книги / Надежность электрических машин

171

Нижняя и верхняя доверительные границы дисперсии времени σ2 определяются неравенством

ятности (1−β/ 2) для нижней границы и β/ 2 для верхней границы при числе степеней свободы ν = n −1 (квантили определяются с использованием табл. П.11 прил.1).

Рассмотрим примеры использования критерия χ2 для пе-

риода нормальной эксплуатации электрических машин и перио-

да износа.

Пример 9.3. Вычисленная дисперсия наработки по данным испытания на надёжность выборки из 12 однотипных электрических машин σ2 =104 . Определить нижнюю и верхнюю доверительные границы оценки дисперсии генеральной совокупности этих машин с коэффициентом доверия α = 0,9 .

Решение.

1. Исходные данные: n = 12; ν =n – 1 = 12 – 1 = 11; σ2 =104 ;

уровень значимости для одной границы определяется простым

тельная граница для оценки дисперсии по уравнению (100)

σн2 = 1217,3104 = 0,69 104.

2.Для определения верхней доверительной границы находим величинуχ2ν,β/ 2 по табл. П.11 прил. 1: χ11(0,05)2 = 4,57, тогда по уравнению (100) получаем:

172

σв2 = 1217,3104 = 2,62 104.

Как показывают полученные данные о доверительных границах, дисперсия наработки генеральной совокупности рассмотренных электрических машин σ2 =104 (или σ = 100 ч) находится в интервале от 0,69 104 до 2,62 104 , или среднее квадратичное отклонение времени

83 ч < σ < 162 ч.

Пример 9.4.

При испытаниях на надёжность выборки сельсинов получены следующие значения наработки до отказа, ч: t1 = 100, t2 = 120,

t3 = 180, t4 = 200, t5 = 250, t6 = 300, t7 = 350, t8 = 400, t9 = 500, t10 = 600; число отказов равно 10; браковочное число r = 10. Оп-

ределить среднее время безотказной работы сельсинов, приёмочное число, а также нижнюю и верхнюю доверительные границы оценки среднего времени при доверительной вероятности (коэффициенте доверия) α = 0,95 .

Решение.

1. Общая наработка сельсинов по данным опыта t∑ = 3000 ч;

число испытанных сельсинов n = 2r = 20; приёмочное число с = r – 1 = 10 – 1 = 9; тогда оценка среднего времени безотказной работы сельсинов

Tср = tr∑ = 300010 = 300 ч.

2. Находим нижнюю и верхнюю доверительные границы

Как показывают полученные данные о доверительных границах, оценка среднего времени безотказной работы сельсинов Тср = 300 ч находится в интервале от 191 до 627 ч.

Пример 9.5.

При испытании на надёжность 11 однотипных асинхронных двигателей до выхода их из строя получены следующие значения

t11 = 4000. Определить оценку интенсивности отказов двигателей λ , нижнюю и верхнюю доверительные границы λн и λв с доверительными вероятностями соответственно α1 = 0,95 и α2 = 0,90 , а также оценку средней наработки до отказа Тср и её нижнюю гра-

ницу с вероятностью 0,90.

Решение.

На основании уравнений в системе (102) имеем:

нижней границы Тср.н.

Пример 9.6.

Испытания на долговечность 11 однотипных коллекторных машин постоянного тока, износовый период работы которых характеризуется нормальным распределением отказов, позволили получить следующие значения времени безотказной работы, ч:

t1 = 1500, t2 = 1200, t3 = 1800, t4 = 1600, t5 = 2000, t6 = 1400, t7 = 2200, t8 = 1700, t9 = 1900, t10 = 2100, t11 = 2300.

Требуется оценить среднюю долговечность машин Тр , σ,

а также определить для них соответственно нижнюю и верхнюю доверительные границы с доверительной вероятностью α = 0,95.

Решение.

1. По известным уравнениям для нормального распределения производим оценку средней долговечности и оценку среднего квадратичного отклонения:

2. Для определения нижней и верхней доверительных границ средней долговечности Тр.н и Тр.в вычисляем по уравнению (103) стандартное отклонение:

175

σn = 36111 =10,9 ч.

Спомощью табл. П.12 прил.1 для доверительной вероятности

α= 0,95 или уровня значимости β =1−0,95 = 0,05 и числа степе-

ней свободы ν = n −1 =11−1 =10 находим квантиль распределения Стьюдента: k(α)(n−1) = k(0,95)(10) =1,812. Тогда по уравнениям (105) определяем нижнюю и верхнюю доверительные границы средней долговечности машин:

Тр.н = 1790 –1,812·10,9 = 1770 ч,

Тр.в = 1790 + 1,812·10,9 = 1810 ч.

Следовательно, можно утверждать с вероятностью не ниже 0,95, что интервал времени 1770 – 1810 ч включает среднюю

долговечность Тр =1790 ч.

3. Для определения по неравенству (107) доверительного интервала дисперсии σ2 находим по табл. П.11 прил.1 квантили χ2 -распределения при вероятностях (1−β/ 2) =1−0,05/ 2 = 0,975

тогда среднее квадратичное отклонение времени

252 ч < σ< 633 ч.

Как показывают полученные данные о доверительных границах, оценка средней долговечности Тр =1790 ч и среднее

квадратичное отклонение её σ = 361 ч для рассмотренных коллекторных машин находятся в соответствующих интервалах между нижними и верхними доверительными границами.

176

9.4. Использование эффективных точечных выборок

При определении электромагнитных параметров СМ можно применять новый подход (см. прил. 3), состоящий в использовании точечных эффективных выборок, выведенных из вероятно- стно-статистических методов (ВСМ) обработки переходных процессов синхронных машин и исключающих использование доверительных интервалов.

Мгновенное изменение электромагнитного состояния СМ большой мощности вызывает переходные процессы в её обмотках. Так, из внезапного симметричного короткого замыкания (ВКЗ) трёх фаз обмотки статора, создаваемого искусственно на заводах – изготовителях машин, в результате обработки переходного процесса получают практически все электромагнитные параметры СМ. По полученным параметрам судят о качестве технологического процесса изготовления машин, о правильности конструктивных решений основных узлов машин и надёжности проектируемых синхронных машин. В связи с этим к определению электромагнитных параметров СМ должны предъявляться высокие требования. Исследования и анализ результатов обработки переходных процессов СМ с использованием ВСМ выявили и подтвердили существенный разброс определяемых электромагнитных параметров данных машин. При исследованиях с помощью ВСМ переходных процессов СМ важнейшим и трудным моментом явился выбор базового случайного признака, который бы позволил определить все электромагнитные параметры. Теория переходных процессов СМ сегодня изучена и разработана достаточно глубоко, подтверждён экспоненциальный характер изменения переходных процессов СМ. Поэтому в работах [9–14] для оперативного определения электромагнитных параметров СМ в качестве базового случайного признака предложена, применена и экспериментально проверена постоянная времени (ПВ) соответствующей составляющей при идентификации любых экспоненциальных переходных процессов данных машин:

177

ходного процесса по времени; ∆T – начальный фазовый сдвиг во времени первой вершины тока ВКЗ.

Предложенный вариант случайного признака позволяет

влюбой момент увеличивать или уменьшать его избыточность

впроцессе исследования переходных процессов СМ, что гарантирует достоверность и корректность результатов исследований. Достигнутое сегодня понимание физических процессов при нарушениях электромагнитного состояния СМ позволяет грамотно

и эффективно осуществлять сортировку случайного признака с целью упорядочения образования генеральной совокупности или выборки из неё при больших объёмах генерального ряда случайного признака при полном сохранении неизменности первичной информации. К этому можно добавить, что в графоаналитических методах (ГАМ), рекомендуемых в действующих государственных стандартах на СМ для обработки переходных процессов (в том числе опыта ВКЗ), используют дискретную первичную информацию. Это также способствует предложенному случайному признаку.

По участку переходного процесса с переходной составляющей формируется генеральная совокупность случайного признака числом возможных выборок объёмом n = 2, извлекаемых из k элементов (дискретных значений переходной составляющей iо′k

тока якоря), расположенных между нижней tн = tk и верхней

178

tв = t j границами, по формуле (108). Размер ряда генеральной

совокупности случайного признака в данном диапазоне рассчитывают по формуле

При большом объёме генеральной совокупности случайного признака формируется выборка n объёмом не менее 25–30 членов ряда. По известным формулам определяют параметры выборки, т. е. среднее значение случайного признака (математическое ожидание) и среднеквадратичное значение дисперсии:

Для среднего значения определяют по формулам (105) доверительные границы.

Из теории вероятностей известно, что повышение точности за счёт сужения доверительного интервала ведёт к резкому снижению доверительной вероятности. Наоборот, повышение доверительной вероятности ведёт к расширению интервала, т. е. снижению точности. Такое определение параметров СМ неприемлемо при производстве машин. Поэтому в работах [9,10] получены эффективные точечные выборки τ′эф , которые из всей совокупности случайного

признака статистического ряда отклоняются от среднего значения (или МО) с минимальной относительной погрешностью. Не останавливаясь детально на аналитическом выводе эффективных точечных выборок, отметим лишьважнейшие моменты.

Случайную погрешность учесть непосредственно при идентификации переходных процессов СМ довольно сложно. Влияние систематической погрешности на результаты обработки можно свести к минимуму. С этой целью предварительно по выборке должны быть проведены операции по оптимизации установившегося значения переходного процесса совместно с минимизацией

179

среднеквадратичной погрешности приближения ∆ математической модели переходной составляющей на исследуемом участке переходного процесса к опытным данным. По полученной погрешности приближения судят об общем уровне погрешности случайного признака. Исследования отклонения случайного признака от среднего значения или математического ожидания показали, что после проведения вышеназванной процедуры оно происходит по нормальному закону. Для получения точечных выборок по формуле (108) с минимальным отклонением от среднего значения выборки объёмом n в работах [9,10] получен неизменный коэффициент, связывающий используемые в знаменателе данной формулы под знаком логарифма дискретные значения токов переходной составляющей iн′ = iо′k и iв′ = iо′j в нижней tн = tk

и верхней tв = t j границах с оптимальным шагом для любых СМ:

По существу, удалось оптимизировать шаг по времени t j −tk

в числителе формулы (108). Таким образом, точечные выборки, рассчитанные по формуле (108) с учётом условия (110), приобретают свойство минимально отклоняться от МО или среднего значения τ′ выборки или генеральной совокупности случайного ряда, за что они получили название эффективных точечных выборок (или оценок) случайного признака.

Таких эффективных точечных выборок на активном участке переходной составляющей оказывается несколько. Их количество определяется с учётом условия (110) в диапазоне исследования переходного процесса с одной переходной составляющей tн′ – tв′. На базе эффективных точечных выборок получены уни-

фицированные формулы для идентификации переходной составляющей, позволяющие эффективно минимизировать объём непосредственно используемой первичной информации для расчётов её параметров [9,11]:

180

Токи iо′.н1 ,iо′.н2 и iо′.в1,iо′.в2 в системе (111), принадлежащие, по

условию (110), к нижней и верхней границам переходной составляющей тока якоря на участке переходного процесса, рассчитываются по четырём его амплитудным значениям для каждого значения тока переходной составляющей (см. формулу (112)). Это соответствует минимальному и достаточному объёму первичной информации. Следовательно, четыре эффективных точечных выборки составляют основу унифицированных формул (111) для идентификации переходной составляющей.

Затем со второго шага от начала переходного процесса, время которого принимается за нижнюю границу tн′′ и tа.н соответствен-

но для сверхпереходной и апериодической составляющих, определяют по условию (110) верхнюю границу и с использованием эффективных точечных выборок производят идентификацию сверхпереходной и апериодической составляющих. Индуктивные сопротивления и ударный ток определяются по известным формулам. Такой способ, приближаясь к инженерному, является более приемлемым с точки зрения исследования и решения проблем надёжности в процессе проектирования, производства и эксплуатации СМ большой мощности.

Пример 9.7.

По результатам стендовых испытаний трёхфазной СМ типа СТД-800-2, полученным в опыте ВКЗ, идентифицировать переходный процесс вероятностно-статистическими методами (ВСМ) в одной из фаз (табл. 21).