книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями
..pdfРешение
W = W — W
должно удоилетпорять заданным граничным условиям.
§ 3. Граничные условия для пластинки
Для нахождения однозначного решения дифференциаль ного уравнения (7.9) необходимо задать два граничных усло вия вдоль края пластинки. На заделанном крае пластинки х = а должны выполняться условия:
у = О и |
= 0. |
Если край не прогибается, но пластинка может свободно поворачиваться, то граничные условия имеют вид:
W = O и /«а-а; = о,
причем из первого граничного условия следует также, что
=и благодаря этому можно упростить второе гра
ничное условие, в которое входит эта величина. Если, нако нец, край пластинки полностью свободен, т. е. он не оперт и не закреплен, то прежде всего следует, что
|
|
/п^^ = |
0. |
|
|
|
Но |
это условие |
невозможно |
выполнить, |
так [как, |
кроме |
|
него, необходимо |
выполнить |
еше |
два |
друг>1х условия, |
||
а |
именно, что поперечная сила |
и момент |
должны |
|||
здесь обратиться в нуль. Поэтому следует ограничиться лишь
условием на границе, приравнивая |
нулю |
сумму |
и крутя |
||||||
щего |
момента |
|
заменяемого |
двумя |
перерезывающими |
||||
силами. Таким образом, в качестве |
второго граничного усло |
||||||||
вия на |
свободном |
крае пластинки имеем |
|
|
|
||||
|
|
|
7а, — |
---- |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
если, |
например, |
имеется частное |
ре |
|||||
шение |
те;= о |
дифференциального |
уравнения |
(7.9). |
для |
||||
которого соответственно уравнениям (7.10) и (7.11) на границе х — а моменты принимают граничные значения:
Л ^ П + р )ат . |
да®1, = 0. |
л перерезывающие силы на границе |
равны: |
.= _ Л ^ а (1Н - р ) - ^ .
ТО на полученное решение необходимо наложить также решение дифференциального уравнения (7.12), которое удо влетворяет следующим условиям: на защемленном и опертом
крае |
х = а |
_ |
|
|
|
® = 0 . |
- ^ |
= 0. |
(7.15) |
на опертом и свободном поворачивающемся крае х = а |
||||
W = |
O, т.^^ — — Mfgg, |
|
|
— « (1 4 -р-)т. |
Последние условия вследствие первого |
граничного условия |
|||
W = |
O можно упростить, после чего они |
примут вид: |
||
|
|
|
|
(7.16) |
На свободном крае х = |
а для |
значений поперечной силы |
||
на границе должно быть |
|
|
|
|
|
Я х ~ --- |
|
|
|
|
принимая во внимание, |
что |
|
|
дг^
?. = 7 .+ %ду^ = - А ' ^ Ш + ( 2 - . ) 0 }
==
+ ------ |
. ( ! + r t l ; - |
(7.17) |
d^W , S-W |
,, I |
S |
|
Второе уравнение выражает условие (7.16) |
того, |
||
границе х = а момент |
равен нулю, |
так |
что |
§ 4. Прямоугольная пластинка с заданной температурой поверхности
Пусть поверхности прямоугольной пластинки со сторо нами X= I t a и у = ± Ь и толщиной о сохраняют темпера туры Т(х, у) и — Г(лт, у). Температурное поле выражается следующим образом:
у) _ 2Г(лг. у)
Если предположить, что заданная температура Т{х, у) удо
влетворяет |
уравнению Д Г = 0 , а |
следовательно, |
IiAx = O, |
||||||
то |
можно |
использовать |
частное |
решение |
tc; = |
0 |
уравне |
||
ния |
(7.9). |
Это решение |
согласно |
формулам (7.10) дает выра |
|||||
жения для |
моментов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ х х = т 1,1, = |
— Na(I-^-Ii)Zix, у), |
^ |
= |
0, |
||||
откуда, 'подставляя |
вместо |
N = |
£83 |
" |
|
|
|||
12(1- 1^2) |
|
|
|||||||
находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т,VU ~ |
£82 |
|
|
|
||
|
|
= |
[6(1-11) аТ(х. у). |
|
(7.18) |
||||
Если пластинка оперта по краям так, что прогибы не возможны, и защемлена без возможности поворотов, то это уже является окончательным решением. Если же край пла стинки может свободно поворачиваться, то для того, чтобы моменты на краях обратились в нуль, на полученное реше ние следует наложить решение уравнения (7.12), удовлетво-
которого соответственно уравнениям (7.10) и (7.11) на границе X=^a моменты принимают граничные значения:
л перерезывающие силы на границе равны:
Т О на полученное решение необходимо наложить также ре шение дифференциального уравнения (7.12), которое удо влетворяет следующим условиям: на защемленном и опертом
крае X = а |
|
|
_ |
|
|
|
|
|
® = ® ' |
- ^ = |
|
|
|
|
|
на опертом и свободном поворачивающемся крае х = |
а |
||||||
W = O, т^^ = |
— т^^ |
|
|
|
|
= |
11)х . |
Последние условия вследствие первого |
граничного |
условия |
|||||
W = O можно упростить, после чего |
они |
примут вид: |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(7.16) |
На свободном крае х = а |
для значений поперечной силы |
||||||
на границе должно быть |
|
|
|
|
|
||
|
|
ЯX |
Ях> |
|
|
|
|
принимая во внимание, |
что |
|
|
|
|
||
^ |
I |
__ |
л/ ^ J |
I |
/ о |
\ <5’®) |
|
Я . - Я х + - ^ |
— |
|
|
|
|
|
|
получим: |
= |
= - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 4] |
|
|
|
|
(}¾ , |
д^w |
, |
,, |
|
5 г + |
| ‘з ? |
= - = ‘ ( ' + ' ‘>''- |
|
|
Второе уравнение выражает условие (7.16) |
того, |
|||
границе х = а момент |
|
равен нулю, |
так |
что |
§ 4. Прямоугольная пластинка с заданной температурой поверхности
Пусть поверхности прямоугольной пластинки со сторо нами х = ± а и у = ± Ь и толщиной 8 сохраняют темпера туры Т(х, у) и — Т(х, у). Температурное поле выражается следующим образом:
_ 27 (X у)
Если предположить, что заданная температура Т(х, у) удо
влетворяет |
уравнению Д 7 = 0 , |
а |
следовательно, |
и Д-с = 0, |
||||
то |
можно |
использовать |
частное |
решение Tcz = |
O |
уравне |
||
ния |
(7.9). |
Это решение |
согласно |
формулам (7.10) дает выра |
||||
жения для |
моментов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
— Na (1 - f |л.) X{X , у), |
= |
0, |
|||
откуда, подставляя |
вместо ^ |
= |
|
|
значения. |
|||
|
|
'^^xx |
'^^yu |
[6(1 — (i) |
|
(7.18) |
||
|
|
|
|
|||||
Если пластинка оперта по краям так, что прогибы не возможны, и защемлена без возможности поворотов, то это уисе является окончательным решением. Если же край пла стинки может свободно поворачиваться, то для того, чтобы моменты на краях обратились в нуль, на полученное реше ние следует наложить решение уравнения (7.12), удовлетво-
ряющее следующим граничным |
условиям: |
|
|
||||
при |
X = ± а |
W= O |
Wasaj= |
|
(7.19) |
||
при |
у = ± Ь |
W = O |
Шуу = |
|
|||
|
|
||||||
Примем теперь, что температура на поверхностях Z = + у |
|||||||
и Z = — ^ |
вдоль краев пластинки может быть |
представлена |
|||||
при |
X = |
Ziza |
в форме |
T {а, у) = |
р cos |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.20) |
при |
у = |
Zizb |
в форме |
Т{х, Ь) = |
дсо$— . |
||
где (О— число, кратное нечетным значениям-^:
ш= (2л 4-1)-5- (я = 0, I, 2, 3. ... ) .
То ограничение, что температура является четной функцией х и у, мы накладываем лишь из практических соображений; его можно устранить^ задав T в более общей форме. Через р обозначим температуру в середине стороны X = Ziza, а через
д — температуру |
в середине |
стороны у = Z^b. |
|
||||
По заданной вдоль краев согласно формулам (7.20) тем |
|||||||
пературе |
Г(дг, у) |
получаем |
по формуле (7.18) выражения |
||||
для краевых моментов; |
|
|
|
|
|||
при |
X = Z^a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£52 |
а р COS 0) у = |
— / 1 COS О) |
|
|
|
|
|
|
(7.21) |
|||
при |
у = Zizb |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
""VV ~ |
|
£53 |
^ад COS (J) — = |
— В cos о) — , |
|
||
O(I-H)** |
|
|
|
||||
где для упрощения введены обозначения |
|
||||||
|
и _ |
ЕЬЧдр |
о _ |
ВЬЧд |
(7.22) |
||
|
^ |
- |
6 (1_ н ) |
|
|
||
|
|
|
|
||||
§ 4) ПЛАСТИНКА C ЗАДАННОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ ПОВЕРХНОСТИ |
97 |
Таким образом, граничные условия ДЛЯ W записываются в сле дующем виде;
при |
.V= |
Iiia |
W = |
O |
и так как |
|
т^.^ = |
— |
|
||
|
|
|
к; |
|
|
. |
|
у |
|
|
|
|
|
|
. N ^ = - A C O S io f, |
|
(7.23) |
||||||
при |
у = ± Ь |
W = |
O, |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
N ^ |
= |
— Bcosi>^ |
|
|
|
|
|
|
Эту |
задачу мы решим в два приема, положив w = |
W l-\-W 2. |
|||||||||
Так |
как |
W, удовлетворяет |
граничным условиям: |
|
|||||||
при |
X = Z i z a |
Wi = |
- |
д'*71/л |
= |
л |
|
|
|||
O, |
|
|
|
|
|
||||||
при |
^i = |
Zizb |
Wi = |
O, |
N ^ ^ |
|
= |
— В с о 5 ш ~ , |
(7.24) |
||
|
|
||||||||||
а WJ — граничным условиям: |
|
|
|
|
|
||||||
п р и |
X = |
Ziza |
W J = |
л |
» , C»½o |
= |
. |
у |
|
||
O , N |
- ^ - ^ |
— A c o s m - ^ , |
|
||||||||
при |
|
|
W J = |
O, |
|
^ |
= |
0, |
|
(7.25) |
|
У = |
± Ь |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ду- |
|
|
|
|
|
то сумма W = |
WiH-Wj будет удовлетворять граничным усло |
||||||||||
виям, заданным для |
W. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Выражение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
NWi = C(O)-^sh О)—— Ch 0)-^ . ш |
|
|
th ш. ^ ) COSО |
) (7.26) |
|||||||
удовлетворяет дифференциальному уравнению (7.12) при любых значениях C и ш = (2л— 1 )-^ ( а = 1 ,2 , 3, ... ) .
(гл. VII
Выпишем теперь вторые производные, которы добятся в дальнейшем:
N - 4 ^ = — - S h O)-^ —
|
|
|
|
|
|
(7.27; |
Oy^ |
|
¢2 [ |
а |
а |
|
|
|
— Ch 0 ) - ( 2 — (О— fh 0) —) ] COSо) — , |
|||||
|
|
|
а \ |
а |
а } \ |
а |
и.заметим, |
что |
при |
х = ± а |
граничные условия (7.24) вы |
||
полняются, |
так |
как |
|
|
|
|
|
|
COS О) = COS (2/1 + |
1) - | = |
0. |
||
Точно так же легко видеть, что при ^ = i t ^ удовлетворяется граничное условие (7.24)
|
|
-KZl = |
0. |
|
|
|
Второе условие на этом |
крае, |
а |
именно, |
|
||
|
N .^ ^ ,2 ---------B |
C O S O J- , |
|
|||
приводит к |
уравнению |
|
|
|
|
|
лг |
|
Ь |
|
|
|
|
N - ^ . ------ |
|
|
|
|
|
|
-C h iu .^(2 - U lth m ijj C o s m - J = |
- B c o s o il - . |
|||||
ИЗ которого |
находим С; |
|
|
|
|
|
|
с = |
а2 |
|
R |
_ |
|
|
- 4 |
_ А |
(7.28) |
|||
|
|
|
г. . |
Ь ' |
||
|
|
|
2сЬщ— |
|
||
§ 4) |
ПЛАСТИНКА C ЗАДАННОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ ПОВЕРХНОСТИ 99 |
||||||||||
При ЭТОМ значении C уравнения (7.27) примут вид |
|||||||||||
дх^- |
~ 2Н<1)В |
— X |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
LXshco^ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
L a |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
(7.29) |
||
ау2 |
“ |
2 Ch (0— X |
|
|
|
|
|||||
X Г— |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
||
(P) ^ I-S h (P) |
|
а |
— |
Cli О) -^(2— |
ш — th |
ш — )1 COSCJ) |
а |
||||
| |
_ |
а |
|
|
|
а \ |
а |
|
а /J |
||
Решение для |
|
|
можно сразу получить из решения для |
||||||||
если заменить |
л; на ^ и в на Ь. Таким |
путем из |
выражений |
||||||||
(7.26) |
и (7.28) |
получаем: |
|
|
|
|
|||||
Nw .,-- D I^(I) у Sli О) у |
— Cli о)у • 0) у t h |
О) |
COS ш ~ , |
||||||||
D = |
----- |
|
|
|
|
|
|
|
(7.30) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2с1к о ^
Отсюда для вторых производных получаются следующие значения:
__ |
А . . |
|
|
^ дх^ ~ |
2 с11(о-"^ |
^ |
|
х [ — “ у Sh (Dy— Ch “>у ^2— |
coscu |
||
|
' -X |
(7.31) |
|
ду2 |
|
||
X |
у Sh со |
— Ch О) -^ • (!) у th со |
COS U |
Наша_ задача, таким образом, решена. Окончательный про гиб W находим'как сумму
'W = Wi^-]-W2,
Точно так же определяются и все другие величины.
результат: разложение в ряд Фурье функции T= C onst вдоль
краев = |
по кратным нечетным значениям |
дает |
||
|
|
« |
5Ш(2л + 1) - | |
|
Т (а .у) = Т |
^ ^ |
^ |
— 5 Г + Г ^ = о»(2- . + 1) | |
|
а вдоль краев у — Ziib |
|
(7.38а) |
||
|
|
|||
|
® |
Sln (2л + 1 ) |
|
|
|
|
--------2Л -+ Г - с о з ( 2 л + 1 ) |- ^ . |
(7.386) |
|
Следовательно, |
в нашем |
случае |
|
|
|
|
Sin (2л -Ь 1) Y |
|
|
Al = |
= |
2 Т - |
T o = T . |
(7.39) |
|
|
|
(2« + 1) ^ |
|
так что для моментов в центре пластинки из формул (7.37)
получаем |
значения: |
|
|
|
РлМ |
|
||
|
|
P *2 |
|
|
|
|
|
|
“ |
б (1 — (I) |
^ |
|
~ |
" 6 (1 -(4 ) |
H -C tf)- |
||
причем |
|
|
|
|
|
|
(7.40) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
~ 5 Ш ( 2 л + 1) - | |
|
|
|
|
|
||
|
пво |
(2л + |
1)-^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ^ Г й 12- |
0 |
- |
' ‘) |’* ‘''Р « |(' |
(Т.41) |
|
|
« 81П(2л+ 1)-1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
= S |
___ _ - I T ^ I I |
I |
- |
O |
11- . . 1+ |
|
||
|
пзо |
(2п + |
1)-^ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ch р„ 1(1— Й Р » № р « + 21- )) . |
|
||||
Значения коэффициентов Сд, и Су для различных значе |
||||||||
ний |
соответственно равенствам (7.41) приведены в следую- |
|||||||