книги / Надежность электрических машин

72

Пример 3.5.

Частота отказов во времени электрической машины на шарикоподшипниках приближённо подчиняется распределению

Вейбулла с параметрами k = 1,5 и λ0 = 2·10–6 1,51ч .

Определить P(t) и λ(t) для трёх промежутков времени работы t, равных 500, 1000 и 2000 ч, а также вычислить Tср до первого отказа.

Решение.

λ(500) = 2 10−6 1,5 5001,5−1 = 67 10−6 1/ч,

λ(1000) = 2 10−6 1,5 10001,5−1 = 95 10−6 1/ч,

λ(2000) = 2 10−6 1,5 20001,5−1 =134 10−6 1/ч,

где гамма-функция взята из табл. П.2 прил. 1.

Полученные результаты показывают, что с увеличением продолжительности периода работы ЭМ на шарикоподшипниках возрастает интенсивность отказов λ(t) и уровень надёжности ЭМ снижается быстрее, чем при экспоненциальном законе распределения.

73

3.6. Биномиальное распределение

Данное распределение описывает появление событий, имеющих два взаимоисключающих исхода: хороший – плохой; черный – белый; исправный – неисправный; годен – негоден и т. д.

Например, в партии из 100 изделий 90 годных и 10 бракованных, вероятность появления тех и других выражается в виде 0,90 годных изделий и 0,10 – бракованных. Сумма вероятностей появления годных и бракованных изделий равна 1. Если в генеральной совокупности изделий доля исправных q и неисправных p, то

Если из большой партии однотипных изделий, содержащих p % неисправных, берётся выборка в количестве n изделий, то вероятность появления различного числа неисправных изделий в этих выборках определяется коэффициентами членов биномиального разложения:

p% ; q –

100

доля единицы исправных изделий; qn – первый член, показывающий вероятность отсутствия неисправных изделий в выборке объё-

мом n образцов; nqn−1 p – второй член, показывающий вероятность

ния двух неисправных изделий и т. д.; pn – последний член, определяющий вероятностьпоявления в выборке n неисправных изделий.

74

Пример 3.6.

Из большой партии сельсинов типа НС-404, содержащей 5 % неисправных образцов, берётся для использования в объекте выборка из четырёх машин (n = 4). Определить вероятности появления в выборках 0,1,2,3 или 4 неисправных сельсинов, если p =

= 100p% = 0,05, q = 0,95 и при этом (q + p)4 = 1.

Решение.

Вероятность появления в выборке нулянеисправных сельсинов

(q+p)n = (0,95+0)4 = 0,8145.

Вероятность появления в выборке одного неисправного

сельсина

n qn–1·p = 4q3·p = 4(0,95)3·0,05 = 0,1715.

Вероятность появления в выборке двух неисправных сельсинов

Полная вероятность

0,8145 + 0,715 + 0,0136 + 0,0004 = 1,0000.

Пример показывает, что вероятность отсутствия в выборке неисправных сельсинов составляет 0,8145, а появления в ней четырёх неисправных сельсинов равна 0.

При определённых значениях параметров и при большом числе испытаний биномиальное распределение преобразуется к нормальному распределению и распределению Пуассона.

75

3.7.Распределение Пуассона

Вэтом случае имеют дело с событиями, изолированными во времени или в пространстве. Число отказов в работе технического устройства в течение некоторого промежутка времени характеризует собой появления изолированных во времени событий.

Как и биномиальное, это распределение состоит из ряда членов, каждый из которых соответственно определяет вероятность появления 0,1,2,3 или большего числа событий на единицу измерения. Сумма этих вероятностей равна 1. Математически распределение Пуассона представляется в следующем виде:

где а– среднее значение числа неисправностей на изделие или неисправных изделий в выборке объёмом n, определяемое как произведение объёма выборки n и среднего значения p΄ доли числа не-

исправностей на изделие или доли неисправных изделий в целой партии (a = np΄) , при этом p΄= 100a% ; е-а – вероятность появления 0

неисправностей на изделие (или неисправных изделий) в выборке; ае-а – вероятность появления одной неисправности на изделие (или

неисправных изделий) в выборке; a2e−a – вероятность появления

2!

двух неисправностей на изделие (или неисправных изделий) в вы-

борке; a3e−a – вероятность появления трех неисправностей на из- 3!

делие (или неисправных изделий) в выборке; a4e−a – вероятность

4!

появления четырёх неисправностей на изделие (или неисправных

изделий) в выборке; abe−a – вероятность появления b неисправно- b!

стей наизделие (или неисправных изделий) в выборке.

76

Распределение Пуассона удобно применять, например, при контроле качества изделий. Оно определяет основу для составления плана выборочной приёмки изделий в отделах технического контроля предприятий, выпускающих серийную или массовую продукцию.

Пример 3.7.

Из большой партии трёхфазных асинхронных двигателей малой мощности типа АОЛ-12-4, содержащей 2 % неисправных машин, берётся для контроля выборка из 5 двигателей (n = 5). Оценить вероятность появления в выборках 0, 1, 2, 3, 4 или 5 неисправных машин, если

p΄= 100p% = 0,02 и a = np΄= 5 0,02 = 0,10 .

Решение.

Вероятность появления 0 неисправных машин в выборке

e−a = e−0,1 = 0,9048 .

Вероятность появления одной неисправной машиныв выборке

ae−a = 0,1e−0,1 = 0,09048 .

Вероятность появления двух неисправных машин в выборке

Вероятность появления трёх неисправных машин в выборке

Вероятностьпоявлениячетырёхнеисправныхмашинввыборке

a4e −a = 0,14 e−0,1 = 0,0000. 4! 1 2 3 4

77

Вероятность появления пяти неисправных машин в выборке

Сумма вероятностей равна 1,0000.

Итак, в выборке из пяти двигателей вероятность отсутствия в ней неисправных образцов составляет 0,9048, а вероятность появления в выборке больше двух неисправных двигателей практически равна 0.

Если в формуле (31) положить b = 0 и заменить среднее значение числа неисправных изделий а произведением интенсивности отказов устройства λ и времени его работы t, т. е. а = λt, то уравнение (31) сократится до первого члена, который представляет собой вероятность нулевого отказа или условие безотказной работы устройства:

где λ– средняя постоянная величина интенсивности отказов техническогоустройства, 1/ч; t – продолжительностьработыустройства, ч.

Следовательно, рассмотренное ранее первое уравнение надёжности технических устройств в формулах (19) является частным случаем распределения Пуассона, а уравнения (32) и (33) преобразуются в (8) и (4) соответственно.

В теории вероятностей распределение случайных событий по Пуассону связывают с показательным распределением

и с распределением Бернулли. При этом, если число событий имеет распределение Пуассона, интервалы между событиями имеют экспоненциальное или показательное распределение.

Иногда распределение Пуассона называют распределением редких событий, например несчастных случаев, дефектов в производственном процессе и т. д.

78

IV. ВОПРОСЫ НАДЁЖНОСТИ

ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ, ИЗГОТОВЛЕНИИ И ЭКСПЛУАТАЦИИ ЭМ

Напомним, что проектировщику ЭМ необходимо решить две основные задачи:

1)спроектировать ЭМ с заданными техническими характеристиками для выполнения ею своих функций;

2)создать её конструктивно надёжной, чтобы она не отказала в процессе эксплуатации.

При этом проектирующий должен выбрать приоритет в вопросах надёжности, т. е. определить, какому этапу отдать предпочтение: либо проектированию, либо эксплуатации. Оказывается, что на этапе эксплуатации в определённом смысле невозможно влиять на надёжность ЭМ, потому что эксплуатационная надёжность ЭМ в значительной мере определяется высокой за-

водской конструктивной надёжностью её. Поэтому проекти-

ровщикам электрических машин, особенно малой мощности, прежде необходимо уделять главное внимание вопросам надёжности на этапе их конструирования. Такой подход в вопросах надёжности ЭМ был характерен для семидесятых и восьмидесятых годов прошлого столетия. Сегодня от разработчиков ЭМ требуется значительно больше.

В связи с развитием электронно-вычислительной техники на базе новых технологий современной электроники, в частности микроэлектроники, разработчики ЭМ в процессе проектирования, разработки и изготовления новых электрических машин,

атакже при усовершенствовании существующих должны решить следующие задачи:

– уяснить и уточнить физические процессы (электромагнитные, тепловые, механические и др.), происходящие в электрической машине;

79

–составить на базе этих представлений исходные математическую и физическую модели процессов для создания расчётной методики;

–разработать надёжную конструкцию, эффективный технологический процесс для бездефектного производства машины.

Для решения этих задач должны приниматься определённые упрощения, которые вносят некоторые количественные ошибки

в«идеальную» модель. Это объясняется тем, что наши представления о происходящих в электрической машине процессах являются приближёнными, а расчётные методики создаются с рядом упрощений, так как полные математические модели, как правило, весьма громоздки и трудно поддаются формализации. Например, уравнения электромагнитного поля в наиболее общей форме были сформулированы Максвеллом ещё в 1871 г., однако их решение математическими методами даже в настоящее время можно осуществить лишь приближённо.

Указанные задачи решают в процессе исследовательских испытаний, цели которых можно сформулировать так:

–уточнение представлений о физических процессах, происходящих в электрических машинах, и корректирование расчётных методик;

–проверка правильности математических и физических моделей и областей их применения;

–создание на базе математических моделей автоматизированных систем управления производством электрических машин.

Эти задачи стоят перед разработчиками ЭМ любой мощности. Но разработка ЭМ малой мощности особенно требует закладывания высокой надёжности их уже на этапе конструирования.

4.1. Оценка конструктивной надёжности ЭМ

По теории вероятностей уравнения (8) и (11), полученные при условии постоянства интенсивности отказов λ(t), теоретически характеризуют надёжность ЭМ Р(t) как стационарный случайный

80

процесс, ординарный и без последствий. Это значит, что надёжность Р(t) по формуле (11) не зависит от течения событий в предшествующие моменты, так как Р(0) = 1. Вместе с этим данное уравнение не учитывает также неизбежного износа ЭМ или её частей с течением времени, возникающего в реальных условиях длительной эксплуатации. Поэтому (11) можно использовать для приближённой количественной оценки заводской конструктивной надёжности ЭМ без учёта износа её в эксплуатации. В этом случае нужно предварительно определить по формуле (10) приближённые значения среднего промежутка времени Тср между началом работы ЭМ и первым её отказом в действии, используя для этого имеющиеся некоторые опытные статистические данные по интенсивности отказов λ для разных типов ЭМ(табл. 13).