книги / Надежность электрических машин

162

Так как проверяется экспоненциальный закон, то точки наносятся на экспоненциальную сетку (см. рис. 21). Проводится прямая линия и определяется максимальное отклонение D = 0,09. Оценка по критерию Колмогорова даёт результат,

меньший единицы, т.е. D n = 0,48 < 1, и это даёт основание считать, что отказы подчиняются экспоненциальному закону распределения.

Рассмотрим использование критерия согласия Колмогорова по данным испытаний ЭМ, например, для установления вида распределения времени безотказной работы путём построения гистограммы интенсивности отказов машин в зависимости от времени.

Пример 9.2. В процессе испытаний на надёжность партии АД в количестве n = 40 получены данные об отказах двигателей в отдельные интервалы времени, указанные в табл. 20.

Таблица 2 0

Результаты испытаний

Построить гистограмму интенсивности отказов и установить закон распределения времени безотказной работы двигателей.

Решение.

1. Определяем среднее число исправно работающих двигателей в интервалах ∆ti по формуле четвёртой колонки таблицы исходных данных:

163

Рис. 22. Гистограмма интенсивности отказов испытанных двигателей в зависимости от времени

3. Рассчитываем среднее значение интенсивности отказов и её наибольшее отклонение от среднего значения D:

λср = (0,512 +1,11+1,94 +1,54 + 0,87) 10−3 = 1,19 10−3 ч–1; 5

D = 1,94 · 10–3 – 1,19 · 10–3 = 0,75 · 10–3.

4. Проверяем по критерию согласия А. Н. Колмогорова (98) соответствие опытого распределения отказов предполагаемому экспоненциальному:

164

Следовательно, в соответствии с критерием Колмогорова считаем, что вид распределения времени безотказной работы испытанных асинхронных двигателей экспоненциальный при

средней интенсивности отказов λср =1,19 10−3 ч–1.

Согласно опытным данным надёжность двигателей за время t = 500 ч

P(500) =1− nn(t) =1− 1840 = 0,55,

а по экспоненциальному закону распределения

Р(500) = е−λсрt = е−1,19 10−3 500 = 0,55.

Расхождение расчёта надёжности по экспоненциальному закону распределения с расчётом поопытным данным составляет 0 %.

9.3. Использование доверительных интервалов

Увеличение объёма выборки при испытаниях технических устройств на надёжность даёт статистические оценки параметров надёжности, всё более приближающиеся к истинным значениям. При этом основным понятием является доверительный уровень,

или коэффициент доверия.

Оценки же параметров в этом случае целесообразно представлять с помощью некоторого интервала с заданной довери-

тельной вероятностью (или коэффициентом доверия α) вместо точечных оценок.

Коэффициент доверия α выражает собой вероятность того, что истинное значение величины находится внутри этого интервала. Границытакогоинтерваланазываютсядоверительнымиграницами.

Вероятность того, что значение искомой величины выйдет из границ интервала, называют уровнем значимости β = 1−α.

Величина α обычно принимается равной 0,90; 0,95; 0,99, ауровнизначимости β соответственно0,10; 0,05; 0,01. Доверительная

вероятность α характеризует собой степень достоверности результа- товдлядвустороннейоценкикакого-либопараметранадёжности.

165

Доверительные интервалы статистических оценок параметров надёжности имеют нижнюю и верхнюю границы. В теории вероятностей и математической статистике для определения доверительных границ генеральной совокупности или среднего значения какого-либо параметра надёжности при обработке статистических данных после испытаний технических устройств (на основе данных выборки объёмом n) широкое практическое применение нашли распределение χ2 и квантили Стьюдента

(см. соответственно табл. П.11 и П.12 прил.1). Математическое выражение χ2 имеет следующий вид:

где хi – текущее значение переменной случайной величины; x – среднее значение случайной величины; σ – среднеквадратичное отклонение случайной величины; ν – число степеней свободы, ν = n −1; n – размер выборки или её объём.

Значение χ2 является функцией объёма выборки n изделий, которые испытываются. Чем больше n, тем большую величину приобретает значение этой функции. Распределение χ2 может быть представлено как сумма квадратов ν неизвестных нормальных величин с нулевым средним значением х и единичным средним квадратическим отклонением σ .

При числе степеней свободы ν = n −1 ≥ 30 кривая χ2 прибли-

жается к кривой нормального распределения (рис. 23). На рис. 23 представлен двусторонний доверительный уровень случайного признака α =1−β с доверительными границами. При этом уровень

значимости может быть определён как вероятность того, что χ2

находится вне области, ограниченной доверительными границами (н) и (в), т.е. лежит в областях заштрихованных участков β/ 2 .

Термин «уровень значимости» β применяется для обозначения

166

площади заштрихованных остатков, а термин «доверительный уровень» α – для обозначения площади, расположенной вне остатков. Доверительный уровень α пропорционален площади, ограниченной кривой и нижней и верхней границами.

При числе степеней свободы ν = n −1 ≤ 30 значения χ2 при-

ходится определять по таблице при различных уровнях значимости β =1−α или доверительных вероятностях α .

Рис. 23. Двусторонний доверительный уровень с нижней (н) и верхней (в) доверительными границами

Оценка дисперсии генеральной совокупности в доверительных границах (н) и (в) рассчитывается по формулам:

где σн2 и σв2 – соответственно оценка дисперсии генеральной совокупности в (н) и (в) доверительных границах с уровнем зна-

167

ν = n −1; χν2,α и χν2,β/ 2 – распределение χ2 при числе степеней

свободы ν , доверительной вероятности α или уровне значимости β/ 2 для (н) и (в) доверительных границ соответственно, оп-

ределяемое табл. П.11 прил.1.

Формулы (100) могут быть использованы также для оценки

где r – браковочное число (число отказов или неисправностей в выборке испытываемых изделий), при котором выборка бракуется как негодная; β− уровень значимости (заштрихованные

участки площади кривой на рис. 23); Тср − оценка среднего вре-

мени безотказной работы, ч.

Если же выборка имеет (r – 1) отказов и неисправностей или менее, то она принимается. Величина с = (r – 1) называется

приёмочным числом.

В случае экспоненциального распределения отказов параметр надёжности Tср , представляющий собой заданное или истинное

значение среднего времени безотказной работы, может быть представлен статистической оценкой этой величины, которая должна находиться между наименьшим Tср.н и наибольшим Tср.в

значениями, т.е. нижней и верхней доверительными границами. Для экспоненциального распределения нижняя и верхняя доверительные границы интенсивности отказов λн и λв , среднего

времени Tср.н и Tср.в , доверительной вероятности Pн (t) и Pв (t) определяются по формулам

169

кривой нормального распределения (см. рис. 23) известно, что истинное значение долговечности Тр будет приблизительно в 68,3 % случаев находиться в пределах ±σ(Тр) стандартной

ошибки и примерно в 95,4 % случаев – в пределах ±2σ(Тр).

Вероятности, выраженные в процентах от величины стандартной ошибки ±kσ(Тр) (т. е. величины 68,3 % и 95,4 %), пред-

ставляют собой коэффициенты доверия для соответствующих интервалов. Они определяются площадями, ограниченными кривой нормального распределения и соответствующими границами интервалов (н) и (в) (см. рис. 23). Величина k = 1…3 показывает количество стандартных ошибок, которые следует вычесть из полученной оценки Тр или прибавить к ней для того, чтобы определить (н) и (в) доверительные границы при заданном коэффициенте доверия. Тогда доверительный интервал будет определяться так:

По табличным данным нормального распределения площади, ограниченные «хвостовыми» заштрихованными участками этой кривой (см. рис. 23) для одного стандартного отклонения от среднего, составляют по 0,1587. Тогда площадь внутри этого интервала равна 1 – 2 0,1587 = 0,6826. Если обозначить площадь одного хвостового участка кривой через β/ 2, то площадь в ин-

тервале kσ(Tр) определяется разностью (1−β) , выражающей

собой коэффициент доверия α (см. рис. 23). Если на рис. 23 за начало координат принять оценку средней долговечности Тр, то (н) и (в) доверительные границы определяются по формулам:

170

где kα(n−1) − квантиль распределения Стьюдента для доверительной вероятности α или уровня значимости β = (1−α) и числа степеней свободы ν = n −1, принимается по табл. П.12 прил.1.

Истинное значение долговечности Тр лежит в интервале Тр.н и Tр.в с доверительной вероятностью α .

Нижняя доверительная граница Тр.н средней долговечности

обычно представляет больший интерес, чем верхняя. В этом случае для оценки параметров надёжности используется односторонняя нижняя доверительная граница Тр.н (рис. 24), а верхняя

граница принимается равной бесконечности.

При данных условиях нужно обеспечить заказчику изделий уверенность в том, что при доверительной вероятности α истинная средняя долговечность Тр

достигает заданного минимума или превышает его. В этом случае нижняя доверительная граница может быть представлена

в виде первого уравнения системы (105). Следовательно, оценка средней долговечности Тр , полученная из опытных данных в про-

цессе испытаний технических устройств на надёжность в соответствии с первым уравнением в системе (105), должна соответствоватьнеравенству

ряет неравенству (106), то требование заказчика в совпадении истинного значения Тр с нижней доверительной границей Тр.н при заданном коэффициенте доверия α не будет выполнено.