книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями
..pdfПоэтому функция напряжений Эри удовлетворяет уравнению в полярных координатах
^ г дг ^ г - df-)
Напряжения выражаются через функцию F следующим образом: радиальное напряжение
_ 1 |
, \ д’'-Р |
гг д г ' г- д<^- '
тангенциальное напряи<ение
касательное напряжен
''V |
dr U dy ) |
Так как в данном случае имеет место осевая симметрия, то производные по 9 обращаются в нуль и, следовательно,
|
, |
I dF |
I d (_dF\ |
^ |
'' dr^- ^■ |
г dr |
г dr У dr)" |
|
|
|
(6 .2 ) |
|
' г dr |
' |
~ dr^- ’ |
Для температуры T соответственно первому из выражений (6.2) получается уравнение
C краевы ми условиями: |
|
|
|
T = T i |
при |
г = |
а |
T = O |
при |
г = |
д. |
Нетрудно установить, что решение этого дифференциального уравнения имеет вид
в главе III уже было указано, что это температурное поле вызывает напряжения; определением этих напряжений мы и займемся. Сначала по формулам (5.2), (6.3) и (6.4; находим уравнение для упругого потенциала перемещений (который мы принимаем также не зависящим от Z и ср):
1 |
rf / |
</Ф\ |
1+|1 .р |
Tl , |
Ь |
г |
d rV |
dr) |
1— |
1—fi ® IoglJ |
г ’ |
частное рещение которого
К |
(6.5) |
|
МЫ в дальнейшем используем. Здесь для сокращения записи положено
4 1 — fi * |
(6.6) |
|
По формулам (5.5) получаем напряжения путем умножения термоупругого потенциала перемещений на — 2 0 , с помощью тех же самых операций дифференцирования, как и при пло ском деформированном состоянии, т. е. из функции напря жений Эри по уравнениям (6.2). Таким образом, радиальное напряжение равно
=-------(6.7а)
атангенциальное напряжение
» „ = |
- |
2 0 ^ |
------- |
|
|
На внутренней |
боковой |
поверхности |
(г = |
а) действует при |
|
этом нормальное |
напряжение |
|
|
||
|
|
р , -------20 к [ 2 + |
^ ) . |
(6.8а) |
|
а на внешней поверхности (г = |
6) |
|
п _ |
IogP • |
(6.86) |
Pb |
Перемещение в радиальном направлении по формуле (5.3) равно
а перемещение в тангенциальном направлении
Таким образом, перемещения однозначны. Для того чтобы снять радиальные напряжения и р{,, мы должны на вну тренней поверхности наложить радиальное напряжение, равное согласно (6.8а)
- р ^ = 2 0 К [ 2 + |
1 \ |
Iogpy |
а на внешней поверхности, пользуясь формулой (6.86), при ложить напряжение
п-
Возникающее при этом напряженное состояние следует на ложить на напряженное состояние, соответствующее функ ции Ф и определяемое по формулам (6.7).
Но напряжения в трубе, которые вызываются внутренним давлением о^= — и внешним давлением в,.= — Pj,, известны. Они равны:
р Р а (l |
— |
- ¾ ] • |
(6. 10)
Подставляя в (6.10) выражения для Рд и P J, по формулам (6.8), получим:
(6. 11)
■-TlOgBj-
Окончательные значения напряжений определяются как суммы
Orr = ^ r |
r |
+ |
(соответственно |
|
= |
|
«о |
уравне |
|||||
ниям (6.6) |
H |
(6.11) |
в |
следующем |
виде: |
|
|
|
|||||
|
- 2 Э |
к \ |
- |
2 |
^ |
____1 |
I |
|
I |
' |
|
||
|
|
|
|
Г. |
|
ь |
-5— |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Io g - |
|
|
|
|
|
||||
|
= — АОК\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
I Io g - |
^ — 1 |
|
|
|
|
|
|||
о,„_-20к\ |
2 , 0 2 3 + 1 0 5 ^ |
|
Г - - \ |
|
> |
L |
|||||||
о |
2ог/С|^ |
|
2'°^ ^ + |
' |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+ I o g p J - |
|||||
|
= |
— 40/С |
Iog- |
|
Г + |
I |
|
|
(6. 12) |
||||
|
|
Iog-^ |
|
« — 1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Перемещения, соответствующие этому напряженному состоя
нию, однозначны, так как напряжения |
>* ^sc создают |
однозначное деформированное состояние. |
|
Нормальное напряжение о,, получается по формуле (5.8); поскольку сумма нормальных напряжений является инвариан
том, то SJ-J,-1- 3^,^,можно заменить на з^,.+ |
Отсюда находим: |
|||||
3=г = — 20 |
|
0.Т4 - Ii (3,., + з",,) == |
|
|||
|
|
|
2 lo g .^ - ,i |
|
||
|
|
|
= — АОК |
^— |
ъ— |
Ь2_ |
|
|
|
— |
|||
|
|
|
|
|
|
¢2 ■ |
§ 2 . Температурные напряжения |
в толстостенной трубе |
|||||
при |
неосесимметричном стационарном распределении |
|||||
|
|
|
температуры ^) |
|
|
|
Рассмотрим |
толстостенную трубу, |
на внутренней стенке |
||||
г = а |
которой |
задана произвольная |
температура |
^!((f). зави |
||
сящая от полярного |
угла <р. Точно так же на внешней стенке |
|||||
трубы |
г — Ь задана |
температура 62(?)- |
В таком |
случае тем- |
||
1) Schau, Stoodola.
пература стенки T {г, |
ср) должна быть периодической функ |
|||
цией но (р C периодом 2-, удовлетворяющей дифференциаль |
||||
ному уравнеиню AT = |
0. |
|
|
|
Наиболее общая функция такого рода имеет вид |
||||
|
OO |
|
|
|
T = |
^ |
»)C |
o s n |
o S i n (бЛЗ) |
|
H= 1 |
|
|
|
где |
постоянные |
с„, |
с1ц пока |
не определены. Не зави |
сящие от 'f (осесимметричные) слагаемые не включены в вы ражение (6.13): они уже рассматривались в § I гл. VI.
Коэффициенты |
... |
определяются из условий на гра |
ницах г = а H г = |
Ь путем |
разложения заданных граничных |
температур в ряды Фурье по 9 и приравнивания соответ
ствующих коэффнцнентов. |
|
|||
Для определения |
температурных напряжений |
вернемся |
||
к уравнениям (5.8), |
которые, как уже было указано, в поляр |
|||
ных |
координатах |
имеют вид: |
|
|
|
з ,, = |
^ |
( / ’- 20 Ф), |
(6.14) |
|
|
|
|
|
|
о^ = |
Д(|аГ — 20Ф). |
|
|
где |
Ф — термический потенциал перемещений, |
удовлетво- |
||
ряющий дифференциальному уравнению ДФ = у ^ ^ аГ, а
F — функция напряжений Эри. удовлетворяющая дифферен циальному уравнению AA F = O .
В § 2 гл. III было показано, что плоское температурное
ноле не вызывает напряжений, если интеграл
распространенный по любой замкнутой кривой; целиком лежащей в области, обращается в нуль. Легко проверить, что функция Qit), соответствующая распределению темпера туры (6.13) (Т — действительная часть аналитической функ ции Q(Z)), имеет вид
Q(O = I) |
t= re i9 . (6.15) |
Нетрудно видеть, |
( ^ i + /^i) ^ ^ = |
= Z ^ |
дает отличное от нуля значение крино |
линейного интеграла. Другими словами, п ряде (6.13) только члены, пропорциональные 1/г, дают температурные напряже ния все другие члены вызывают лишь осевые
напряжения 6^2- Для того чтобы сделать дальнейшие вычисления более
ясными, ограничимся сперва в выражении для температуры (6.13) исследованием членов, симметричных по со, т. е. рас
смотрим |
только |
члены с косинусами. Рассмотрение членов |
|||||
C синусами, т. е. несимметричной |
части |
ряда |
(6.13), |
произ |
|||
водится точно таким же образом. |
|
|
|
|
|||
Из членов C |
косинусами |
выберем, прежде |
всего, |
„более |
|||
высокие |
гармоники", т. е. |
члены |
с л = |
2, 3. |
Как ука |
||
зывалось выше, они вызывают лишь осевые напряжения. Функции Ф и Л соответствующие этой форме ряда (6.13), будут иметь вид:
20Ф = 2 (>1»г”'‘’®+ В»г~”+2)со8«ср,
п = 2
OO
F = 2 ( C n ' ' " + +
П= 2
Нетрудно убедиться, что
00
Дф =-§■ 2 П*2
(6.16)
F ^ r-«+2)COS «в.
COSZKp, AAF = O.
Подставляя А€> |
T |
дифференциальное уравнение |
||
АФ= |- ^ ^ а Г , находим |
выражения для |
коэффициентов А„ |
||
и В„: |
|
|
|
|
_ I - P gg |
|
о |
_ 1+ М - |
аО |
|
(ZI = |
2, 3. |
..) . |
1 (6.17) |
Коэффициенты |
|
. . . Fn можно получить, используя гранич |
|||||||
ные условия. |
Согласно |
этим |
условиям при |
г = а и г — Ь |
|||||
радиальное |
напряжение |
|
^ касательное |
напряжение |
|||||
должны обратиться |
в нуль. |
Подставим |
Ф |
н F о выраже |
|||||
ния (6.14). Проводя |
необходимое дифференцирование, поло |
||||||||
жив г = а |
и приравняв |
нулю |
коэффициенты при косинусах |
||||||
и синусах, |
получим; |
|
|
|
|
|
|
||
« (1 — л) С„а«-2 _ и (1 -I- л) |
|
|
|
|
|||||
|
|
+ |
(1+ / 0 (2 - п)(Ея— |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
4 - ( 1— я)(2 Н -я)(Р„— й ^ о - » = 0, |
||||
(1— л)С„о»-2 + |
(1 |
|
|
(I + « ) № |
« - » . ) “■ - |
||||
|
|
|
|
|
|
— (1— »)(/’„ — В . ) а - « = 0. |
|||
Аналогичные |
уравнения |
получаются |
при |
г = Ь заменой а |
|||||
на Ь. В итоге получаются |
четыре |
однородных уравнения |
|||||||
относительно четырех постоянных С«, 0„, |
— А„. Fn— В». |
||||||||
Так как определитель этой системы отличен от нуля, то существует единственное решение
Cn = D,, = |
Е„ — А „ = F n - B ^ = O |
(п = 2, 3, |
...) , |
и потому |
2GФ = F. |
|
|
|
|
|
|
В самом деле, |
все напряжения, вызываемые высшими гармо |
||
никами, обращаются в нуль, за исключением напряжений |
|||
Для Ogg из последнего уравнения (6.14) при |
= Ап. Fn = В,», |
||
пользуясь равенствами (6.17). получаем: |
|
|
|
Ogg = — 2 (1 + р.)аО 2 |
COS /icp, |
( 6. 18) |
|
что согласуется с уравнением (5.10).
Аналогичные выражения получаются для антисимметрич ных членов функции, представляющей распределение темпе ратуры.
Остается исследовать член разложения функции ^(<р), соответствующий н = 1 . Для этого примем:
20Ф = |
-\- Bir Iog г) COS (?, |
|
P = |
( 0 ,г - ‘ 4 - |
cos о. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.19) |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д Ф = 1 ( 4 Л 1 Г - |- ^ ) со8 с?. |
|
ДД /^=0. |
|
||||||||||
Из уравнения |
ДФ = |
|
|
иT следует, |
|
|
|
|
||||||
|
Л , = I i J i =G |
* |
в^ = | ± Л а О ^ . |
( 6. 20) |
||||||||||
|
|
^ |
|
1 —H |
4 |
|
* |
1 —|х |
* |
|
||||
Согласно формулам (6.14) соответствующие напряж |
||||||||||||||
будут |
равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= „ = |
[ |
- |
2 - ^ |
+ |
2 ( £ . - |
Л ) г |
— |
^ ] |
COS |
|
|||
|
> |
, = |
[ |
- |
2 |
|
2 (Е, - |
А ) |
г |
- |
- Ь ] |
S in ? , |
|
|
|
„ = |
[2 ^ |
+ |
6 (Е, — Л ) '- — ^ J c o s o . |
|
|||||||||
|
о„ = |
2[4(1»Е,— А,) г — ^ jc o sip . |
|
|
||||||||||
Мы видим, что в выражениях |
для |
|
и |
|
множители, за |
|||||||||
висящие от |
г, |
одинаковы, |
так |
|
что |
из |
четырех |
граничных |
||||||
условий |
|
|
= |
О при |
г = |
а |
и г = Ь удается определить |
|||||||
только две |
постоянные |
Di |
и Ei. |
Имеем: |
|
|
|
|||||||
|
Di = |
-аЧ"- |
г. |
|
ГУ |
|
л |
^ |
|
Bi |
|
( 6. 21) |
||
|
2{аГ- + Ь’') Bi. |
Ei = |
A i - ^ |
2{аГ- + Ь‘^) • |
||||||||||
Здесь |
коэффициенты |
Ai |
и Bi |
|
определяются из уравнений |
|||||||||
(6.20). Аналогичные выражения получаются для температур ных членов, содержащих sincp.
Таким образом, задача по существу решена. Теперь (по
ложив |
bi. а следовательно, и |
Bi равными нулю) |
мы непо |
средственно убеждаемся в указанном ранее факте, |
а именно |
||
в том, |
что напряжения, отличные от осевых, вызываются |
||
лишь |
температурными членами, |
пропорциональными |
1/г. |
Резюмируя, можно написать п качестве конечного ре зультата следующие формулы;
X (^i COSo + |
S'*! ?)» |
=— 7у(т? — ^ ) х
|
|
X |
(bi Sin CS — r fic o s C?), |
|
|
|
|
|
( 6. 22) |
» „ = | ± ^ а О - ^ ( з |
а-' + Ь- |
а-Ь\ ^ |
||
▼▼ 1— (X |
а- + ^- \ |
- |
;-2 |
И ) ^ |
|
|
X |
(1>1 со5о -)-й?1 Sino), |
|
а„ = 2 (I + |
,) . 0 |
^ |
(2 - |
X |
|
X |
( ^ c o s c p + |
r fi Sin 9 ) — Г]. ) |
|
Результирующая осевых напряжений о,, равна нулю. Перемещения, как это непосредственно следует из выраже ний для Ф и F, являются однозначными.
§ 3. Температурные напряжения в пластинке, имеющей форму кругового кольца
Напряжения для пластинки в форме кругового кольца не посредственно получаются, если вместо потенциала перемеще ний Ф, удовлетворяющего дифференциальному уравнению (5.2)
Д ф = '±1;а7-, 1—(X
использовать функцию 'Г, удовлетворяющую дифферен циальному уравнению (5.14)
|
лиг = ( 1 4 - Ji) аГ. |
|
|
При |
этом величину К, определяемую формулой |
(б.б) § 1 |
|
для |
осесимметричного распределения |
температуры |
и равную |
|
4 1 — (X |
* |
|
следует заменить величиной
Для напряжений тогда получатся следующие выражения (ср. равенства (6.12)):
0,., = |
- 4 0 ^ |
Iog- |
|
||
, |
Ь |
62 |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
(6.23) |
|
« = |
— 40/. |
|
Iog- |
’ б2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
Сопоставим |
это решение с |
тем, которое было найдено |
|||
в § 6 ГЛ. IV. |
Для криволинейного стержня, имеющего |
||||
форму замкнутого кругового кольца, при разности темпера
тур |
Д 7 = 7 о — TJ, |
там |
была |
получена |
формула |
(4.17) для |
||||
напряжений на контуре |
в виде |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
где |
положительный знак |
относится |
к |
внешним |
волокнам |
|||||
(г = |
6). а отрицательный — к |
внутренним волокнам (г = а). |
||||||||
В нашем случае |
T ^ - Q , |
T ^ = T j, |
следовательно, |
A T = T ^. |
||||||
Если положить |
O = R — 8, b = R-{-Ь He = ZfR, где через е |
|||||||||
обозначена очень |
малая |
величина, |
то |
по (6.23) |
при г = Ь |
|||||
имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 (1 + |* ) а 4 Г = '5 ^ , |
|
|
|
||||||
|
|
|
Iim !og-/*^^ |
— 5 |
|
|
||||
|
|
|
,.^o |
^ 1- е |
|
|
|
|
||
При |
г = а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O-O = — AGL |
1 — |
|
|
|
|
|
|
|
|
= _ 0 (1+ ^ 1)аДГ = _ ё ^ ,