книги / Надежность электрических машин

51

проработавших t = Tср/1000 ч, приблизительно 999 машин будут исправны и одна откажет. Для времени работы t = Tср/10 000 надёжность равна 0,9999 и т.д.

Данные вероятности, соответствующие безотказной работе устройств на участке кривой надёжности, распространяются на любые изделия и устройства с экспоненциальным законом рас-

− t

пределения отказов в соответствии с выражением Q(t) =1−e Tср .

В связи с этим данную кривую можно назвать стандартной

кривой надёжности.

52

III. ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ОТКАЗОВ

Ранее упоминалось, что величина вероятности отказов Q(t) (см. рис. 3) в разные моменты времени t в общем случае оказывается различной. Поэтому для анализа характера этих отказов было введено понятие плотности вероятности отказов f(t) (см. формулу (5)).

Исследованиями на базе теории вероятностей и математической статистики установлено, что плотности вероятностей внезапных отказов f(t) в период нормальной эксплуатации машины и износовых отказов f(T) в период её износа подчиняются разным законам распределения их во времени (см. рис. 2). В теории вероятностей рассматриваются самые разнообразные законы распределения отказов, часто применяемые на практике. Рассмотрим лишь те законы распределения, которые в основном используются для анализанадёжности электрических машин и их основных частей:

1)экспоненциальный закон;

2)нормальный закон;

3)закон Рэлея;

4)гамма-распределение;

5)закон Вейбулла;

6)биномиальное распределение;

7)распределение Пуассона.

Остановимся на понятии «тип закона распределения» с общих позиций теории вероятностей. Пусть задано аналитическое выражение для плотности распределения

f (x, 1, 2 , ..., ω) ,

где 1, 2 , ..., ω – параметры, для каждого из которых установлен

диапазон возможных значений. В этом случае определён некоторый тип законов распределения. Любое распределение, отвечающее

53

этому выражению и имеющее параметры, лежащие в установленных пределах, относится к этому типу. В зависимости от числа параметров ω говорят об 1-, 2-, 3-, …, ω-параметрических типах законов распределения. Всоответствии с этим выражение

определяет тип однопараметрического закона распределения (экспоненциального, а также распределения Стьюдента, Эрланга, χ2 (хи-квадрат)).

Выражение дляплотности распределения с двумя параметрами

определяет тип двухпараметрического закона распределения (нормального, а также логарифмически-нормального закона, гамма-распределения, распределения Рэлея).

Выражение дляплотности распределения с тремя параметрами

определяет тип трехпараметрического закона распределения (распределения Вейбулла).

На базе теории вероятностей и исследований установлено, что плотность вероятности внезапных отказов ƒ(t) в период нормальной эксплуатации ЭМ подчиняется экспоненциальному закону, т. е. ƒ(t) по формуле (5) с учётом формулы (11) имеет следующий вид (см. рис. 2):

где t – время отказа в работе электрической машины, ч.

55

т. е. вероятность отказа численно определяется заштрихованной площадью под кривой плотности вероятности отказов f(t). Общая площадь под этой кривой за бесконечно большой промежуток времени для экспоненциального случая f(t) по формуле (15)

Следовательно, вероятность отказа в работе ЭМ за этот промежуток времени (от 0 до ∞ ) равна 100 %.

Как показывает кривая (рис. 5,а), надёжную работу ЭМ в период нормальной эксплуатации можно получить только для интервала времени t, значительно меньшего средней наработки на отказ Tср, так как заштрихованная площадь в этом случае будет мала. Только для времени работы t << Tср вероятность отказа действительно мала и, следовательно, высока вероятность безотказной работы машины.

В случае нормального распределения износовых отказов (рис. 5,б) общая площадь кривой f(Т) также равна 1, однако эти отказы группируются здесь около среднего значения времени долговечности Тр электрической машины. Поэтому безотказную работу ЭМ иногда можно получить для относительно большого времени работы, близкого к среднему значению времени долговечности Тр ЭМ, т. е. её техническому ресурсу. Однако здесь следует иметь в виду, что средняя долговечность машины Тр всегда меньше средней продолжительности безотказной работы её Тср, определяемой по формулам (9) и (10). Этот промежуток времени может быть сравним со временем безотказной работы t ЭМ в период её нормальной эксплуатации (см. рис. 5,а).

Напомним, что для уменьшения влияния износовых отказов на надёжность ЭМ нужно в период длительной её эксплуатации предусматривать периодические плановые профилактические ремонты для своевременной замены деталей и частей, подвергающихся износу.

56

3.1. Экспоненциальное распределение отказов во времени

где λ – средняя постоянная величина интенсивности внезапных отказов устройства, 1/ч (ч–1); t – продолжительность работы устройства, ч.

Среднее время между соседними отказами

r

∑ti

tср = i=r1 ,

где r – количество отказов устройства за время t.

При λ ≈ const для tср = Tср вероятность безотказной работы по (19) будет иметь следующее значение:

Р(t) = e– λ Tср = 1/e ≈ 0,37.

На рис. 6 представлены количественные характеристики надёжности устройства по экспоненциальному закону распределения.

λоднофазного асинхронного дви-

57

Решение.

T ср = 1/λ = 5 104 ч.

− 1000

P(1000) = e 5104 = e−0,02 = 0,98 , т.е. из 100 двигателей откажет

2 (2 %).

− 3000

P(3000) = e 5 104 = e−0,06 = 0,94 , т.е. из 100 двигателей откажет

6 (6 %).

3.2. Нормальное распределение отказов

Понятие нормального распределения, впервые введённое Ф. Гальтоном в 1889 г., является важнейшим из всех известных понятий статистических распределений случайной величины. Большое количество существующих на сегодняшний день статистических распределений случайной величины фактически является нормальным или может быть получено из него с помощью некоторых преобразований. Нормальное распределение представляет собой одну из эмпирически проверенных истин относительно общей природы действительности и может рассматриваться как один из фундаментальных законов природы.

Многие наблюдаемые переменные действительно нормально распределены, а это является аргументом в пользу того, что нормальное распределение представляет фундаментальный закон. Возникающая проблема при попытке применить критерии, основанные на предположении нормальности, к данным, не являющимся нормальными, может быть решена альтернативным использованием критериев, основанных на предположении нормальности данных, если есть уверенность в том, что объём выборки достаточно велик. Такая возможность основана на чрезвычайно важном принципе, позволяющем понять популярность критериев, основанных на нормальности: при возрастании объёма выборки распределение статистики критерия приближается к нормальному, даже если распределение исследуемых переменных не является нормальным. Этот принцип называется центральнойпредельнойтеоремой.

58

Нормальное распределение вероятностей особенно часто используется в статистике. Нормальное распределение даёт хорошую модель реальных явлений, в которых:

–имеется сильная тенденция случайных данных группироваться вокруг центра;

–положительные и отрицательные отклонения от центра равновероятны;

–частота отклонений быстро падает, когда отклонения от центра становятся большими.

Механизм, лежащий в основе нормального распределения

иобъясняемый центральной предельной теоремой, можно образно описать с помощью броуновского движения, открытого

вXIX веке. Смещение введённых в стакан воды посторонних частиц, возникающее из-за ударов молекул, будет подчиняться нормальному закону. Впервые закон движения такой частицы на строгом физическом уровне описал А. Эйнштейн. Затем теорию броуновского движения, используя простой и интуитивно ясный подход, развил Ленжеван, а также другие математики XX века. Первый же шаг в этом направлении был сделан 300 лет назад, когда был открыт простейший вариант центральной предельной теоремы. Первоначально она была известна в формулировке А. Муавра и П.С. Лапласа ещё в XVII веке как развитие знаменитого закона больших чисел Я. Бернулли (1654–1705). В теории вероятностей в настоящее время центральная предельная теорема получила дальнейшее развитие в современном принципе инвариантности, в создании которого существенную роль сыграла русская математическая школа. Именно в этом принципе находит своё строгое математическое объяснение движение броуновской частицы.

Идея состоит в том, что при суммировании большого числа независимых величин (ударов молекул о введённые в стакан воды частицы) в определённых разумных условиях получаются именно нормально распределённые величины. И это происходит независимо (т.е. инвариантно) от распределения исходных вели-

59

чин. Иными словами, если на некоторую переменную величину воздействует множество факторов, эти воздействия независимы, относительно малы и складываются друг с другом, то получаемая в итоге величина имеет нормальное распределение.

В статистике переменная – это то, что можно измерять, контролировать или чем можно манипулировать в исследованиях. Иначе говоря, переменная – это то, что варьируется, изменяется, а не является постоянным. Поскольку значения переменных непостоянны, следует уметь описывать их изменчивость. С этой целью на протяжении многих лет известными математиками разрабатывались и внедрялись описательные (дескриптивные) понятия статистики, например: минимум, максимум, среднее, дисперсия, стандартное отклонение, медиана, квартили, мода и т. д.

Идея использования этих понятий очень проста и состоит в следующем: вместо того чтобы рассматривать все значения переменной (их могут быть тысячи и миллионы), целесообразнее сначала рассмотреть описательные понятия статистики. Они дают общее представление о значениях, которые принимает переменная.

Минимум и максимум – это минимальное и максимальное значения переменной.

Среднее – сумма значений переменной, делённая на число значений переменной n.

Дисперсия – наиболее часто используемая мера изменчивости переменной. Дисперсия изменяется от нуля до бесконечности. Крайнее значение 0 означает отсутствие изменчивости переменной, т.е. её значения постоянны.

Дисперсия выборки, или выборочная дисперсия (термин впервые введён Р.А. Фишером в 1918 г.), вычисляется по известной формуле

σ2 = (хi − х)2 , n

где х – среднее, n – число наблюдений в выборке.

60

Стандартное отклонение – также наиболее часто используемая мера изменчивости переменной. Оно вычисляется как корень квадратный из дисперсии:

Чем выше дисперсия или стандартное отклонение, тем сильнее разбросаны значения переменной относительно среднего. Стандартное отклонение – более удобная характеристика, так как измеряется в тех же единицах, что и исходная величина.

Медиана выборки (термин впервые введён Ф. Гальтоном в 1882 г.) разбивает выборку на две равные части. Половина значений переменной лежит ниже медианы, половина – выше. Медиана даёт общее представление о том, как сосредоточены значения переменной, т.е. где находится её центр. В отдельных случаях медиана более удобна, чем среднее.

Медиана оценивается после упорядочивания выборки в порядке возрастания. Получаемая последовательность называется вариационным рядом или порядковой статистикой. Если число наблюдений нечётно, то медиана оценивается как xm+1 . Если чис-

ло наблюдений чётно, то медиана оценивается как (xm + xm+1) / 2 .

Медиана обладает хорошим свойством: сумма абсолютных расстояний между точками выборки и медианой минимальна.

Квартили (от слова кварта, термин впервые применил Гальтон в 1882 г.) представляют собой значения, которые делят две половины выборки (разбитые медианой) ещё раз пополам. Медиана

иквартили делят диапазон значений переменной на четыре равные части. Различают верхнюю квартиль, значения переменной в которой больше медианы (делит пополам верхнюю часть выборки),

инижнюю квартиль, значение переменной в которой меньше медианы (делит пополам нижнюю часть выборки). Нижнюю квартиль часто обозначают символом 25 %, это означает, что 25 % значений переменной меньше нижней квартили. Верхнюю квартиль часто обозначают символом 75 %, это означает, что 75 % значений переменной меньше верхней квартили.