книги / Термоупругие напряжения, вызываемые стационарными температурными полями
..pdfГ Л А В А IX
ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
ВТОНКИХ ОБОЛОЧКАХ ВРАЩЕНИЯ
§1. Уравнения свободной от нагрузки термонапряженной
оболочки вращения ^
Пусть |
г, и Гг— главные радиусы кривизны оболочки |
(рис. 26). |
Обозначим через 1> угол долготы и через о —угол |
Рис. 26.
между осью вращения и нормалью к поверхности, допол няющий угол широты. Пусть 8— толщина оболочки. Вслед ствие симметрии вращения возникают лишь нормальные
1) Parkiis (5).
напряжения |
OJQ в окружном направлении, напряжения |
а.,,^ в на |
||
правлении касательной |
к меридиану и касательные |
напряже |
||
ния |
Координата г отсчитывается по нормали от срединной |
|||
поверхности |
оболочки |
и считается положительной |
в напра |
|
влении внешней ' нормали. Нормальными напряжениями пренебрегаем вследствие незначительной толщины оболочки.
Как и |
в теории |
пластинок, мы будем оперировать не |
C напряжениями, а с |
вызванными ими в сечениях оболочки |
|
усилиями |
и моментами: |
|
«9= / |
°99 |
По = |
J CftJ(fZ, |
=—/ |
V |
|
|||
-Л. |
|
|
|
|
|
|
-Л |
|
(9.1) |
/Hft =- |
+4 |
|
|
|
+4 |
|
|||
J OooZdz. |
д = |
— |
J |
a^^^dZ. |
|
||||
При отсутствии поверхностной нагрузки эти величины |
|||||||||
связаны |
следующими |
тремя |
условиями |
равновесия: |
|
||||
|
«9= |
— 9 Ctg с: |
|
|
|
I r f , |
, |
(9.2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
( т^Го Siii ср)— ШоГ^ COS ср — |
|
sin ср = 0. |
(9.3) |
|||||
Изменение температуры оболочки T можно разложить в на правлении нормали Z в ряд по степеням г, причем, как и в теории пластин, ограничимся в этом ряду только двумя членами, т. е. примем, что
Т(ср, Z )= Го(?)Н-2т((р). |
(9.4) |
Это приближение тем точнее, чем тоньше оболочка.
Если обозначить через V перемещения в направлении воз
растающих ср |
и |
через W — перемещения в направлении воз |
растающих Z, |
то |
в серединной поверхности оболочки ( Z = O ) |
для удлинений |
|
в меридиональном направлении и для удли |
нений |
в направлении долготы получим^): |
|
|
|
= |
^ьь = ^ i ‘vc tg o -\-w ). |
(9.5) |
Вследствие перемещений V n w угол © наклона касатель ной к меридиану изменяется на величину у, равную
1 / |
da; \ |
(9.6) |
|
|
Для удлинений (е,э)г и (^»о)г ® точках, лежащих на рас стоянии Z от срединной поверхности, получим:
(®в?)г— |
гI |
rfy ’ |
(е«»)== е»д+ — X Ctg <р. (9.7) |
|
Деформации и напряжения связаны между собой законом Гука (2.7), который в рассматриваемом случае вследствие того, что OJ, = О, принимает упрощенный вид:
(е?,)г = |
(о,?,? — 1^0»»)H- лТ, |
(9.8) |
|
|
|
|
|
(Soft)= = |
£- (®1)0 — |
-HaT". |
|
Если разрешить эти уравнения относительно |
и ogg и эти |
||
последние подставить в выражения (9.1), то, принимая во внимание (9.5) и (9.7) и производя интегрирование, получим:
|
Mf) + |
|
|
|
+ |
А(х,с1?с? + |
-щ;)— а(1 + tl)Г oJ . |
g = D|^^(г^ctgtp + |
‘a;) + |
(9.9) |
|
|
|||
'«9= |
- ^ |
- ¾- + |
'Р~ ^ (1 + ^^) ’ |
|
|
|
(9.10) |
m¢ = |
--Л '[^X C tg<? + - ^ |
^ — а ( 1 + а ) х ] . |
|
1) Относительно теории оболо«1СК см. К- Gir kma nn, FiachenIragwerke, Wein, 1948.
136 |
[гл. |
Величины D w K являются соответственно жесткостями обо лочки при растяжении и при изгибе:
D = |
-, Eb |
£54 |
(9.11) |
|
|
|
|
12(1-fX^) • |
|
Деформации |
и |
б(,^ |
и изменения угла у связаны |
между |
собой условием |
совместности |
|
||
7. = |
(е^о- ^ |
Чь) |
‘ |
|
которое легко непосредственно проверить путем подстановки. Проинтегрировав уравнения (9.8), можно выразить деформа
ции |
и EJJ |
через усилия: |
|
|
0^9 |
Чя |
(^0 Н'^^9)Ч~®^0* (9.13) |
Полученную систему уравнений можно свести к совместной системе двух дифференциальных уравнений второго порядка. Целесообразно вместо поперечной силы д ввести вспомога тельную величину Q, определяемую равенством
(3 = 4 ^ 9 .. |
(9.14) |
Тогда, подставив П1„ и пц из уравнений (9.10) в условия равновесия (9.3), мы получим первое из следующих уравнений:
[ - ¾ - ( ¾ + =¾ ? + I - - ^ ] - ¾ -—
+ ( I - ^ j x c t g 9 + ^ ] .
|
. ГЛ А |
('IL'!_Ь Cle ® + 1 . |
(9.15) |
4!« |
2 . 1 .^2— |
||
4?’ |
^L /-! |
ь |
<<?] л? |
Второе уравнение получается после внесения соотношений (9.13) и (9.2) в условие совместности (9.12).
Сведение задачи о симметрично нагруженной оболочке вращения к двум совместным дифференциальным уравнениям относительно ^ n Q принадлежит Рейсснеру и Мейсснеру. Приведенные уравнения пригодны для оболочек, нагруженных по краям II подвергнутых действию температуры. Если, кроме того, имеются поверхностные нагрузки, то следует на их решение наложить решение уравнений Мейсснера ^).
§ 2. Частные случаи
Общие уравнения (9.15) значительно упрощаются для оболочек C постоянной кривизной меридиана, например для сферической, конической и цилиндрической оболочек. Выпи шем соответствующие уравнения, принимая толщину стенки о постоянной.
а) С ф ери ч еская о б о л о чк а. При O = C o n s t и Г1= г^= а уравнения (9.15) принимают вид:
- ¾ , + ' : ¾ - ¾ - + |
= |
|
I |
|
|
= |
- ^ ( 3 |
+ а ( 1 + й « | - |
(9.16) |
б) |
К о н и ч е с к а я |
о б о л о ч к а . Обозначим |
через р поло |
|
вину угла конусности, так что |
9 = у — P = C onst. Введем |
|||
дугу ^s = Tirfp, отсчитываемую от вершины конуса. Полагая |
||||
г , - ) - о о , |
Tj = S tg P и O= |
Const, из уравнений (9.15) получим: |
||
, (PQ |
ds <3 = т ( « ' 8 ? / . + « * ^ ) - |
(9.17) |
||
|
|
|||
1) Handbuch der Pliysik, т. VI, стр. 238. Бер.иш, 1928.
Выражения для моментов и усилий будут иметь вид: |
|
|||||||||||
|
«9 = П8 = |
— ^tgp. |
//» = |
— i ^ ^ t g |
р. |
I |
|
|||||
|
= |
= |
— ^ [ - | - |
+ ^ - / - а ( 1 Н - |. ) т ] . |
| |
(9.13) |
||||||
|
^ = - А : [ - ^ Ч - Н ' « ( I J |
|
||||||||||
Уравнение (9.6) |
упрощается и приводится |
к виду |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
"/• |
ds ■ |
|
|
|
|
(9.19) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) |
Ц и л и н д р и ч е с к а я |
о б о л о ч к а . |
При |
O = |
C O iist, |
|||||||
? = |
^idOz=Clx |
(л' — координата |
в |
направлении |
оси), |
|||||||
Гх->-оо и Г2= г = |
а вместо |
уравнений |
(9.15) |
имеем: |
|
|||||||
|
| | = - ^ + а ( 1 + й - |
|
|
|
|
(9.20) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й х - |
|
а |
\ а |
' |
d X ) |
|
|
|
|
|
|
Для усилий и моментов |
получаем зависимости; |
|
|
|||||||||
|
п = |
Лд. = |
О, |
|
dg |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= |
|
= |
|
|
а(1 + !х )т ], |
|
(9.21) |
||||
|
щ = — |
|
-JJ — “ (1 + 1^)''] • |
|
|
|
||||||
Выражение (9.6) |
принимает вид |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
•/.=-------¾ -. |
|
|
|
|
(9-22) |
||
а первое из уравнений |
(9.9) |
при |
п^ = |
0 дает |
|
|
|
|||||
|
|
• ^ |
= |
« (1 + 1 * )Г о - (1 - ^ . |
|
|
(9.23) |
|||||
Частные решения уравнений для сферической и конической оболочек приведены в литературе ^). В дальнейшем мы зай мемся более подробно цилиндрической оболочкой.
1) Parkus (5).
§ 3. Цилиндрическая оболочка с заданным распределением температуры на бэковых поверхностях
Пусть |
температура |
внутренней стенки |
Z= |
— у |
будет |
|||
|
т(^х, Z = |
- |
^ ) = Л ( ^ ) . |
|
|
|
||
а температура внешней стенки г = |
|
|
|
|||||
|
т[х, |
Z = |
+ - ^ ) = / 2(;:). |
|
|
|
||
Допустим, |
что функции |
Zi(X) |
и / 2(л:) можно |
разложить |
||||
в ряд1>1 Фурье: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zl ( X) = |
^ |
P^COSOJ,,JC. |
|
|
|
||
|
|
|
п=о |
|
|
|
(9.24) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Zi ( X) = |
2 |
<7,^COS |
|
|
|
||
где коэффициенты |
и |
|
суть |
известные |
величины. |
Рас |
||
смотрим в разложении Фурье только члены с косинусами. Все дальнейшие выкладки остаются в силе также для членов, содержащих синусы.
Если разложения (9.24) |
подставить в уравнение (9.4). |
то получим |
|
Т ( х , Z) = |
To (JC )+ ZX (JC), |
= ^ (Л + /.)= 2 -2+=-005
H=O
(9.25)
■=(X)= I (/,-Л ) = ^ -‘'" 7 '’" COS «.„лг.
Для определения температурных напряжений, вызываемых этим распределением температуры, следует решить уравне ния (9.20). Предположим, что изменение наклона х и попе речную силу д можно представить в виде
Х = а|]+^ы по),,>:. д = а^В „51т и„х. (9.26)
Подставляя эти выражения в уравнения (9.20), получим для определения A,^ и В„ следующие уравнения:
- |
T |
+ |
I * * ''"7''" • |
|
||
ЩгА |
4-о)2В |
а |
и |
2 |
|
|
а- п |
' п п |
|
|
|||
решение которых |
имеет вид |
|
|
|
|
|
[аЗш2 (9, —/?„) 4-6(1 —11) |
4 - /;,Д|. | |
|
||||
_ Е<о„Ь^- |
Чп + Pn |
" ( 1 + 1 4 |
(^„ — |
/^H)] . |
I (9-27) |
|
|
|
|||||
е = 12(1— |1.2)4-а2о2а))^ |
( п = 1 , 2 , 3, |
|
|
|||
Пользуясь формулами (9.21), находим выражения для окруж
ных усилий щ и изгибающих |
моментов в виде: |
|
||
|
«я = — аа 2 |
|
COS 0),,.¾, |
|
|
>1= 1 |
|
|
|
Ма, = |
а/С 1^(1+H-) T — |
COS ш„л;^ |
|
|
Wfl = |
я/С |^( 1 + H-)' — |
H- 2 |
COS OijjJfj . |
(9.28) |
Соответствующая компонента перемещений W в осевом на правлении может быть получена из уравнения (9.22);
г; = а | |
" |
^ + 2 |
' |
(9.29) |
Постоянный член соответствует не зависящей от х части температуры Го, которая не вызывает напряжений. Подста вляя разложение для по (9.25) и для W по (9.29) в урав нение (9.23) и интегрируя его, получаем для перемещений V .
= а \ь + Р а |
^ + |
, (9.30) |
( 2 |
причем несущественная постоянная интегрирования отброшена.
§ 4. Граничные условия
Решение, полученное в § 3, в общем случае не удовле творяет заданным граничным условиям на концах трубы. Поэтому на полученное решение следует еще наложить
решение .для ненагретоИ трубы, нагру |
|
|
|
||||||||
женной |
на |
торцах |
только |
перерезы |
|
|
|
||||
вающими силами и изгибающими момен |
|
|
|
||||||||
тами. Такие |
решения |
можно найти |
го |
|
2а- |
|
|||||
товыми |
в |
литературе *). |
При |
этом |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||
имеются в виду решения дифференци |
|
|
|
||||||||
альных уравнений (9.20) ири7’ = |
т = |
0. |
|
|
|
||||||
Здесь приведен лишь конечный резуль |
|
|
|
||||||||
тат. Введем |
параметр |
|
|
|
|
M |
M |
||||
|
|
^ |
^ 3(1-,X-O |
|
|
|
|
||||
|
|
|
(9.31) |
|
Рис. 27. |
|
|||||
|
|
|
\ |
|
аЧ"- |
• |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если перерезывающие силы R действуют |
на торце х = 0 |
||||||||||
(рис. 27), то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
-^••‘•созХл:, |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
- R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<7 = |
— |
|
(cos \х — Sin >..х), |
|
(9.32) |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Hj) = |
— Ч\aRe-'>-^ cos XJC, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Sin XJ ;, |
т » = |
|
|
||
моменты М, приложенные на торце |
Jc = |
O (рис. 27), вызывают |
|||||||||
|
W = |
|
e~^^' (cos XJ C — sin XJC ) , |
|
|
||||||
|
X = |
M |
|
COSX J C , |
|
|
|
|
|
||
|
д = |
— 2ЖХв“ >^*' Sin XJ C , |
|
|
|
|
(9.33) |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
«9 = |
— |
|
|
(cos XJC — sin XJC ) , |
|
|
||||
|
/Ид, = |
|
|
(cos X JC + sin XJC ) , |
/и ^ = |
р./Пд,. |
|
||||
1) CM., например, |
К. G i r k m a n n , Flachentragwerke, |
Nr. 163, |
|||||||||
Wien, 1948 или |
С. П. Тимошенко, стр. 389. |
|
|
|
|||||||
Приведенные формулы могут также применяться, когда
указанные |
нагрузки |
действуют |
на |
торце |
х = |
1\ |
следует |
||
только |
заменить х |
на I — х и изменить у |
х “ |
<7 |
знаки |
на |
|||
обратные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из |
этих |
формул |
видно, что |
все |
перемещения, |
усилия |
и |
||
моменты быстро уменьшаются по мере удаления от края вследствие наличия множителя При достаточной длине трубы (большей илиравной радиусу трубы) формулы можно применять непосредственно, так как при этом оба края уже друг на друга не влияют.
Решения, подлежащие наложению, следует выбирать со ответственно граничным условиям. Если предположить, на пример, что торец д: = О свободен, то изгибающий момент гп^ и перерезывающая сила <7 должны на нем обратиться в нуль.
Обозначив решение, полученное в § |
3 |
индексом |
(1), |
реше |
|||||
ние, даваемое уравнениями (9.32), |
индексом |
(2) |
и решение |
||||||
(9.33) — индексом |
(3), получим два |
уравнения |
для определе |
||||||
ния постоянных R Vi М\ |
|
|
|
|
|
|
|
||
Шх = |
+ |
П1х^+ "4-^ = |
О, |
|
при |
JC = |
O. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если конец |
д; = 0 |
закреплен |
так, что |
он не |
перемещается, |
||||
но может поворачиваться, то граничные |
условия |
принимают |
|||||||
вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-141= |
00(1)-1-^(2)-1--0/(3) = |
0, |
1 |
при |
C = |
O. |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Наконец, если край не может ни |
перемещаться, |
вра- |
|||||||
щаться, то должно |
быть |
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
W = O |
и |
X = |
O. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W = |
04/(1) - | - щ ; ( 2 ) _ |_ щ >(3) = |
О , |
|
прн |
JC = |
O. |
|
||
х = х ^ о ч -х ^ ^ ^ + х ^ “’ = о |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||
§ б. Частные случаи распределения температуры
Частные решения дифференциальных уравнений (9.20) можно найти для случая, когда Zi(Jc) и Za(Je) являются по линомами любой степени т по степеням х. Тогда функции