книги / Надежность электрических машин

121

время испытаний сокращается в Kу раз ( Kу = tн , Kу принимает tу

значения от 1,5 до 5,0). Остальные параметры (Рβ, с, d, β) одинаковы для обоих случаев.

Методика КИ на надёжность должна включать следующие моменты:

–общие положения;

–условия проведения испытаний;

–планирование испытаний.

Общие положения

1. Методика рассчитана на подтверждение вероятности без-

отказной работы изделия за время τ, т.е. P(τ).

2.На основании данной методики проводятся КИ на надёжность для проверки соответствия вероятности безотказной работы Р(τ) требованиям ТУ.

3.Периодичность контроля количественных показателей надёжности устанавливается в ТУ; контроль производится также при различных изменениях в конструкции, технологии и т.д.

4.Комплектование выборки производится методом случайных чисел. Для составления выборки используется таблица случайных чисел или генератор случайных чисел.

5.Методика позволяет сократить время испытаний за счёт форсирования режимов испытаний (при ускоренных испытаниях).

Условия проведения испытаний

1.Образцы изделий для проведения КИ на надёжность отбираются из числа принятых техническим контролем завода с обязательным прохождением приработки.

2.Контрольные испытания на надёжность рекомендуется проводить круглосуточно в форсированном режиме. Факторы

иуровни форсирования устанавливаются в результате проведения исследований по определению Kу.

3.Во время испытаний проводятся регламентные и профилактические работы, предусмотренные соответствующими инструкциями.

122

4. Ускоренные испытания являются циклическими. Уровни воздействующих факторов выбираются такими, чтобы обеспечить заданный коэффициент ускорения. Значение Kу задаётся в зависимости от интервала варьирования факторов, предполагаемой продолжительности испытаний и корректируется возможностью реализации коэффициента ускорения настендах предприятия.

Планирование испытаний

1.Перед проведением испытаний должны быть установлены риск заказчика β (при планировании по одному уровню); вероятность безотказной работы Р(τ), подлежащая проверке за время τ.

2.При планировании испытаний должны быть зафиксированы: n – объём выборки; с – допустимое число отказавших изделий (приёмочное число). С целью сокращения объёма выборки рекомендуется брать число n = 0;1;2.

3. При увеличении времени испытаний tи по сравнению

стребуемым τ (tи > τ) объём выборки уменьшается.

4.При планировании по одному уровню в зависимости от условий испытаний имеют место две различные ситуации:

– предприятие располагает необходимым количеством изделий n для проведения испытаний;

– предприятие не располагает необходимым количеством изделий.

5.В первом случае алгоритм испытаний следующий:

а) имеется некоторое количество испытуемых изделий n;

б) задаются приёмочным числом с и по табл. П.7 прил. 1 определяют Рβ(tи), которая может быть проверена при КИ n изделий для соответствующего значения β;

в) выполняется условие Рβ(τ) ≤ Рβ(tи), где Рβ(τ) – заданная ТУ вероятность безотказной работы за время τ; Рβ(tи) – вероятность безотказной работы при испытаниях n образцов;

г) для заданного числа отказов с и Рβ(tи) проверяют необходимое для испытаний число изделий nт < n (здесь nт – объём

выборки изделий, найденный по таблицам для соответствующего значения β);

123

д) все nт изделий испытываются в течение времени tи = τ,

и по результатам испытаний подтверждают или отклоняют выдвигаемую гипотезу. Если число отказов при испытаниях d ≤ с, то результат положительный, если d > c, то результат отрицательный.

Пример 7.2.1.

Необходимо подтвердить, что Рβ(τ) = 0,9 при β = 0,3 за 5000 ч. Вналичии имеется 20 изделий (n = 20).

Решение.

По табл. П.7 прил. 1 для β = 0,3 при с = 1 и Рβ(τ) = 0,9 находим nт = 24 (это больше имеющихся в наличии изделий), а при

с = 0 количество изделий по таблице составляет 11. Принимается план испытаний: n =11, с = 0.

6. Во втором случае, когда предприятие не располагает необходимым для испытаний числом изделий ( nт > n), увеличива-

ют время испытаний, т. е. принимают tи > τ. В этом случае алгоритм испытаний следующий:

а) определяют Рβ(tи) по табл. П.7 прил. 1 для заданного значения β и имеющихся n изделий;

б) функция нормального распределения для Рβ(τ)

Ф(z) = Pβ (τ) −0,5

где t − среднее значение времени работы изделий,

124

t= 1∑l ti .

l i=1

Среднее квадратичное отклонение σ определяется данными эксплуатации, ресурсными испытаниями, иными испытаниями в одинаковых условиях;

д) время испытания tи для подтверждения Р(τ) определяется по формуле

tи = σ(z − z′).

Испытания проводятся в течение времени tи. Результаты считаются положительными, если d ≤ с.

Пример 7.2.2.

Необходимо подтвердить, что вероятность Р(τ) = 0,9 при заданном β = 0,3 за τ = 10 000 ч. Предприятие выделяет 8 изделий для испытаний. Известно, что σ = 2000 ч.

Решение.

Сначала по табл. П.7 прил. 1 для β = 0,3; n = 8 и с = 0 нахо-

дим Pβ(tи) = 0,85.

Далее определяем, что Ф(z) = Р(τ) – 0,5 = 0,9 – 0,5 = 0,4, и по табл. П.6 прил. 1 находим z = 1,28.

Затем вычисляем Ф(z′) = Рв(tи) – 0,5 = 0,85 – 0,5 = 0,35 и по табл. П.6 прил. 1 находим z′= 1,04.

Наконец, находим tи = τ + σ·(z – z′) = 10 000 + 2000·(1,28 –

– 1,04) = 10 480 ч.

Итак, в течение 10 480 ч испытываются 8 изделий, причём для подтверждения, что Р(τ) = 0,9, при β = 0,3 не должно выйти из строя ни одного изделия (c = 0).

7. При планировании испытаний для проверки двух значений вероятности безотказной работы используется два значения времени испытаний tи1 и tи2 ( их не следует брать слишком близкими, tи2 > tи1). В этом случае алгоритм действий следующий:

а) определяют функцию нормального распределения:

Ф(z) = P(τ) −0,5 ,

и по её величине в табл. П.6 прил. 1 находят z;

125

б) по значениям z, mx = Тβ и τ находят

σβ = mxz−τ,

где mx – математическое ожидание; τ – время, заданное в ТУ; Тβ – браковочное среднее время безотказной работы;

в) определяют z1 и z2:

По полученным значениям z1 и z2 в табл. П.6 прил. 1 находят

Ф(z1) и Ф(z2);

г) затем определяют

Рβ1 (tи1) = Ф(z1)+0,5,

Рβ2 (tи2) = Ф(z2)+0,5;

д) по табл. П.7 прил. 1 для соответствующих β, Рβ(tи) и приёмочного числа с определяют объёмы выборок n1 и n2;

е) оценку результатов испытаний для двух уровней времени tи1 и tи2 с объёмами выборок n1 и n2 производят следующим образом.

На испытания устанавливают n1 изделий, из которых перед началом испытаний выделяют группу из n2 изделий. Проводятся испытания. По истечении времени tи1 в выделенной группе n1 фиксируют число отказов и проверяют соотношение d1 ≤ с1. Если это условие не выполняется, то испытания для этой группы прекращаются, а результат считается отрицательным для времени испытаний tи1.

При d1 ≤ с1 испытания продолжаются на n2 изделиях группы в течение времени tи2. Затем фиксируется количество наступивших отказов. Если d2 ≤ с2, то результат положительный.

126

Пример 7.2.3.

Необходимо подтвердить, что Р(τ) = 0,9 для τ = 10 000 ч,

β = 0,3, Тβ=13 000 ч.

Принимаем tи1 = 12 000 ч и tи2 = 14 000 ч.

Решение.

Определяем функцию нормального распределения:

Ф(z) = P(τ) −0,5 = 0,4; откуда z =1, 28.

Вычисляем среднее квадратичное отклонение:

Находим значения z1 и z2 для tи1 и tи2:

= 13 000 −12 000 =

z1 0,426, 2343,7

= 13 000 −14 000 = −

z2 0,426. 2343,7

Функция нормального распределения по табл. П.6 прил. 1

Ф(z1) = 0,1628,

Ф(– z2) = – Ф(z2) = – 0,1628.

Далее получаем значения Рβ1(tи1) и Рβ2(tи2):

Рβ1 (tи1) = 0,5 + Ф(z1) = 0,6628,

Рβ2(tи2) = 0,5 + Ф(z2) = 0,3372.

По табл. П.7 прил. 1 для Рβ1 = 0,6628 и β = 0,3 при с = 0 объём выборки n1 = 4, для Рβ2 = 0,3372 и β = 0,3 при с = 0 объём выборки n2 = 2 (взято с запасом).

Наконец, проводятся испытания в соответствии с п. 7е и последующей оценкой результатов испытаний.

127

7.3. Метод последовательного анализа

Известно что, целью КИ является подтверждение или отклонение гипотезы о том, что какая-либо характеристика надёжности больше или меньше заданной ТУ. В основе проверки статистических гипотез, в общем случае, лежит понятие об основной и конкурирующей гипотезах. На основании выбора основной и конкурирующей гипотез всё пространство событий разбивается на два подмножества. Если наблюдаемая выборка попадает в первое подмножество, то основная гипотеза отвергается и принимается конкурирующая. Наоборот, если выборка попадает во второе подмножество, то основная гипотеза принимается, отвергается конкурирующая. Обозначим основную гипотезу Н0, а конкури-

рующую – Н1. Принимая решение о верности той или иной гипо-

тезы, мы можем допустить ошибку первого рода – отклонить верную гипотезу Н0 – и ошибку второго рода – принять ложную гипотезу Н1.

Вероятность ошибки первого рода α, второго рода β. При выборе критической области для принятия и отклонения Н0 используется принцип Неймана – Пирсона. Согласно этому принципу при заданной вероятности α необходимо выбрать такую критическую область из множества, для которой вероятность β будет минимальной. Таким образом, ошибка второго рода β есть функция от α и определяется на основепринципа Неймана – Пирсона.

При планировании КИ постановка задачи следующая: заданы α и β, на основании принципа Неймана – Пирсона определяется необходимое количество изделий n, которые должны быть испытаны, чтобы подтвердить или отклонитьосновную гипотезу.

Идея метода последовательного анализа заключается в том, что при заданных α и β количество испытываемых изделий заранее не фиксируется, а зависит от исхода наблюдений. Устанавливается правило, которым руководствуются на каждой стадии эксперимента при принятии одного из решений: принять основную гипотезу, принять конкурирующую гипотезу, продолжить испытания. Три критические области выбирают, основываясь на последовательном критерии отношения правдоподобия.

128

На основании накопленного опыта установлены некоторые нормы, которые дают низкое значение риска изготовителя и не требуют чрезмерных затрат на испытания. В ТЗ при этом включаются как нормы надёжности:

– среднее время наработки на отказ Тα , которое соответст-

вует риску изготовителя α, это приёмочное значение наработки на отказ,

– среднее время наработки на отказ Tβ , которое соответству-

ет риску заказчика β, это браковочное значение наработки на отказ (Tα >Tβ ).

Определим необходимое время испытаний. Выбор трёх критических областей основан на последовательном критерии отношения правдоподобия

До тех пор пока γ > 1−βα , решение о приёме партии являет-

ся необоснованным, и, наоборот, пока γ < 1−αβ, решение об от-

браковке необоснованно. Здесь (1−α) − вероятность приёма хорошей партии, а (1−β) − вероятность отбраковки плохой партии.

Итак, пока выполняется неравенство

испытания необходимо продолжать.

При нарушении неравенства испытания прекращаются

спринятием решения:

–если нарушается левая часть, то принимается решение

оприёмке;

–если нарушается правая часть, то партия бракуется.

130

Используя описанный метод последовательного анализа, задачу можно решить графическим способом. В соответствии с уравнениями (85) строятся границы отбраковки (рис. 15).

Рис. 15. График испытаний по методу последовательного анализа

Строится ступенчатый график зависимости r = f (t), соот-

ветствующий времени возникновения очередных отказов. Если в процессе испытаний линия r = f (t) пересечёт нижнюю грани-

цу, то исследуемая партия изделий принимается, если верхнюю – то бракуется.

При планировании испытаний необходимо внимательно подходить к сокращению времени испытаний. Если ЭМ испытывать одну за другой, то суммарное время испытаний чрезвычайно возрастает, т. е. t∑ ≈ ntЕ, где n – число испытываемых машин; tE –

ожидаемое среднее календарное время испытаний одной машины. Поэтому для сокращения времени испытаний используются

следующие приёмы:

1. Если за установленное предприятием время испытаний tпред = kTα , гдеk = 10 … 12, неможетбытьприняторешение, толибо

изменяют (увеличивают) значения α и β, либо принимают решение об оценке ситуации относительно прямой bt. Если r = f (t) > bt, т. е.

выше линейной зависимости (см. на рис. 15 штриховую линию), выносится решение об отбраковке, если r = f (t) < bt, т. е. ниже штри-

ховойлинии, тоизделияпринимаются.