Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

4.2 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Грапичные услооня

выбираем так,

чтобы напряжения о^,

на

поверхности

Z = O,

а также

все

напряжения

при

R-^-OO, обращались в нуль. Нетрудно убедиться в том, что

поле

напряжений

о удовлетворяет

всем

этим

условиям,

за исключением условия для

на поверхности Z =

O. Здесь

остается

нормальное напряжение

Чтобы уничтожить

это напряжение, наложим на полученное

решение

второе поле напряжений з,

свободное

от темпера

туры.

Это поле

напряжений

мы будем

искать

при помощи

функции

перемещений

Лява (§ 1 гл. VIII),

заданной в

виде

L =

A [r^\og(R ~ [-z)-}-R z]-^B [Z^Iog ( R - ^ - Z ) - R z],

где А

В — пока

произвольные постоянные.

Прежде всего составим необходимые в дальнейшем

про

изводные

этой функции;

Иг (1 +

2 IogC/?+Z)!

^ = 2 A R - { ~ B [ 2 z lo g (R - \- z) — R],

^ =

И [ 3 — ^ + 2 l o g ( / ? + z)] +

г [ ^ ^ — 1 ]

дгдг	Л + гг)*
Д 1 = 4И (1 + Iog (R +	Z)] + 2В Iog (/? + г).

Теперь	легко показать, что ДДД = 0. В самом деле, так как
Iog (R +	г) есть гармоническая функция, т. е. Д Iog (R + г)= 0 ,

то ДДД = 0.

Таким образом, формулы (8.10) дают следующие значе ния для напряжений:

= 7 ¾

)

(8.15)

°“ = Т ^ ^ { ( з - 2 1 ‘ + Й ( 2 '4 + ^ ) - 2 в 1 .

= Г ^ ^ {(^ Т ^ + | 5 )(2 -^ + в ) - i ^ l

Постоянные интегрирования i4 и В следует определить

так, чтобы результирующие напряжения о = о+ о удовле творяли граничным условиям. Следовательно, на бесконеч ности все напряжения должны быть равны нулю и для того, чтобы поверхность Z = O оставалась свободной от напряже ний, на ней должны выполняться условия:

°гг = Огг + Огг=0.			0« =		°« + «г= =	0.
где значения о„ и а„ при		г =	О	по формулам		(8.14) будут
равны:
				о -„= о .
Два последних равенства		(8.15)		дают, таким		образом, для
2А -{-В и В систему двух		уравнений:
(3 — 2\|х) (2>1+		В) _	2В =		(1 — 2,1) ^	,
2 (1 — р.)(2Л +		В) — 2В =			0,
решение которой	имеет вид:
2Л + В	= 1 ^ /С,					К.

Из формул (8.15) при этих значениях (2Л 4 - В) и В получаем:

(8. 16)

• я = о л - 4 < + ^ 1 .

Теперь следует наложить дна поля напряжений о и о. Получим O= O-I-G, и компоненты напряжений будут иметь вид:

, „ = - 2 ( 1

(8.17)

., = 0.

Для полноты можно еще найти перемещения U M W B радиаль ном и в осевом направлениях:

“	^	^ ^ + 7 •
		(8.18)
= (1— (I)IClog (^?-Ь Z).
Отсюда видно, что	перемещение и	остается ограниченным
на бесконечности, тогда как перемещение W на бесконеч
ности неограниченно	возрастает. В месте нахождения источ

ника тепла оба перемещения имеют особенность.

Дифференцируя полученные выражения по г,	можно полу
чить ^используя переместимость операций Д и	поле напря-.

жений и поле перемещений в полупространстве, находящемся под действием помещенного в начале координат теплового диполя, ось которого совпадает с осью г.

§3. Температурные напряжения в трубе,

вкоторой протекает жидкость

Вбесконечно длинную толстостенную трубу с внешним радиусом Ь и внутренним радиусом а в сечении 2Г= О (рис. 25) втекает жидкость, имеющая при входе температуру Ь. Эта

жидкость, протекая по трубе, отдает тепло внутренней стенке трубы и при этом охлаисдается.

Рассмотрим	элемент трубы длиной	d Z . Через него в еди
ницу времени	протекает количество	жидкости	где

"(f— удельный вес жидкости, V — постоянная скорость тече ния (жидкость несжимаема). Это количество жидкости на участке пути dZ охлаждается, и температура жидкости нонн-

При этом на внутренней стенке трубы отдается количество тепла

						=			^ d z .
			где		Cf — удельная			теплоемкость
			жидкости,			отнесенная			к единице
			веса.
					Это количество тепла распро
			страняется далее от стенки внутрь
			трубы. Согласно				равенству (1.4)
			оно		равно
где T (г, Z) — температура трубы. Здесь следует ввести поло
жительный	знак,	так	как ^	имеет		направление,			противо
положное	положительной нормали (а					именно,		направленной
от поверхности		наружу).
Сравнивая оба выражения для dg, получим
			2 \						(8.19)
		CffCfV \ дг ) г=а				аг ‘			(8.19)
		CffCfV \ дг ) г=а				аг ‘
Температура		трубы удовлетворяет уравнению теплопро
водности для стационарного				случая
		~	дг2 + г	д г ^		=	0.		(8. 20)
		~	дг2 + г	д г ^

К этому уравнению следует еще присоединить условия тепло передачи на внутренней и внешней стенках трубы. Примем для простоты, что обе стенки трубы имеют температуру окружающей их среды (причем температура окружающего воздуха принимается постоянной и равной нулю), так что

7 = 0 при г = а,

принимая по внимание		(8.19),
2\	(д Т \	__ дТ		при	г = а	(8.21)
ayCf^V	\ дг }у=а		Dz

	T = O	при	г = Ь.

Это допущение справедливо при очень больших коэф фициентах теплоотдачи, и можно ожидать, что соответ ствующее распределение напряжений из-за более резкого падения температур окажется менее благоприятным, чем действительное распределение напряжений. Это идет в запас прочности.

В месте соединения трубы с резервуаром, при Z = O, температура трубы задана:

	T = ^ f {г) при Z =		O,	(8.22)
причем /(а ) =	1, /{р) =	0.
Частный	интеграл	уравнения	(8.20)	мы ищем в виде

T = RZ,

где R зависит только от г и Z — от Z. Разделив обе части уравнения (8.20) на RZ, получаем

	I M ? / ? ,	1	rfy? \		, 1		Ci^-Z	_
	/? Wz-S	г		dr	)~ ^	Z '	dZ^	~ -
Это	возможно лишь в том			случае,		когда		R удовлетворяет
обыкновенному дифференциальному уравнению
		г	’	dr ~		-4)2/?,
		г	’	dr ~
а Z	удовлетворяет уравнению
		d-!			2-
		-5-==0)22
		dZ^
причем ш означает любую			величину,			которую в нашем случае

целесообразно принять действительной.

Общие решения полученных обыкновенных дифферен

циальных уравнений	хорошо	известны. Для R решение
имеет вид
/? =	ЛУо(о>г) +	ВЛ^оЮ .
а для Z:

Z = Ce^--I-De-"=.

Здесь. JQ (шг)	и	Noifitr) — цилиндрические	функции	нуле
вого порядка	C действительным аргументом,		которые	изве
стны как функции Бесселя и Неймана.
Таким образом, частный интеграл уравнения (8.20) будет
иметь вид	7 =	Л
	7 =	Л

причем в выражении для Z мы сохраняем только отрица тельные степени е, так как при возрастании г температура T должна убывать и стремиться к нулю при д -> оо . Если

выберем fei =

“ ^2 =

7Уд(о»^) >

выражение

будет удовлетворять

граничному

условию

(8.21), а

именно,

Г =

о при г =

Ь. Здесь для краткости

принято

г,

, . _Ч

Л (“/-)

Naifttr)

(8.24)

...................... ..

Далее,

‘ИГоЫ)

^Ai(Cor)] _

mf/

Гшг'1

где

Jiifiir)

Ni(Uir) — цилиндрические

функции

первог

порядка.

Функция UQ удовлетворяет тому

же

самому дифферен

циальному уравнению, что

и Ri

и,

следовательно,

является

также цилиндрической функцией

нулевого

порядка,

а t / , —

цилиндрической функцией

первого порядяит так

что

M y

(8.26)

dr^

Г-)

причем между UQ и Ui существует

зависимость

(8.27)

Первое граничное условие (8.21) дает

— ^^^Л С /1(и)а) . в - - = — ЛС^о(ош)е-<»-'.

§ 3)

или

HUi (">®) =

(шо),

(8.28)

^affCfV *

Трансцендентное уравнение (8.28) имеет бесчисленное мно жество корней 0)1, 0)2, о )з,... Способ определения этих корней приведен в конце этоЛ главы.

Наконец, чтобы выполнить последнее условие (8.22),

построим общее решение,			используя (8.23):
							(8.29)
Корни о)„ расположены здесь				в порядке возрастания. Гра
ничное условие (8.22) требует, чтобы
	^	=	2	(“пО.			(8.30)
Более выгодно, как это будет видно в дальнейшем,
зовать вместо	разложения		(8.30) разложение
		= «=г		U o K O -			(8-31)
Предположим,	что	такое	разложение		вообще	возможно,
т. е. что ряд	(8.30)	сходится. Вопрос			о том, каким		усло
виям должно удовлетворять выражение					\|/^7/(г),	чтобы это
имело место,	мы не	рассматриваем; для			практически		встре
чающихся функций эти условия всегда выполняются.
Коэффициенты А„ определяют таким образом, чтобы
сделать погрешность		в F,	т. е. отклонение суммы ряда (8.31)
от точного значения		\|/^г ♦/(г ),		минимальной. Если оборвать

ряд на Л-м члене, то по методу наименьших квадратов должно быть

^= J 2 ^^»^0 (‘“«о — /(Ol^ г dr

Это имеет место,	если	для	каждого и
дР	sO		(/1 = 1 ,2 ,3 ,	Л).
	sO		(/1 = 1 ,2 ,3 ,	Л).

Подставляя вместо P его значение, получим

	^	А
	J	2	H m iZ o K iO -/('■)^о(“»»0/'^Г =						0.
	а	я»—1
Или,	меняя местами			порядок		интегрирования			и	суммирова
ния,	получим
		2 5 ^ - 4 « =			^ »	( « = 1 .2 ,		Л).		(8.32)
		OT=I
где введены обозначения:
					ь
			Smn= / U ^ M U o M r d r ,
					а
					Ь
			Л1„ =		/ 1/„(«.\|-)/(г)г<<г.
					а
Уравнения			(8.32) представляют				собой систему А линейных
уравнений с таким				же	числом		неизвестных			и служат
для определения				Используя			неопределенные			интегралы
		f		rdr^^lL \и\( о ) „ г ) - Ь .

f iZo {^nr)^Л'^mr)rdr =

=	— — 1	— [“«^0 (‘«отО	M	— WmiZo M Ui (WmOl
	“ от	“ я	(/» Ф п),
находим:			(/» Ф п),
находим:
	= Y (^"iZ ^K A )-(1 +		Я2)a2^Z?(a)„a)}.
				(8.33)
C	________ g	^/о(< .)отД)(/д(ю цд)		aUa (0)отД) i^ l ( “ цД)
	H	+		«>т+ "п
		(тч*=п).
Здесь использованы граничные .условия (8.28)
		ZZiZj ((о„а) =		CZo(Wpfl)

§ 3]							121
и условие (8.21), из которого			следует,
		LZQ(«>«6) =		0.
Система уравнений		(8.32)	сохраняет		также смысл,		если
число	уравнений неограниченно			возрастает, т. е. она			схо
дится	при Л -»• сс.
Если коэффициенты		известны, то			согласно	формуле
(8.20)	распределение	температуры будет известно				и,	следо

вательно, можно перейти к определению напряжений.

Для случая, когда боковые поверхности трубы свободны

от нагрузки, напряжения	должны удовлетворять		следующим
граничным условиям:
0,.^ = 0,., = 0	при г = а	г = Ь.	(8.34)

Как всегда, исходим прежде всего из термического потенциала перемеигемий Ф, который должен удовлетворять уравнению

		Д Ф =	“ Т" = 1 ¾		2 K U , M	( 8 . 3 5 )
					П= 1
Частное		решение этого		уравнения берем в виде
			Ф =	Or 2	(ш„г)	(8.36)
				71=1
Используя зависимости				(8.24),	(8.25) и (8.26),	получаем:
у	=	О ^	(ш„г) е		.
		П=1
	=	3 2	С„">„ \и , (».„г) -		о,„гУ. (<»„г)1
		11=1				(8.37)
						(8.37)
~	=	о 2	(ш„г)
		71=1

^	^ С,A r U ^ («\|„г) Г"»= •

Таким образом,

ЛФ = 2» 21	о(“ п ^ ) •
M=I

Сравнивая с выражением для ЛФ по уравнению (8.35), полу чим

г _	1+1*	Д	о)„ '	(8.38)
»	1 —р.	2	о)„ '

Подставляя равенства (8.37) и (8.38) в выражения (8.9), полу чаем выражения для напряжений:

о,, =	— а: S	M	-1- Uo (ю„г)1
=		(‘“«г) Г X	(8.39)
			(8.39)
о„ = — K l i A n l - H^nrUi M			+ 26/о М \

~°гг = — К Ъ An^^nrUo(о)„г)в"“«*, где

AT = - ^ a O O .

Как и следовало ожидать, эта система напряжений еще не удовлетворяет граничным условиям (8.34), так как согласно (8.24) и (8.28) на граничных поверхностях напряжения по лучают следующие значения:

при г = а

(ргг)а — —	ЛГ S	An^OnaUo (о )„ а ) е	(8,40)
	л = 1		(8,40)
И при г = Ь
M b = —	2	AniOnbUi ((Onb) е"""*,
	П=1

(о«)й= 0 .

Поэтому на полученное решение следует еще наложить вто рое напряженное состояние при постоянной температуре, кото

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1712 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги