книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями

§ 2. Плоское температурное поле, не вызывающее напряжений

Большой интерес представляет плоское температурное поле, т. е. такое, которое не зависит от одной из координат (например, от координаты Z); оно встречается в длинных цилиндрах или в тонких дисках.

Рассмотрим плоское деформированное состояние, для ко­ торого согласно § 1 ГЛ. V

= ^ y = O-

При этом, если напряжения Од.д^, Од.^ и а^у обращаются в нуль, то должно быть

Так как температура не зависит от Z, то все условия сов­ местности за исключением первого, тождественно выпол­ няются. Первое же условие совместности дает:

Следовательно, для того чтобы плоское температурное поле не вызывало напряжений, не считая напряжения

^ = - 2 0 ( 1 4 - 1 ^ ) = 7 ' .

необходимо (но не достаточно), чтобы температурное поле было стационарным и не имело источников тепла, как это и должно быть на основании уравнений (1.6) и (3.4).

Для того чтобы получить достаточные условия, необхо­ димо рассмотреть деформированное состояние. Обозначим через U K V перемещения точки с координатами х и у. Эта точка после нагревания будет иметь новые координаты:

%= х - ^ и , TJ=JV-I-TI.

Так как при изменении температуры, не вызывающем на­ пряжений, бесконечно малый треугольник переходит в подоб­ ный то мы имеем здесь дело с конформным соответствием плоскостей (£, т)) и (х, у). Следовательно, если ввести комплекеынспеременные

i = x -{ -iy и X= ^4 - / 7),

ТО последние равенства можно представить в следующем виде:

ь

а

Ь

= (1 + Г . ) а / ^ d s .

а

где д/дп означает производную по нормали к пути интегри­ рования между точками а \\ Ь. а s есть длина дуги. Если точка Ь совпадает с точкой а, то

вдоль любой замкнутой кривой, лежащей целиком в рассмат­ риваемой области. Но интеграл в формуле (3.7) пропорционален

Вернемся теперь к нашим рассуждениям относительно

У1= у - \ - у дают конформное отображение. Величина мас­ штаба такого преобразования определяется выражением

У{

Так как

то величина масштаба в нашем случае будет:

C единицей, как это и имеет место на практике.

Согласно теории потенциала, каждое решение Т(х, у) дифференциального уравнения (3.4) может рассматриваться

где 5 — гармоническая функция, сопряженная с Г. Так как функции Г и 5 должны удовлетворять дифференциальным уравнениям Коши — Римана, то, принимая во внимание урав­

нение (3.6), видим, что 5 совпадает с ^ точностью

до несущественной постоянной. Дифференциальные уравне­ ния (3.5) дают, таким образом, выражение для перемещений:

речного сечения в результате изменения температуры пере­

= (l-)-Jl)a J*Q it)dt должна обратиться в нуль, если точка а

совпадает с точкой Ь. Отсюда следует, что для каждого замкнутого пути интегрирования, целиком лежащего внутри поперечного сечения рассматриваемого тела,

(3.8)

Итак, мы установили искомое достаточное условие.

В качестве примера рассмотрим температурное поле, вызы­ ваемое источником тепла, помещенным в начале координат. Этот пример показывает, во-первых, что условие (3.7) как частный случай содержится в условии (3.8) и, во-вторых, для того, чтобы температурное поле не вызывало напряжений, достаточно, чтобы выполнялись условия (3.4) и (3.8).

Тогда, как известно,

T= I o g r ,

имощность источника тепла легко определится из уравне­ ния (1.4), если вокруг точки г = О провести окружность и определить количество тепла, протекающее через его кон­ тур. Имеем:

W = XBl-I^rfs= XoJ -^^|^г<(® = 21тХ8.

где о— толщина пластинки. Для функции Q(Z) получим:

Q (О = Iog ^ = Iog г 4 " ^0.

Для функции ¢ ( 0 точка ^ = O является точкой разветвления. Значение интеграла

0)(0 = (1+ 1*')^/ ( г ( 0 ^( = (1 + 1^ ) а / \o g td t =

= (H-IX)Orf(Iog^-I)

при однократном обходе, когда Ь изменяется от нуля до 2-»:, увеличивается на 2 т : 1 { 1 Отсюда следует, что при наличии источника тепла можно ограничиться только усло­ вием (3.8).

Если в выражении для ш мы отделим действительную и мнимую части, то получим выражения для перемещений:

отсюда видно, что для получения однозначных перемещений значения {У следует выбирать в. интервале ср < ; О < с р 2тс.

Рис. 4.

Следовательно, в неограниченном цилиндре, а также в замкнутой круговой трубе, поверхности которых сохраняют постоянные температуры п Tj, п для которых распределе­ ние температуры задано в виде Г = Iogr (с точностью до несущественной в этом случае постоянной), будут возникать температурные напряжения. Их вычислением мы будем зани­ маться позднее в главе V. В обоих случаях в плоскости по­ перечного сечения имеются кривые, которые охватывают источник тепла.

Напротив, температурные поля, изображенные на рис. 3, где источник тепла расположен вне контура, и на рис. 4, где изображен диск с разрезом, не вызывают напряжений, потому что в этих случаях источники тепла лежат вне кри­ вых, ограничивающих рассматриваемые области.

между которыми равно do, поворачиваются друг относи­ тельно друга на угол Д^ср„ при этом их взаимное расстоя­ ние изменяется на величину так что стержень соот­ ветственно этому изгибается, растягивается или укорачи­ вается.

Если отвлечься от взаимного смещения обоих попереч­ ных сечений в направлении, перпендикулярном к оси стержня

деформаций. Прежде всего, она может обозначать компо­ ненту перемещения в определенном направлении; она может также означать увеличение или уменьшение расстояния между двумя точками системы i', i". Кроме того, 8^ может пред­ ставлять угол поворота линии, соединяющей две точки си­ стемы i' и i", а также угол поворота касательной к оси стержня в точке /. Наконец, 8^ может означать изменение

угла между прямыми, соединяющими точки iiii и iVg. или изменение угла между касательными к оси стержня в точ­ ках i' и i". Каждая из этих различных деформаций соответ­ ствует определенной предполагаемой нагрузке системы. Обычно эту нагрузку называют вспомогательной нагрузкой, соответ­ ствующей величине 8^. Если 8^ обозначает компоненту пере­ мещения в некотором определенном направлении, то вспомо­ гательная нагрузка представляет собой силу P = 1, которая действует в точке i в направлении искомой компоненты перемещения. Из этого основного случая можно посредством наложения решений легко получить все другие. Действи­ тельно, подобно тому, как новые виды деформаций сла­ гаются из только что упомянутых компонент деформаций, так и соответствующая вспомогательная нагрузка слагается из надлежащих компонент. Так можно получить, например,

где f — расстояние между обеими точками. Вспомогательная нагрузка, соответствующая повороту bi, состоит, очевидно.