книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями
..pdf§ 10. Температурные напряжения в охлаждающих ребрах
К телу, поверхность которого имеет температуру 0, при
соединено тонкое |
ребро, имеющее форму полосы шириной |
|||||
Ь и толщиной |
В (рис. 15). Поверхности ребра отдают тепло |
|||||
в окружающую среду с температу |
||||||
рой 0; потерей тепла в граничной пло |
||||||
скости, параллельной оси у, можно |
||||||
пренеэре .ь, так как 8 предполагается |
||||||
малой величиной по сравнению с Ь. |
||||||
В направлении у |
имеет |
место пло |
||||
ское |
деформированное |
состояние, |
||||
так что перемещение V, параллель |
||||||
ное этому направлению, обращается |
||||||
в нуль. Край |
ребра |
х = Ь должен |
||||
быть |
свободен |
от |
напряжений. |
|||
При этих п{ едположениях темпе |
||||||
ратура, |
напряжения |
и |
перемещения |
|||
зависят |
лишь |
от |
х. |
Уравнение |
||
в |
частных производных (5.20) упрощается |
переходит |
в |
обыкновенное уравнение |
|
(iX^
причем X удовлетворяет также |
граничным условиям |
||
S = D — O= T |
|
при |
Jf = O |
- ^ = 0 при |
X = |
д, |
|
так как при х = Ь мы пренебрегаем отдачей тепла, пропор циональной падению температуры. Функция S
Z = T_-Ch т(Ь — х) |
(6.78) |
Ch rnif |
|
удовлетворяет не только дифференциальному уравнению (5.20), но также и граничным условиям. По формулам (5.23) напря жения будут иметь вид:
B a |
л |
B a |
д^-Х |
|
т- ду" |
|
> |
дхду |
(6.79) |
|
, |
Ch т {Ь — Jf) |
||
|
|
|||
сЦ/лб '
а перемещения — |
|
|
|
||||
|
|
|
|
ду - |
|
(6.80) |
|
|
|
|
|
|
|
||
Мы видим, что |
это решение уже |
удовлетворяет граничным |
|||||
условиям |
для напряженного и деформированного |
состояния. |
|||||
В |
самом |
деле, |
напряжения о^д, и |
а |
вообще |
обращаются |
|
в |
нуль, |
а |
следовательно, и вдоль |
края |
х = Ь, как это тре |
||
буется, |
а |
перемещения V всюду равны |
нулю. |
|
|||
§ 11. Температурные напряжения в бесконечнэ длинной полосе, у которой одно поперечное сечение сохраняет
постоянную |
температуру |
T Q и |
происходит |
потеря |
тепла |
||||||||||
|
|
|
|
на |
поверхностях |
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
ширина |
полосы |
будет |
2Ь. |
Ось у |
проведем |
в про |
||||||||
дольном |
направлении, ось |
х — перпендикулярно к ней, так |
|||||||||||||
что |
края |
полосы |
будут |
х = ± Ь |
|
(рис. |
16). |
Вдоль |
попереч |
||||||
ного |
сечения у = |
0 температура |
постоянна |
и |
равна |
TQ. при |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
чем |
TQ может не зависеть от л'.. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
следовательно, по ширине по |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
лосы |
является |
неизменной. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Потерей |
тепла |
вдоль |
|
краев |
|||||
|
|
|
|
|
|
пренебрегаем. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно |
убедиться, |
что |
|||||
|
|
|
|
|
|
для положительных у |
значение |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z=TQe-'^^У |
|
|
(6.81) |
||
|
|
|
|
|
|
является |
частным |
решением |
|||||||
|
|
|
|
|
|
дифференциального |
уравне |
||||||||
|
|
|
|
|
|
ния |
(5.20) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д г — /л2г = о , |
|
|
||||
причем это решение удовлетворяет граничным |
условиям. |
||||||||||||||
Функция |
Z |
обращается |
в нуль |
на бесконечности при |
поло- |
||||||||||
жительных значениях у. |
г, |
|
dZ |
обращается в нуль вдоль |
|||||||||||
Далее, |
|
|
|||||||||||||
краев полосы. Согласно уравнениям (1.4) это означает, что вдоль краев потери тепла нет. Из соображений симметрии следует, что распределение температуры для отрицательных у
I) Ooodier (1).
будет таким же, как и для положительных, так что мы можем ограничиться рассмотрением части полосы с положитель ными у.
В качестве термоупругого потенциала перемещений со гласно формуле (5.22) используем выражение
4 ^ = (1 +|х)ос^ |
-Т’о. |
(6.82) |
Тогда для напряжений по формулам (5.23) получаем следую щие выражения:
= - С ; ^ | 5 = - е а 7 - „ е - ”к. )
(6.83)
/ = Orr,/ = О-
Перемещение и в направлении X всюду равно нулю, а для перемещения V, "параллельного оси 1', имеем
(6.84)
Следовательно, поперечное сечение у = Q испытывает парал лельный перенос в направлении, параллельном положительной
оси Y, на величину — (1+ . H - ) - Это перемещение можно
уничтожить, если половину полосы C положительными у
сместить на величину (1 -f- р.) TQ. На ту же величину сле
дует сместить половину полосы с отрицательными у |
в напра |
|||
влении |
отрицательных у. |
Тогда взаимосвязь |
обеих |
половин |
полосы |
при у = O будет восстановлена. Во |
всяком случае |
||
напряжения при этом не изменятся. |
|
|
||
Однако края х = ± Ь |
еще не свободны |
от напряжений: |
||
к ним приложены нормальные напряжения |
|
|
||
7^^ = — EaTQe-^'^v.
Следовательно, на полученное решение необходимо наложить еще одно решение уравнения (5.7)
AAF=O,
которое удовлетворяет граничным условиям:
=“о..у = 0 при х = ± : Ь .
Решение |
этой задачи уже известно. Если |
взять F в |
виде |
|||||
|
|
F = (Л Ch (I)JC -|- BiO X Sh (OJf) COS ш у , |
|
|||||
то, как |
легко |
|
показать, |
это |
выражение |
при любом |
(о |
|
влетворяет уравнению (5.7) для F. Из (})ормул (5.6) для |
||||||||
пряжений получаем: |
|
|
|
|
||||
° х х = |
|
= |
— 1Л Ch (OJC+ |
|
'“.V. |
|
||
Oyy= |
^ |
= |
|
((Л 2В) Ch (од: 4 - Вшх sh (одс) (о^ cos (оу, |
||||
— |
— |
д~Р |
= ((Л -|- |
В) Sh (OJC-I- EceJC Ch (Ojc] (о2 sin (оу. |
||||
Од.у = |
|
|
||||||
Если, далее, |
положить |
|
|
|
|
|||
|
Л = |
|
C [(о6-|-th (о6], |
B = — Cthiof), |
|
|||
то касательное напряжение Сд.у вдоль краев JC= Ztft обра тится в нуль. Рассматривая пока C как произвольную функ цию 10, можно посредством интегрирования по io получить общее решение
OO
F = J[((Oft-I-Ih (Oft)Ch IOJC — th (oft•(oJcsh (DjcJ • C cos(Ojzrfio,
о |
(6.85) |
которое для напряжений дает следующие выражения:
®ва> = |
— JK^ft Н“ th ioft) Ch IOJC— th (oft • (OJC Sh юсс] X |
|
|
|
|
о |
|
|
|
X CtO^cos (03)(/(0, |
|
(Jyy=JKioft — th(oft)ch(oJc— Ihioft^iojcshiojclX |
’ (6.86) |
||
|
о |
X Cafi COS (OJ)rfio, |
|
|
|
|
|
«ху = |
J |
Sh IOJC— th (oft • (OJCCh IOJCJ Cafi sin а>у rfio. |
|
§ IlI |
85 |
Чтобы при х = ± Ь Од,.р приняло заданные значения
7^^ = EaT,e-'^^У = f(y ).
следует составить уравнение
~ — / |
сН]со6 -{- Sh Oib) — |
|
о |
|
|
— th • Oib - Oib Sh о)Ь] Cui^coswy rfca = / ( 3»). |
(6.87) |
|
Для симметричной |
функции fi y ) согласно теореме Фурье |
|
/(у ) = |
^ I ' COSOiydy I*/(X)COS(I)XrfX. |
(6.88) |
|
о |
|
Сравнивая интегралы, определяемые формулами (6.87) и (6.88), приходим к уравнению
I*/(X)COSCoXrfX= — Со)2 (U)^ch (о&-{-(1— CO^th (о6) Sh U)^].
из которого) получаем
С(02
~ ~ Sh(O^)Ch (оЬ-\-шЬ ■IT f ^
принимая во внимание, что
/{ \) = EaToe-
I B-W^cos (оХrfX = т- + <о2 ’
= |
( 6 . 8 9 ) |
Таким образом, используя выражения (6.86), получаем сле дующие выражения для напряжений:
<3хх — |
|
|
J* |
|
( B ^ - I - S h о)&1 Ch (X)X — |
|
|
|
|
|
о |
|
|
COS <ву dd) |
|
— |
S h |
|
• (X)X S h (Х)х) |
• (/и* |
|
||
|
«") (sh (оЬCh (лЬ |
®Л) ’ |
|||||
У = — |
Е а Г о ^ У * |
{[о)6 Ch шЬ — |
slK ui*] Ch (ОХ - |
(6.90) |
|||
|
, |
, |
, |
, |
|
COS «оу do) |
|
|
|
|
|||||
|
S h |
(о6 |
. (ОХ S h (X)X] |
• |
(Sh (лЬ c h со6 + |
о)& )' |
|
иCh (Х)Ь S h (ОХ —
, |
, 1 |
Sin (оу du) |
— Sbmb-тхсЪ«>х] ^ |
. |
|
Согласно этим выражениям нормальные напряжения в на правлении оси X принимают значения
|
° Х Х ~ ° Х Х ~ \~ X X ’ |
||
а напряжения |
и а^у |
вследствие |
того, что 0^1, = 03,,, = 0, |
будут равны |
|
|
|
|
° у у ~ |
^yy |
~ ^xy |
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИНКАХ 1)
§1. Общая теория
Вглаве V мы рассматривали пластинку в предположении, что распределение температуры по толщине пластинки о по стоянно и поэтому срединная плоскость пласгинки остается плоской. Теперь исследуем температурные напряжения для случая, когда температура по толщине меняется по линейному закону, так что на расстоянии Z от срединной плоскости температура будет равна
|
|
T=Z-Zix, у) - ^ Т о {х, |
у). |
(7.П |
Направим, |
как |
и прежде, ось Z в направлении толщины, |
||
а оси X и |
у |
перпендикулярно к ней |
в |
направлении глав |
ных размеров тела. Эти размеры, как и прежде, должны быть велики по сравнению с толщиной. Координату Z мы будем отсчитывать от срединной плоскости, которая по этому определится уравнением Z = O. Пусть на поверх
ности Z = -]—^ имеет место температура Т'(х, у), а на по
верхности Z = ---^— температура Т" (х, у).
Ясно, что при этом срединная плоскость, вообще говоря, уже не останется плоской, а изогнется в криволинейную по верхность; следовательно, могут появиться напряжения изгиба. В теории упругости изгибаемыми пластинками принято назы вать тела, обладающие той же самой геометрической формой, как и ранее изученные пластинки, но у которых срединная плоскость при деформировании изгибается.
О Nadai, Marguerre, MauIbetsch, Тим
Из рассмотрения рис. 17 получается следующее соотно шение между перемещениями а, V w w какой-либо точки
пластинки:
|
|
|
' |
дх ' |
ду |
‘ |
|
|
|
|
|
(7.4) |
|
|
|
|
Здесь W обозначает перемеще |
|||
|
|
|
ние точки срединной плоскости |
|||
|
|
|
D положительном направлении |
|||
|
|
|
оси Z. Отсюда находим выраже |
|||
|
|
|
ния для деформаций: |
|
||
|
|
|
|
> ^ v v - ^ |
• |
|
|
|
|
|
|
^ д х д у ' |
|
Подставляя |
эти выражения |
и значение Г = |
тгг в формулы |
|||
для напряжений, получаем: |
|
|
|
|
||
- |
ь г р |
[-SJT+ |
-Jpi-+ |
“ а + |
1*) ^ I |
|
|
|
|
|
|
(7.5) |
|
__ |
Ez |
д”т |
|
|
|
|
|
1 _|_ JJ, |
Qy • |
|
|
|
|
Обычно в теории изгиба пластинок вместо напряжений имеют дело C моментами. Умножая на 2 и интегрируя по д, на ходим:
где через N обозначена жесткость пластинки
Рассматривая элемент пластинки с площадью основания d X d y и высотой о (рис. 18), находим из уравнений равновесия выра
жения для моментов |
относительно |
|
|||
о с и у |
и |
о с и |
JC*. |
|
|
|
— |
дшп-х |
дт. |
|
|
|
|
|
|
ду |
|
|
|
|
ду ^ |
дх |
|
Здесь |
|
|
— перерезывающая |
|
|
сила, |
действующая |
на элемент |
Jg |
||
поверхности |
dyЪ, |
dX— пере |
|
||
резывающая сила, действующая на элемент поверхности dXb.
Подставляя в выражения для дх и д^^ значения моментов, получаем:
9® = |
— Л ^ { - ^ [4 ;^ + |
1^4|^ + а ( 1+ Н *)-1 + |
|
||||
|
|
|
ду2 |
|
|
|
|
|
+ (1 — Р) |
d^W |
I = |
- N |
- 1Д та;+ а(1 4 -н,)х1, |
||
|
’ дхду^‘ \ |
|
|
|
|
||
g,J = |
д |
|
|
|
|
|
(7.8) |
— N -^[£ ш -{ -a {l-{ -\^) т]. |
|
||||||
Равновесие сил в направлении г, |
как видно из |
рис. 18, |
|||||
приводит к уравнению |
|
|
|
|
|
||
|
|
дЯх |
I |
дду- = |
0 . |
|
|
|
|
~ д Г ~ ^ |
ду |
|
|
||
Подставляя сюда выражения для дх и ду. находим |
|
||||||
|
Д[Д-м; + |
а (1 + |
р.)х1 = 0. |
(7.9) |
|||
Мы можем использовать какое-либо частное решение дифференциального уравнения (7.9). В общем случае вдоль краев пластинки это решение W не будет удовлетворять гра ничным условиям, зависящим от вида закрепления. Поэтому необходимо еще наложить полученное по обычной теории
пластинок решение для ненагруженноЯ пластинки с такими граничными условиями, чтобы оно о совокупности C реше
нием W удовлетворяло заданным граничным условиям.
Если, например, теплэперепад х постоянен или изме
няется по линейному з^ону так, что Ax = |
О, то мы можем |
||
использовать решение W = O уравнения |
(7.9) |
и |
получить |
выражения Для моментов; |
|
|
|
= — |
та:и = |
^> |
(7.10) |
» , = - М а ( 1 + |
|1) ^ |
. (7.11) |
|
Это решение соответствует пластинке, края которой закре плены так, что они не могут прогибаться и поворачиваться; при этом пластинка остается плоской.
[§ 2. Пластинка под влиянием силы и момента, приложенных на краю
В зависимости от вида закрепления пластинки на краях, прогиб W и производные от W должны удовлетворять опре деленным граничным условиям. В общем случае частное ре шение уравнения (7.9), как уже упоминалось, этим гранич ным условия^ не удовлетворяет.
Решение W, подлежащее наложению, должно удовлетво рять дифференциальному уравнению
AAw = O. |
(7.12) |
Из теории изгиба плоских пластинок получаем выражения для моментов:
^ [-¾!-+ |
(7.13) |
|
— — N (1 |
V-) ^xdy ’ |
|
и для поперечных сил: |
|
|
7а,= — T Z ^A w , |
Q y = - N - ^ L w . |
(7.14) |
дх |
|
|