг/см2.

Насколько такое напряжение опасно для сухожилия человека? Согласно данным из монографии [2] предельное (разрушающее) растягивающее напряжение для ахиллова сухожилия в возрастной группе 10–29 лет составляет 5,6± 0,09 кг/мм2. Сравнивая вычисленное напряжение 1,85 кг/мм2 с предельным напряжением, видим, что запас прочности довольно мал, особенно при многократном выполнении прыжков и неизбежном накоплении микроповреждений.

Однако такая ситуация не является опасной для здоровья человека, так как живые организмы (в отличие от неживых) имеют способность самозалечивания и самовосстановления нарушенных живых тканей.

1.2.3. Коррекция деформации позвоночника при сколиозе

Рассмотрим упрощенную модель сколиотического позвоночника [3] и три метода коррекции деформации (рис. 1.2).

Напомним, что сколиоз (греческое слово) означает боковое (врожденное или приобретенное) искривление позвоночника. Профилактика и лечение сколиоза заключаются в применении гимнастических упражнений и хирургических методов. В последнее время начали применяться также механические методы, обсуждаемые в данной задаче. Рассматриваются три варианта приложения корректирующего изгибающего момента относительно точки С – вершины кривой, образовавшейся при

13

сколиозе. Нужно показать, что для сильнодеформированного позвоночника (угол θ > 53°) метод а ведет к большему корректирующему моменту, чем метод б. Для менее искривленного позвоночника (угол θ < 53°) метод б является более предпочтительным. Наконец, случай в является лучшим для всех степеней искривленности позвоночника.

Рис. 1.2. Несколько механических методов, способствующих выпрямлению искривленного позвоночника

Корректирующий момент равен изгибающему моменту относительно нормального сечения, проходящего через точку С, а последний, в свою очередь, равен сумме моментов внешних сил, действующих на позвоночник и лежащих выше (или ниже) точки С. Заметим, что сумма моментов всех внешних сил равна нулю, так как система сил F должна быть уравновешенной системой сил, для которой имеют место условия равновесия

( Fx = 0, Fy = 0, mc (F) = 0).

Для удобства введем обозначение θ2 = α, тогда получим:

– для случая а

M (a) = mc (F) = FLsin α;

14

– для случая б

Следовательно, при θ > 53° метод а ведет к более эффективной коррекции позвоночника, чем метод б. Наоборот, при θ < 53° метод б более эффективен.

Далее рассмотрим метод в. В этом случае имеем

M (в) = mc (F) = F sin30°Lcosα+ Fcos30°sin α =

чем случай б. Покажем, что M (в) > M (a) . Считаем, что θ < 120°,

15

Наша задача состоит в доказательстве последнего нера-

венства при 0 ≤ α ≤ π6 .

При α = 0

Таким образом, проведенное рассуждение доказывает, что в реальных условиях метод в является лучшим по сравнению с двумя другими методами лечения сколиоза.

Рис. 1.3. График функции f (α)

16

Рассмотренные примеры, число которых можно приумножить, доказывают, что существуют различные задачи биомеханики, в которых решение не требует учета деформаций. Таковы, например, различные задачи биомеханики спорта.

Однако в более сложных задачах, которые будут рассмотрены ниже, модели абсолютного твердого тела не могут привести к корректному решению (сюда, например, относятся проблемы кровообращения). Учет деформаций также необходим при решении большого класса задач, в которых рассматриваются важные вопросы роста и перестройки живых тканей.

Контрольные вопросы

1.Чем отличаются задачи механики для живых и неживых

систем?

2.Можете ли вы придумать задачу биомеханики, аналогичную рассмотренным в данной главе?

3.Почему, по вашему мнению, Россия отстает от передовых стран мирав развитии и применении биомеханики в медицине?

17

ГЛАВА 2. РОСТ И ПЕРЕСТРОЙКА ОРГАНОВ И ТКАНЕЙ

2.1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Рост есть процесс изменения массы биологической системы, определяемый генетическими (врожденными) факторами

изависящий от эпигенетических факторов (факторов окружающей среды, таких как температура, механические напряжения

идеформации, химические вещества, внешние и внутренние физические поля и т.д.).

Перестройка (или адаптация) есть процесс изменения формы и свойств биологической системы, определяемый изменением внутренних и/или внешних условий.

Внешняя перестройка есть процесс изменения формы системы.

Внутренняя перестройка есть процесс изменения свойств системы (механические свойства трабекул, их архитектура, развитие пор и др.).

Иногда процесс изменения формы системы называют морфогенезом.

2.2. ПОСТАНОВКА НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ РОСТОВОЙ ДЕФОРМАЦИИ В УПРУГОЙ СИСТЕМЕ (В СКОРОСТЯХ)

Рассмотрим область V с границей S (рис. 2.1). Замыкание V = V S принадлежит трехмерному евклидову пространству E3 , т.е. V E3. Награнице Sv в каждойточке заданытри компонентывектора скоростей. На границе Sσ вкаждой точке заданы

18

Вданном тексте используются следующие обозначения:

а– скаляр; a – вектор (тензор первого ранга); α – тензор второго ранга; A – тензор четвертого ранга.

Тогда постановка начально-краевой задачи определения ростовых деформаций в упругой области примет следующий вид:

1.Уравнение движения (или равновесия)

19

есть тензор скорости ростовой деформации; A – тензор врожденного (собственного) роста; B – тензор четвертого ранга, отражающий влияние напряжений на деформацию роста.

В общем случае тензоры A и B зависят от времени и координат.

Тензор ξe есть тензор скорости упругой деформации, и в случае малой деформации он описывается формулой

ρ, v,σ даны при t = 0 , r V .

В итоге система уравнений (2.1)–(2.6) есть система дифференциальных уравнений начально-краевой задачи определения ростовой деформации в упругой системе. Мы имеем 16 скалярных уравнений для определения 16 скалярных функций координат и времени( ,σ ,ξ ,v ρ).

20