книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями
..pdf70(-^^) = (/2+ |
/ 1)/2 и т(д:) = |
(/2— /,)/8 |
будут также |
полино |
||
мами той же |
степени; |
|
|
|
|
|
|
TQ(Jf) = |
2 |
|
(Jf) = |
2 ^nJf". |
(9.34) |
Положив |
|
H=O |
|
|
и = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х = |
а^С „д ;» -1 , |
-17 = |
« ^ |
2D „Jf» -^ |
(9.35) |
|
и подставляя |
эти выражения в уравнения (9.20), получаем |
|||||
для определения коэффициентов С„ и D,у следующую |
||||||
систему уравнений: |
|
|
|
|
|
|
С„ = |
ап ((/1+ |
1) Д ,+2 — />„], |
1 |
|
||
|
(п = 1, |
2, 3, |
т). |
|
||
Эти уравнения легко могут быть последовательно разрешены
для всех значений п вплоть до п = т. Тогда уравнения (9.21) |
|||
дают; |
|
|
|
= |
_ аяо 2 (« — 1) |
|
) |
|
|
||
|
П= 2 |
|
|
= — [ Д ( « — |
— (1 + rt |
( 9 . 3 Г ) |
|
ш„ = |
- а К [р. S (п - |
I) С„дг«-= — (1 + |
’ ] • |
Легко также получить частное решение, когда TQ(^X ) и T(Jf)
являются экспоненциальными |
функциями: |
|
||||
TQ{x) = |
be-^^^ |
'Лх) = се-'^^\ |
(9.38) |
|||
Положим |
|
|
|
<7 = |
а — |
|
|
|
|
|
(9.39) |
||
Уравнения (9.20) |
тогда |
дают: |
|
|
|
|
|
|
|
12 (1 — [х) ^ — g |
|
||
/1 = |
(1 |
+ р.) соа 12 (1 — |
4 , д2 а2й,ч |
■ |
||
B = |
-OiflO |
12(1_(д,2)_^.а2б2о)4 • |
(9.40) |
|||
|
||||||
|
|
|
(гл. |
Отсюда находим: |
|
|
|
П[^ = |
аЕЬ{л Ве~'^'\ |
(9.41) |
|
//1^ = |
аА :М + |
(1-НН.)с1^-“*- |
|
то = |
аК [н-о)Л + |
0 + 1 * ) |
|
Постоянную интегрирования в выражении для W следует положить равной нулю, так как при больших значениях .V температура, а следовательно, и радиальное перемещение равны нулю.
§ 6. Пример
Определим напряжения в длинной круглой тонкостенной цилиндрической трубе, нагреваемой по окружности среднего сечения Jc = O на О градусов. В сечениях, находящихся па расстоянии X от места нагрева, эта температура должна убывать соответственно уравнению
T(Je) = |
для |
положительных |
Je, |
Т{х) — |
для |
отрицательных |
Je. |
Ограничимся рассмотрением |
половины трубы |
с положитель |
|
ными значениями Je, тогда имеют место уравнения (9.38),
(9.41) |
при значениях |
Ь = Ь |
и с = |
0. Для |
половины |
трубы |
|||||
C отрицательными |
Je |
|
имеют |
место |
те |
же |
соотношения, |
||||
только |
ш следует |
заменить |
на — ш. |
|
|
|
|
||||
В сечении Je = |
O условия сопря> |
|
|
|
|
||||||
выполняются автоматически; условия симметрии х = ^ |
^ = O |
||||||||||
при |
Je = |
о мы можем |
удовлетворить |
путем наложения |
част |
||||||
ных |
решений (9.32) |
и |
(9.33). |
Отсюда |
для |
постоянных R |
|||||
и M находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Л = а 2 . В , |
|
Ж = |
|
|
-Ю М |
|
|||
Но |
так как согласно |
уравнениям (9.40) |
|
|
|
||||||
|
|
при C = |
O |
— |
В = ~К(и^А, |
|
|
||||
R = - O ^ lW - A , Ж = — а Л : Х л ( ^ + l ) .
Таким образом окончательное решение будет иметь вид:
® |
Ir Kw - |
+ |
у = яЛ |
Sin \х — cos X x j j , |
|
(/ = а Л /С ч > 2 — е - “> - 1 - е - > > ’ ^ с о з Х х - I - - ^ s i n X x j j ,
аЛ /Со) I А ^ - ) л : — I j S in X x —
Щ = ^nlx^
Наибольший изгибающий момент возникает в середине трубы (х = 0) и он равен
”« = — |
+ |
ХЯ. |
Г Л А В А X
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТЕЛАХ
CВКЛЮЧЕНИЯМИ
§1. Общие положения^)
Вобычном однородном теле находится оключенне из ма
териала. |
обладающего |
одинаковыми упругими свойствами |
C окружающим материалом, но с другим коэффициентом |
||
теплового |
расширения. |
Пусть все тело равномерно нагрето |
на Го градусов. Вследствие различия термических расширений обоих материалов в теле возникают напряжения, величина которых пропорциональна разности между коэффициентами теплового расширения включения и окружающего тела. Разность между коэффициентами теплового расширения вклю
чения и тела обозначим через т). Аналогичное напряженное состояние
получится также при одинаковых коэф фициентах теплового расширения, если включение нагревается на температуру TQ, а остальное тело сохраняет температуру, равную нулю.
Прежде всего, установим общее свой ство рассматриваемого напряженного со стояния и рассмотрим точку граничной поверхности между
включением и окружающим телом (рис. 28). Выберем пря моугольную систему координат х, у, г, проходящую через эту точку, так, чтобы ось 2 совпадала с нормалью к поверх ности, а две другие оси располагались в касательной пло скости.
Ч Ooodier (2).
Следует заметить, что деформации Bj.,J и в^^^^ при переходе через граничную поверхность должны оставаться не
прерывными функциями, так |
как в противном случае произо |
||||||||||
шел бы |
разрыв. |
|
Но |
отсюда следует, |
что напряжение |
||||||
также |
является |
непрерывным. |
Далее, |
если |
предположить |
||||||
тело разрезанным по граничной поверхности, |
то из условий |
||||||||||
равновесия тотчас же следует, что напряжения с._, Сд,, и |
|||||||||||
также |
будут |
непрерывны. Напротив, |
напряжения а^.^. и |
||||||||
при переходе |
через граничную |
поверхность |
претерпевают |
||||||||
скачок, |
величина |
которого |
может быть |
определена. По за |
|||||||
кону Гука, |
согласно |
выражению (2.10) |
и вследствие того, |
||||||||
что |
= |
бд.д.ц (индекс i относится к точкам, расположенным |
|||||||||
внутри |
граничной |
поверхности, |
а индекс а — к точкам, ле |
||||||||
жащим |
снаружи |
граничной поверхности), |
|
|
|||||||
|
Xi — Оа-ха = |
Iv- («1— О |
— (1 + |
H-) |
|||||||
Прежде |
всего, |
для |
разности |
объемных расширений имеем; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
^ i - ^ a = - Z Z i - - Z Z a - |
|
||||
Далее, |
вследствие |
непрерывности |
|
|
|
||||||
|
|
2г( |
|
^rro+ |
|
|
|
~ |
1 —^ |
”^^0’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 10. 1) |
Для скачка напряжений на граничной поверхности имеем:
^xxi ~ |
_______ „ |
_ |
Б-г\Тр |
( |
10.2) |
— -'VUi °ииа — |
|
||||
независимо от формы граничной |
поверхности. |
|
|
||
В дальнейшем рассматриваются лишь два примера на |
|||||
пряженных состояний, |
вызванных включениями ^). |
|
|
||
1) Другие примеры см. Goodier (2), Mlndlin-Cooper, Sen.
§ 2. Температурные напряжения в бесконечной пластинке C прямоугольным включением
Рассмотрим тонкую, бесконечно протяженную пластинку,
в которой |
находится |
включение в |
виде |
прямоугольника |
(с длиной |
сторон 2а |
и 2Ь, рис. 29). Эта |
пластинка нагре |
|
вается до постоянной температуры TQ. |
|
|
||
Для решения задачи о напряжениях |
воспользуемся терми |
|||
ческим потенциалом перемещения, который для рассматри
ваемого здесь случая плоского напряженного |
состояния удо |
||||||||
влетворяет уравнению |
(5.14): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f /С для |
|
— а < |
JC< |
а, |
|
|||
= (1-1-и.) TjT= I |
о |
для |
д :< — а, |
|
а, |
(10.3) |
|||
^ |
' |
|
|
||||||
|
I |
|
|
У < — |
Ь . у > Ь , |
|
|||
где /( = (1 -)-р.) т]Го, |
У1— разность |
между |
коэффициентами |
||||||
|
теплового |
расширения включения и |
|||||||
|
пластины. |
|
|
|
|
|
|
||
|
В |
теории |
потенциала |
показано, |
|||||
|
что |
решение |
уравнения |
Пуассона |
|||||
|
Д'Р = |
|
/ (JC, у) |
может |
быть |
записано |
|||
|
в виде |
|
|
|
|
|
|
||
|
WCx. у) = |
|
|
|
|
|
|
||
|
= |
- ^ / |
/(¢. Tj) Iog Trf^difJ, (10.4) |
||||||
|
|
|
‘ в |
|
|
|
|
|
|
|
где |
г = |
У {х — 1 )^ ^ { у — т|)2. |
||||||
причем интегрирование следует |
распространить на область В, |
||||||||
в которой функция / |
отлична |
от нуля. |
|
|
|
|
|
||
Если формулу (10.4) использовать для уравнения (10.3), |
|||||||||
то получим |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
=^ I |
|
|
|
|
|
(10.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем теперь, что это выражение полностью решает по ставленную нами задачу. Для этого следует доказать, что
1) Goodier (2).
вычисленные на основании функции 'Г напряжения удовле творяют граничным условиям (все напряжения на бесконеч ности обращаются в нуль). Кроме того, в начале координат
JC= O, ;/ = |
0 |
перемещения |
должны обращаться |
в нуль. |
|||||||||||||||
Для |
вычисления |
перемещений |
и |
напряжений согласно |
|||||||||||||||
§ 2 гл. V нам необходимо |
найти |
первые |
и вторые |
произ |
|||||||||||||||
водные функции 'F. После проведения |
соответствующего |
||||||||||||||||||
дифференцирования |
под |
в |
знаком |
интеграла, |
можно |
инте |
|||||||||||||
гралы |
(10.5) |
вычислить |
|
конечном |
виде. При |
этом |
полу |
||||||||||||
чаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
i |
[ о — |
*) I o g ^ + |
(J-+ |
¢) Iog ^ |
+ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
4 - ( а:— |
«)(»1 — |
|
O a ) - (-« + л ) (9з — |
|
|
( 10.6) |
|||||||||||
дх" - |
= 2,41(9.- |
-»2)—(9,-8,)1. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(?-Ч- |
|
|
|
^ гчг-л’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
дх ду |
~ |
2 - |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г|= (л;— a)2+Cy4 -¢)^ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1— |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
у - ь |
|
|
» 2 = a r c t g ^ ¾ , |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
х — а ' |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
У - Ь |
|
|
»4 = |
arctg |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
х -\- а ’ |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Для |
arctg |
во |
|
всех |
случаях следует |
!ыбнрдть |
глазные зна |
||||||||||||
чения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Смысл |
величии |
|
( i = ! . |
|
2. 3. 4) ясен из |
рис. |
29. |
Произ |
|||||||||||
водные по у |
получаются |
|
из написанных |
производных по д:, |
|||||||||||||||
если |
поменять |
местами |
х |
|
tt У> а также а и Ь. Сперзл, ис |
||||||||||||||
пользуя выражения |
(10.6), а также равенства |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
arclgcp - h arctg J |
= |
J |
|
дня |
<? > |
|
0. |
|
|||||||
|
|
|
|
arcfgcp 4 - arctg J |
= |
~ |
Y |
|
для |
с? < |
0, |
|
|||||||
МОЖНО убедиться непосредственной проверкой, что урав
нение (10.3) |
удовлетворяется |
и внутри |
и вне вклю |
чения. |
|
|
|
Далее, из |
равенств (10.6) |
следует, что |
при х —>-оо н |
соответственно при у-*-оо все производные, а следова
тельно, |
и |
перемещения |
и |
напряжения обращаются в нуль, |
||||
как и |
должно |
быть. |
Перемещения равны нулю также при |
|||||
X = O |
и у = 0. |
В вершинах |
х = |
± п , у = ± Ь |
получаются |
|||
бесконечно |
большие касательные |
напряжения. |
|
|||||
Легко |
убедиться, |
что |
величина скачка напряженн |
|||||
(вдоль |
у = Z^b) и |
Oyy |
(вдоль |
X = Itfl), |
находящихся |
|||
в плоскости, касательной к граничной посерхности, опреде ляется уравнением (10.2).
§ 3. Температурные напряжения в полупространстве со сферическим включением ^)
Пусть в полупространстве Z ^ O (рис. 30) на расстоянии с от граничной поверхности расположено сферическое включе
ние (радиуса а ^ c ) , |
обладающее теми |
же |
упругими свой |
||
ствами, что и материал полупространства, но с |
другим |
||||
коэффициентом теплового расширения. |
Включение |
и тело |
|||
равномерно нагреваются до температуры TQ. |
|
|
|||
Чтобы |
подойти к |
решению этой задачи, |
рассмотрим сфе |
||
рическое |
включение |
в безграничном теле. |
В этом |
случае |
|
потенциал перемещений Ф должен удовлетворять уравнениям
ДФ= Л ^ , г = { |
^ |
"Р" |
(10.7) |
^ |
( о |
при Ri > |
а, |
причем Ri означает расстояние какой-либо точки тела от центра сферы. Задача обладает сферической симметрией, и следовательно, ДФ принимает вид
^Ф = I - - L f Ri
R ld R ir ^ d R ,) -
1) MindIin-Cheng.
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
_ 1 + 1^ ^Т’о |
|
|
|
|
|||||
внутри |
включения |
< |
а): |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 - ( Х |
|
|
|
|
вне |
включения (/?, > |
я); |
^ |
|
• |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dRi |
Яу |
|
|
|
( 10.8) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вследствие |
|
полярнэй |
симметрии |
радиальное |
перемещение |
|||||||||||
я |
|
|
в |
центре сферы, |
т. е. при |
/?1 = 0, |
должно |
обра |
||||||||
титься |
в |
нуль, |
откуда |
Cj = |
O. Далее, при переходе через |
|||||||||||
границу |
Ri = U перемещения |
изменяются непрерывно, |
т. е. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
с1Фг |
аФа |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
отсюда |
следует, |
что |
|
|
1 -|- |Х |
7, |
«Ч |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Наконец, |
при R - ^ o o |
все производные от Фд должны |
стре |
|||||||||||||
миться |
к |
нулю |
(обращение |
в нуль |
|
|
|
|
|
|||||||
перемещений и напряжений в бес |
|
|
|
|
|
|||||||||||
конечности). Ясно, что это условие |
|
|
|
|
|
|||||||||||
выполняется. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вернемся |
теперь |
к |
поставлен |
|
|
|
|
|
||||||||
ной задаче о сферическом включе |
|
|
|
|
|
|||||||||||
нии |
в |
полупространстве. |
Следует |
|
|
|
|
|
||||||||
ожидать, что при помощи одного |
|
|
|
|
|
|||||||||||
только |
потенциала перемещения не |
|
|
|
|
|
||||||||||
возможно |
выполнить |
вновь |
появля |
|
|
|
|
|
||||||||
ющиеся граничные условия, а именно, |
|
|
|
|
|
|||||||||||
условия обращения в нуль напря |
|
|
|
|
|
|||||||||||
жений |
а^, |
и о„ |
В Д О Л Ь |
поверхности |
Рис. 30. |
|
|
|||||||||
2 = |
0. |
Следовательно, |
необходимо |
|
|
|
|
|
||||||||
на |
решение, |
полученное для |
всего |
пространства, |
наложить |
|||||||||||
еще |
некоторое |
добавочное |
решение. |
|
|
|
2. |
|
||||||||
|
Используем |
цилиндрические |
координаты |
г, |
«р, |
Пло |
||||||||||
скость |
Z = |
O |
совпадает |
с поверхностью тела, |
и ось |
Z про |
||||||||||
ходит через центр сферы. Задача является осесимметричной.
Термический |
потенциал перемещений для тела |
Z ^ O , |
|
> а согласно |
второму из уравнений (10.8) имеет |
вид |
|
|
Фа = - |
H - Ji ,.T |
(10.9) |
|
|
||
|
/^1 = -|/г2 + (2 — С)2. |
|
10 |
|
10 |
|||
|
( |
|
. |
|
) |
|||
Если для сокращения |
принять |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 20 4 ^ ? л . |
( 10. 11) |
|||||
Т О этому потенциалу перемещений |
по уравнениям |
(8.9) соот |
||||||
ветствуют напряжения: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
(г — |
|
( 10. 12) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как |
и следовало |
ожидать, при |
Z = O оба напряжения |
не |
||||
будут |
обращаться в |
нуль, следовательно, поверхность |
|
|
не |
|||
свободна от напряжений. Поэтому на полученное |
напряжен |
|||||||
ное состояние мы должны наложить такую систему напряже ний (полученную при постоянной температуре), которая сни мает граничные напряжения.
Это второе напряженное состояние, как и в § 2 гл. VIII, мы получим при помощи функции перемещений Лява, которая
должна |
быть определена |
во |
всем полупространстве Z ^ O |
|
вместе |
с включением |
< |
а |
и при Z ^ O нигде не должна |
иметь особенностей. Чтобы добиться этого, представим себе,
что центр |
сферы ^ i = |
о зеркально |
отображен |
относительно |
|||||||||
плоскости |
Z = O , |
и введем |
в |
рассмотрение |
расстояние |
|
|||||||
|
|
|
|
У?2 = |
УТ2 + |
(Н = ^= . |
|
|
(10.13) |
||||
которое |
на |
поверхности |
Z = |
O |
равно |
Ri, |
|
|
|
|
|||
Функцию |
Лява попробуем |
выбрать в |
следующем |
виде |
|||||||||
|
|
|
L — Л Iog (R2 |
Z |
с ) В |
|
|
(10.14) |
|||||
C первоначально |
произвольными |
постоянными |
А |
и В. |
Так |
||||||||
как |
нигде не обращается в нуль |
в теле |
Z ^ O , |
то в этой |
|||||||||
области |
особенностей не возникает. |
|
|
|
|
|
|||||||
Используя сперва выписанные ниже первые и вторые |
|||||||||||||
производные |
функции |
L, |
убедимся |
непосредственной |
про |
||||||||